2018年慶應義塾環境情報数学|過去問徹底研究大問2

方針の立て方

(1)
平易な問題のため特筆事項なし．

(2)
前問の問題を利用するために，変数変換をして， $\left|p-1\right|+\left|q-1\right|$ の形に近づけることを考える．変数変換をした際には変換後の文字の範囲に気を付けよう．
また，本問には別解として絶対値の中身の正負で場合分けして考察する解法もある．

解答例

(15)(16)…… $01$
(17)(18)(19)(20)…… $\frac{01}{04}$
(21)(22)(23)(24)…… $\frac{03}{04}$
(25)(26)…… $\frac{9}{4}$
(27)(28)…… $\frac{1}{4}$
(29)(30)…… $\frac{1}{2}$
(31)(32)…… $01$
(33)(34)(35)(36)…… $\frac{-1}{04}$
(37)(38)…… $\frac{3}{4}$
(39)(40)…… $\frac{3}{2}$
(41)(42)…… $02$
(43)(44)(45)(46)…… $\frac{01}{02}$
(47)(48)…… $01$
(49)(50)…… $02$
(51)(52)…… $-1$

解説

(1)
線形計画法の考え方で考えれば， $\left(p,q\right)=\left(1,\frac{1}{4}\right)$ か $\left(p,q\right)=\left(2,1\right)$ のどちらかで最小値となる．
$\left(p,q\right)=\left(1,\frac{1}{4}\right)$ を代入すると， $\left|1-1\right|+\left|\frac{1}{4}-1\right|=\frac{3}{4}$ であり， $\left(p,q\right)=\left(2,1\right)$ を代入すると， $\left|2-1\right|+\left|1-1\right|=1$ であるから，答えは，
$p=1,q=\frac{1}{4},m=\frac{3}{4}$ ……(答)

(2)
$2x+y=p,2xy=q$ とおく． $x,y$ が実数のため， $2x\left(p-2x\right)=q\Leftrightarrow-4x^2+2px-q=0$ の判別式は非負である．
$\therefore p^2-4q\geqq0\Leftrightarrow q\leqq\frac{p^2}{4}$
よって，前問で $\left|q-1\right|$ の箇所を $\left|q-a\right|$ としたものとして考えられる．線形計画法で考えれば， $a$ が小さいときには，最小値は $\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ でとり，値を大きくするとある $a$ で，最小値は $\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ と $\begin{cases} p=2\sqrt a \\ q=a \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{\sqrt a}{2} \\ y=\sqrt a \end{cases}$ の両方でとり，それより $a$ の値が大きくなると，最小値は $\begin{cases} p=2\sqrt a \\ q=a \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{\sqrt a}{2} \\ y=\sqrt a \end{cases}$ でとる．
$\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ と $\begin{cases} p=2\sqrt a \\ q=a \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{\sqrt a}{2} \\ y=\sqrt a \end{cases}$ の両方で最小値となるのは， $\left|1-1\right|+\left|\frac{1}{4}-a\right|=\left|2\sqrt a-1\right|+\left|a-a\right|$ が成立するときであり，これを解くと， $a>\frac{1}{4}$ より， $a=\frac{9}{4}$ である．
よって，
(ⅰ) $\frac{1}{4}<a<\frac{9}{4}$ の場合， $\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ のとき， $m=\left|1-1\right|+\left|\frac{1}{4}-a\right|=a-\frac{1}{4}$ ……(答)
(ⅱ) $a=\frac{9}{4}$ の場合， $\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ または， $\begin{cases} p=2\sqrt a=3 \\ q=a=\frac{9}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{3}{4} \\ y=\frac{3}{2} \end{cases}$ のとき， $m=\left|1-1\right|+\left|\frac{1}{4}-\frac{9}{4}\right|=2$ ……(答)
(ⅲ) $\frac{9}{4}<a$ の場合， $\begin{cases} p=2\sqrt a \\ q=a \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{\sqrt a}{2} \\ y=\sqrt a \end{cases}$ のとき， $m=\left|2\sqrt a-1\right|+\left|a-a\right|=2\sqrt a-1$ ……(答)