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数学

【数学】微分とは？

「 $\displaystyle\lim_{p \rightarrow q}$ はpを限りなくqに近づけるということで、p=qではありません。」

$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ が収束するとき、f(x)はx=aで微分可能であるといいます。ここで、 $f'(x)= \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h-f(a))}{h}$ と書きます。

また、関数f(x)がx=aで連続であるというのは $\displaystyle\lim_{x \rightarrow a}f(x)=f(a)$ が成り立つことです。

なんか難しくて、よくわかんね？と思う方も少なくないでしょうが、イメージ的には

（ⅰ）微分可能→接線がひける

（ⅱ）連続である→つながっている

ということです。

（ⅰ）を少し考えてみましょう。

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{f(a+h)-f(a)}{a+h - a}$

これなんか見覚えありませんか？そう。”直線の傾き”です。

$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ とは、hをどんどん小さくしていくということですから、図のようにx=aでのf(x)の接線の傾きを求めることに対応します。

つまり、 $\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ とは、x=aでのf(x)の接線を求める行為というわけです。

$f(x)=x^{3}$ のとき、 $f'(x)=3x^{2}$ となるのはみなさんご存知でしょう。これを微分の定義にしたがって求めてみます。

$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}(3x^{2}+3xh+h^{2})=3x^{2}$

となり、確かに一致しますね。

連続出ない例：y=tanx

連続だが、微分可能でない例：y=|x|

y=|x-a|はx=aで微分可能ではありません。

x<0で、y=-xなので、

$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{-x-0}{x-0}=-1$

x>0で、y=xなので、

$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{x-0}{x-0}=1$ で両者は一致しません。

つまり、x=0で、（傾き）=±1で2つ存在するので微分不可能です。
先ほどのf(x)でなめらかというのは、このように尖点が存在しないということです。

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