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数学

【数学】微分とは？

「 \displaystyle\lim_{p \rightarrow q}はpを限りなくqに近づけるということで、p=qではありません。」

\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} が収束するとき、f(x)はx=aで微分可能であるといいます。ここで、f'(x)= \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h-f(a))}{h}と書きます。

また、関数f(x)がx=aで連続であるというのは \displaystyle\lim_{x \rightarrow a}f(x)=f(a)が成り立つことです。

なんか難しくて、よくわかんね？と思う方も少なくないでしょうが、イメージ的には

（ⅰ）微分可能→接線がひける

（ⅱ）連続である→つながっている

ということです。

（ⅰ）を少し考えてみましょう。

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{f(a+h)-f(a)}{a+h - a}

これなんか見覚えありませんか？そう。”直線の傾き”です。

\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} とは、hをどんどん小さくしていくということですから、図のようにx=aでのf(x)の接線の傾きを求めることに対応します。

つまり、 \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} とは、x=aでのf(x)の接線を求める行為というわけです。

f(x)=x^{3}のとき、f'(x)=3x^{2}となるのはみなさんご存知でしょう。これを微分の定義にしたがって求めてみます。

\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}(3x^{2}+3xh+h^{2})=3x^{2}

となり、確かに一致しますね。

  • 連続出ない例：y=tanx

 

  • 連続だが、微分可能でない例：y=|x|

y=|x-a|はx=aで微分可能ではありません。

x<0で、y=-xなので、

\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{-x-0}{x-0}=-1

x>0で、y=xなので、

\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{x-0}{x-0}=1 で両者は一致しません。

つまり、x=0で、（傾き）=±1で2つ存在するので微分不可能です。
先ほどのf(x)でなめらかというのは、このように尖点が存在しないということです。

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。