方針の立て方

実際に題意を満たす円の中心を考えてみる．すると，題意を満たす条件を見抜くことができる．また，四角形 $\mathrm{AMGN}$ に含まれているという条件も忘れずに考慮すること．本問で問われているのは「 $S$ に含まれ，かつ，四角形 $\mathrm{AMGN}$ に含まれる点」である．最後の答えの表式に沿うように，被っている条件は消すこと．
面積の方は領域の図示ができれば問題ない．計算を簡単にするために $y$ 軸での対称性を見抜きたい．

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解答例

(111)(112)(113)(114)…… $\frac{\sqrt{03}}{06}$
(115)…… $2$
(116)(117)…… $03$
(118)(119)…… $03$
(120)(121)…… $01$
(122)(123)…… $03$
(124)(125)…… $-1$
(126)(127)…… $16$
(128)(129)…… $-9$
(130)(131)…… $03$
(132)(133)…… $03$

解説

(1)
四角形 $\mathrm{AMGN}$ の辺および内部の点を $\mathrm{P}\left(x,y\right)$ とおく．

左図のように，点 $\mathrm{P}$ から，辺 $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CA}$ へ垂線(図では実線)を引き，順番に $l_1,l_2,l_3$ とする．また，点 $\mathrm{P}$ と，点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ を結び，その線分(図では破線)を順番に $L_1,L_2,L_3$ とする．
すると，求める領域は，
$max\left\{l_1,l_2,l_3\right\}\geqq min\left\{L_1,L_2,L_3\right\}$
を満たす点 $\mathrm{P}$ の集合である．
四角形 $\mathrm{AMGN}$ では， $max\left\{l_1,l_2,l_3\right\}=l_2=y,min\left\{L_1,L_2,L_3\right\}=L_1=\sqrt{x^2+\left(y-\sqrt3\right)^2}$ となるから，上記の条件は
$y\geqq\sqrt{x^2+\left(y-\sqrt3\right)^2}\Leftrightarrow y\geqq\frac{\sqrt3}{6}\left(x^2+3\right)$
となる．また，点 $\mathrm{P}$ が四角形 $\mathrm{AMGN}$ 内にある条件は，
$\begin{cases} y\leqq\sqrt3x+\sqrt3 \\ y\leqq-\sqrt3x+\sqrt3 \\ y\geqq\frac{\sqrt3}{3}x+\frac{\sqrt3}{3} \\ y\geqq-\frac{\sqrt3}{3}x+\frac{\sqrt3}{3} \end{cases}$
である．この内，下2つは $y\geqq\frac{\sqrt3}{6}\left(x^2+3\right)$ に内包される( $\because\frac{\sqrt3}{6}\left(x^2+3\right)\geqq\pm\frac{\sqrt3}{3}x+\frac{\sqrt3}{3}\Leftrightarrow\left(x\mp1\right)^2\geqq0$ )ので，結局，求める条件は，
$\begin{cases} y\geqq\frac{\sqrt3}{6}\left(x^2+3\right) \\ y\leqq\sqrt3\left(x+1\right) \\ y\leqq-\sqrt3\left(x-1\right) \end{cases}$

求める面積は， $y$ 軸での対称性を考えれば，
$2\int_{3-2\sqrt3}^{0}\left\{\left(\sqrt3x+\sqrt3\right)-\left(\frac{\sqrt3}{6}x^2+\frac{\sqrt3}{2}\right)\right\}dx=\left[-\frac{\sqrt3}{9}x^3+\sqrt3x^2+\sqrt3x\right]_{3-2\sqrt3}^0=16-9\sqrt3$ ……(答)
また、領域 $S$ の面積は、対称性を考えると3倍と分かる……(答)