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【数学】素因数分解の真髄

2017.04.04

まず、N=24について考えてみます。 N=24=で、約数をすべて列挙すると、{1,2,3,4,6,8,12,24}で約数の個数は、8コで約数すべての和は60です。 次に、N=24・3=72について考えてみます。 N=で、約数をすべて列挙すると、{1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,7

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  • まず、N=24について考えてみます。

    N=24=2^3\cdot3^1で、約数をすべて列挙すると、{1,2,3,4,6,8,12,24}で約数の個数は、8コで約数すべての和は60です。

    次に、N=24・3=72について考えてみます。

    N=2^3\cdot3^2で、約数をすべて列挙すると、{1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72}で約数の個数は、12コで、約数のすべての和は195です。

    これら3つから、約数の個数と約数のすべての和について考えてみます。

    ・N=24のとき、{1,2,3,2^2,2\cdot3,2^3,2^2\cdot3,2^3\cdot3}で、

    2^0は、1,3

    2^1は2,2\cdot3

    2^22^2,2^2\cdot3

    2^32^3,2^3\cdot3に含まれていることが分かります。

    つまり、2^k(0≦k≦3)は3の約数(1,3)とすべてかけられています。

    逆に、3^0は1,2,2^2,2^3

    3^1は3,2\cdot3,2^2\cdot3,2^3\cdot3に含まれていますから、3^l(0≦l≦1)は2の約数(1,2,2^2,2^3)とすべてかけられています。

    以上から約数の個数はN=2^3\cdot3^1のべき乗部分に注目して、(1+3)(1+1)=4・2=8コと求められます。

    和は、(2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1)=15\cdot4=60となります。

    ・N=72=2^3\cdot3^2のとき、{1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72}

    つまり、{1,2,3,2^2,2\cdot3,2^3,\underline{3^2},2^2\cdot3,\underline{2\cdot3^2},2^3\cdot3,\underline{2^2\cdot3^2},\underline{2^3\cdot3^2}}

    _(傍線部)はN=24に含まれなかった約数です。_(傍線部)も2^0,2^1,2^2,2^3
    すべてかけられているので先程と同様に考えると、(1+3)(1+1+1)=(1+3)(1+2)=4・3=12コで、和は(2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)=15\cdot13=195です。

    ■JMO(日本数学オリンピック)の予選の問題ですが、約数の個数という面で楽しんで頂けないでしょうか?

    結局、(1+q_1)(1+q_2)\dots(1+q_n)をm=10,q_i=1(1≦i≦m)として、重複を2で割ったのが本問でした。

    ここまでくれば、アルゴリズムが見えてきますね。

    P_k(1≦k≦m)を素数として、N=P_1^{q_1}\cdot P_2^{q_2}\dots P_m^{q_m}と表されたNの約数の個数は、(1+q_1)(1+q_2)\dots(1+q_m)

    約数の総和は、(1+P_1+\dots+P_1^{q_1})(1+P_2+\dots+P_2^{q_2})\dots(1+P_m+\dots+P_m^{q_m})と一般化できます。

    さて、小手調べに以下の問題にとりくんでみよう!


    ▶問1

    ある整数の約数をすべて足すと168になり、約数の逆数をすべて足すと、2.8になる整数を求めよ。(有名問題)


    解 N=P_1^{q_1}\cdot P_2^{q_2}\dots P_m^{q_m}とする。

    S=(1+P_1+\dots +P_1^{q_1})(1+P_2+\dots +P_2^{q_2})\dots (1+P_m+\dots +P_m^{q_m})=168

    T=1+\frac{1}{P_1}+\frac{1}{q_1}+\dots +\frac{1}{P_1^{q_1}\cdot P_2^{q_2}\dots P_m^{q_m}}=2.8\rightleftharpoons \frac{P_1^{q_1}\cdot P_2^{q_2}\dots P_m^{q_m}+\dots +1}{P_1^{q_1}\cdot P_2^{q_2}\dots P_m^{q_m}}=2.8 \rightleftharpoons\frac{S}{N}=2.8 \rightleftharpoons N=\frac{168}{2.8}=\frac{1680}{28}=60

    ∴N=60…(答え)

    ■多項式と関係が深いです

    ただの丸暗記だと、上の式変形は難しいかもしれませんが、この記事を読んだ皆さんなら、簡単に解けたのではないでしょうか?


    問2
    正の整数の組み(a,b)であって、a<b,ab=29!を満たし、かつaとbが互いに素であるようなものはいくつあるか。(2017JMO 予選2)


    解 29以下の素数は、{1,2,3,5,7,11,13,17,23,29}の10コである。

    まず、a=bと仮定すると,ab=29!⇄a^2=29!=28!・29で、29の要素は1つしかなく、平方数にならない。よって、a≠bである。

    29!=P_1^{q_1}\cdot P_2^{q_2}\cdot P_3^{q_3}\dots P_{10}^{q_{10}}とする。

    q_i=x+y(1≦i≦10)、(1≦x≦q_i-1)として、たとえばaがP_i^x、bがP_i^yを因数にもって、aとbが互いに素に矛盾するから、aとbは一方がP_i^{q_i}をもつかどうかしかありえず、これは2通りである。

    P_i(1≦i≦10)について同じことがいえるので、2^{10}通りだが、これにはa>bも含まれている。

    対称性(aとbをいれかえても変わらない)より、a<bとa>bの個数は同じだから求める個数は\frac{2^{10}}{2}=2^9=512通り…(答)

【数学】微分とは?

2017.04.04

「はpを限りなくqに近づけるということで、p=qではありません。」 が収束するとき、f(x)はx=aで微分可能であるといいます。ここで、と書きます。 また、関数f(x)がx=aで連続であるというのはが成り立つことです。 なんか難しくて、よくわかんね?と思う方も少なくないでしょうが、イメージ的には

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  • 「 \displaystyle\lim_{p \rightarrow q}はpを限りなくqに近づけるということで、p=qではありません。」

     \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} が収束するとき、f(x)はx=aで微分可能であるといいます。ここで、f'(x)= \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h-f(a))}{h}と書きます。

    また、関数f(x)がx=aで連続であるというのは \displaystyle\lim_{x \rightarrow a}f(x)=f(a)が成り立つことです。

    なんか難しくて、よくわかんね?と思う方も少なくないでしょうが、イメージ的には

    (ⅰ)微分可能→接線がひける

    (ⅱ)連続である→つながっている

    ということです。

    (ⅰ)を少し考えてみましょう。

     \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{f(a+h)-f(a)}{a+h - a}

    これなんか見覚えありませんか?そう。”直線の傾き”です。

     \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} とは、hをどんどん小さくしていくということですから、図のようにx=aでのf(x)の接線の傾きを求めることに対応します。

    つまり、 \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} とは、x=aでのf(x)の接線を求める行為というわけです。

    f(x)=x^{3}のとき、f'(x)=3x^{2}となるのはみなさんご存知でしょう。これを微分の定義にしたがって求めてみます。

    \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}(3x^{2}+3xh+h^{2})=3x^{2}

    となり、確かに一致しますね。

    • 連続出ない例:y=tanx

     

    • 連続だが、微分可能でない例:y=|x|

    y=|x-a|はx=aで微分可能ではありません。

    x<0で、y=-xなので、

    \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{-x-0}{x-0}=-1

    x>0で、y=xなので、

    \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{x-0}{x-0}=1 で両者は一致しません。

    つまり、x=0で、(傾き)=±1で2つ存在するので微分不可能です。
    先ほどのf(x)でなめらかというのは、このように尖点が存在しないということです。

【数学】直線のいろは

2017.04.03

今回は文理問わず、多くの大学で出題される座標について考えてみます。 まずは直線について簡単な知識のcheckしていきます。 まず直線の方程式は傾きm,y切片がkのとき、さらに右図のように,y切片がkのとき, y=mx+k ・・・(*)で表せるのは有名です。 さらに図1のようにy=tanθ・x+kも知

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  • 今回は文理問わず、多くの大学で出題される座標について考えてみます。

    まずは直線について簡単な知識のcheckしていきます。

    [toc]

    まず直線の方程式は傾きm,y切片がkのとき、さらに右図のように,y切片がkのとき,

    y=mx+k ・・・(*)で表せるのは有名です。

    さらに図1のようにy=tanθ・x+kも知っているでしょう。

    これは入試では頻出です。

    さて、点P(p,q)を通り、\overrightarrow{M}=\left( \begin{array}{cc} a\\ b\\ \end{array} \right)に垂直な直線の方程式lはl上の点をX(x,y)として

    \overrightarrow{M}\cdot \overrightarrow{PX}=0

     \rightleftharpoons\left( \begin{array}{cc} a\\ b\\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} x-p\\ y-q\\ \end{array} \right)=0

     \rightleftharpoons a(x-p)+b(y-q)=0

     \rightleftharpoons ax+by-(ap-bq)=0

    ax+bq+c=0 (c=-ap-bq)

    として表されます。

    図1

    次に2直線について考えてみましょう。

    l1:a1x+b1y+c1=0, l2:a2x+b2y+c2=0で、

    • (l1l2が平行)\rightleftharpoons(傾きが同じ)\rightleftharpoons(- \frac{a_{1} }{b_{1} } =-\frac{a_{2} }{b_{2} } \rightleftharpoons a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0)・・・(ア)

    (b1=0のときb=0)

    • (l1l2が垂直)\rightleftharpoons\left( \begin{array}{cc} a_{1}\\ b_{1}\\ \end{array} \right) x\bot \left(\begin{array}{cc} a_{2}\\ b_{2}\\ \end{array} \right)\rightleftharpoons\left( \begin{array}{cc} a_{1}\\ b_{1}\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a_{2}\\ b_{2}\\ \end{array}\right)\rightleftharpoons a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0・・・(イ)

    が条件となります。

    皆さんは、点と直線の距離の公式ということで、

    ことはよく知っているでしょう。2013年度の大阪大学の文系でこの証明が問われたので証明を与えておきます。

    [証明]

    Pからlに降ろした垂線の足をHとする。

    先ほどの結果を逆に使うと、

    ax+by+c=0の法線ベクトル\overrightarrow{e}は、

    \overrightarrow{e}=\left( \begin{array}{cc}a\\ b\\ \end{array}\right)である。

    \overrightarrow{HP}=k\overrightarrow{e}(k:定数)

    \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PH}=\left( \begin{array}{cc} p\\ q\\ \end{array} \right)+k\left( \begin{array}{cc} a\\ b\\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} p+ak\\ q+bk\\ \end{array} \right)

    Hはl上の点なので、a(p+p+ak)+b(q+bk)+c=0

    \rightleftharpoons k=- \frac{ap+bq+c}{a^2+b^2}

    d=|\overrightarrow{HP}|=|k||\overrightarrow{e}|=\frac{|ap+bq+c|}{a^2+b^2}\sqrt{a^2+b^2}=\frac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} (証明終)

    直線についての知識はこれくらいで良いでしょう。

    今回は基本的な問題にあたり、直線の理解を深めて行きましょう。


    (1)(ア)より、a+1+(a-2)=0  ・・・(答)

    (2)(イ)より、3(a+1)+(-2)(a-2)=0 ・・・(答)

    (3)「aの値によらない」\rightleftharpoons「どのようなaの値を代入してもlの式が成り立つ」なので、l\rightleftharpoons(x+y-5)a+x-2y+4=0・・・(イ)

    a=0を代入して、x-2y+4=0,a=1を代入すると、(x+y-5)+(x-2y+4)=0

    \begin{cases} x-2y+4=0 \\x+y-5=0\end{cases} ・・・(ロ)が必要だが、逆に(ロ)が成り立つとき、(イ)が成り立つので十分。

    ∴ (ロ)を解いて、(p,q)=(3,2)・・・(答)

    結局(3)ではaの恒等式を解いたことになります。


    tanθ=\frac{b}{a}という知識があればすらっと解けます。

    図2の様な三角柱を設定する。

    南北方向の勾配はtanφ=\frac{1}{5}と右図のようにしても一般性を失わない。南北⊥東西なので、底面について考えると、図3のようになるから、x=PBを求めればよい。

    二角相等より、△APDと△PBCは相似なので、

    PD:AP=BC:PB

    \rightleftharpoons4:5=3:x

    \rightleftharpoons x=\frac{15}{4}

    ∴(東西方向の勾配)=\frac{1}{x}=\frac{4}{15}・・・(答)

    図2                                                              図3

     

    ■空間となると、ギョっとひるんでしまう人がいますが、平面と大してやることは変わりません。傾きをtanで捉える重要性が分かって頂けましたかね?

    最後に少し考えにくい問題をおいてみます。

    直線の傾きがa…y=axと考えたくなりますがそれではyの値が整数となる時がよくわかりません。y=1になるのはx=1/a1のときですからこの後は(傾き)=asで動きます。

    y=2となるのはx=\frac{1}{as}の時…と考えて行くと…

     

    (解)

    y=1、2、・・・nとなる点をP1,P2,・・・Pnとして、

    各々に対応するxの値をx1,x2・・・xnとする。(図4)

    (傾きPkPk-1)=ask-1(2≦k≦n)

    であるから、x_{k}-x_{k-1}=\frac{1}{as^{k-1}}である。

    いま0〜xnまでのx座標の和Sn

    S_{n}=(\frac{1}{a}+\frac{1}{as}+\cdots+\frac{1}{as^{k-1}})\\= \sum_{k=0}^{n-1} \big( \frac{1}{s} \big) ^{k}\\=\frac{1}{a}\cdot\frac{1-\big( \frac{1}{s} \big)^{n}}{1-\frac{1}{s}}=\frac{s}{a(s-1)}\big\{1-(\frac{1}{s})^{n}\big\}

    図4

    ◯1≦1/s⇔0<s<1のとき

    (|frac{1}{s})^{n} \rightarrow \infty であるからSnは無限に大きくなる。

    よってx=b(>0)を必ず横切る。

    ◯0<1/s<1⇔1<sのとき

    \lim_{ n \rightarrow \infty} S_{n} = \frac{S}{a(s-1)}であるから、x=bを横切るには

    \frac{s}{a(s-1)}>b\Longleftrightarrow \frac{1}{ab}>\frac{s-1}{s}\Longleftrightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{s}>1が必要。

    ∴求める条件は「0<s≦1もしくは1<sかつ\frac{1}{ab}+\frac{1}{s}>1

    ■状況ごとで傾きをうまく使えるようになると良いですね。

    今回は問われているのが、”x座標について”なのでx座標について考えてみました。

【数学】”円”の周辺

2017.04.03

今回は座標での”円”について考えてみたいと思います。 教科書に、「中心(a,b)、半径rの円の方程式は と表せる。」なんて天下り的に書かれていますが…はじめて目にした人はwhy?と思うでしょう。 皆さんには小学校のころ、円を書くのに、コンパスという道具を使ったことがありますね。これは、針と芯のキョリ

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  • 今回は座標での”円”について考えてみたいと思います。

    教科書に、「中心(a,b)、半径rの円の方程式は

    (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}

    と表せる。」なんて天下り的に書かれていますが…はじめて目にした人はwhy?と思うでしょう。

    皆さんには小学校のころ、円を書くのに、コンパスという道具を使ったことがありますね。これは、針と芯のキョリを2cmとか3cmとか決めて円を書いたのを覚えているでしょう。針(a,b)、芯(x,y)、キョリ(d)とすればコンパスは(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=d^{2}の円を描いたというわけです。

    また、(*)は、r>0なので、

    r= \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}

    を変形すると、この√の中身に見覚えがありませんか?

    そう!2点間のキョリです。つまり、(a,b)と(x,y)のキョリが一定値rに保たれるというわけです。

    このように考えると、(*)の意味がしっくりくるのではないでしょうか?

    早速、円の様々な問題にあたっていきましょう。


    ■問1

    a,bは実数でa>0とする。

    x^{2}+y^{2}=1と放物線y=ax^{2}+bの共有点の個数をmとする。

    m=2,3,4となるためのa,bの必要十分条件を求めよ。 (2015・大阪市立・理・後期)


    さて、解く前に以下考えてみましょう

    x^{2}+y^{2}=1y=px+q (p>0)の交点は、

    x^{2}=px+q  \rightleftharpoons x^{2}-px-q=0 の解の個数を一致しました。

    異なる2つの実数解をもつとき、共有点2コ

    重解(解が1つ)のとき、共有点1コ

    解なしのとき、共有点0コ   でしたね。

    いま、「実数係数多項式:f(x)= a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_{0}=0

    の実数解の個数は高々nコ」という有名事実が本問では大事です。また、2次関数と直線では問題になりませんでしたが、2次関数と円ではどのような位置関係があるのかも含めて考察していきましょう。皆さん紙とペンを用意して、位置関係を紙にできるだけたくさん書いてみましょう。

    なんとなくb>0のときは素直そうだけど、b=-1らへんがゴチャゴチャするな〜くらいのイメージが湧けばOKです。

    x^{2}+y^{2}=1・・・①とy=ax^{2}+b・・・②からx^{2}を消去して、

    \frac{y-b}{a}+y^{2}=1\rightleftharpoons y^{2}+\frac{1}{a}y-(1+\frac{b}{a})=0・・・③(左辺をf(y))

    ③は①と②の共有点に関する条件。

    • |y|>1のとき解なし
    • |y|=±1のとき解1コ
    • |y|<1のとき解2コ    です。

    最後のは、③での解が1つ決まれば、①、②はxについての2次式なので、xの解が±で2つでてくるということに注意です。

    (③の左辺の判別式)\rightleftharpoons(\frac{1}{a})^{2}+4(1+\frac{b}{a})(=Dとする。)

    ここまで準備すれば、あとは解いていくだけです。

    [m=2のとき]

    m=2\rightleftharpoons

    |y|<1に③の解が1つ」or 「|y|<1に③が重解をもつ

    (イ) (上の(ⅲ))   (ロ) (上の(ⅶ))

    (イ)のとき、必要十分条件は下図より、f(1)・f(-1)<0\rightleftharpoons -1<b<1

    (ロ)のとき、必要十分条件は、D=0かつ、-1<-\frac{1}{2a}<1(軸の位置)

    \rightleftharpoons 4a^{2}+4ab+1=0かつa>\frac{1}{2}

    よって、求める条件は、「-1<b<1」or「4a^{2}+4ab+1=0かつa>\frac{1}{2}」・・・(答)

    [m=3のとき]

    y=±1で共有点1コ、|y|<1に解1つで共有点2コなので、

    m=3\rightleftharpoons「③がy=±1と|y|<1に解1つをもつ」

    ③について解と係数の関係より、α+β=(α、βは③の解)で、α=1とすると、β=-\frac{1}{a}-1だが、a>0より、β<-1で、βは-1<y<1の間に存在せず不適。(これは(ⅰ)〜(ⅶ)からも納得)

    よって、α=-1で、β=1-\frac{1}{a}が-1<β<1に存在するので、-1<1-\frac{1}{a}<1\rightleftharpoons a>\frac{1}{2}

    また、解と係数の関係より、(-1)(1-\frac{1}{a})=-(1+\frac{b}{a})\rightleftharpoons b=-1

    求める必要十分条件は、a>\frac{1}{2}かつb=-1・・・(答)

    [m=4のとき]

    m=4\rightleftharpoons「③が|y|<1に2つ解をもつ」

    \rightleftharpoons「D>0 かつf(1)>0かつf(-1)>0かつ-1<-\frac{1}{2a}<1

    \rightleftharpoons 4a^{2}+4ab+1>0かつb<1かつb<-1かつa>\frac{1}{2}

    \rightleftharpoons4a^{2}+4ab+1>0かつb<-1かつa>\frac{1}{2}・・・(答)

    ■なんとなく答えが図の通りになりましたね。
    また、今回は③をx消去したましたが、yを消去して、

    x^{2}+(ax^{2}+b)^{2}=1 \rightleftharpoons ax^{2}+(2ab+1)x^{2}+b^{2}-1=0で、

    x=t^{2}などとおいて、at^{2}+(2ab+1)t+(b^{2}-1)=0と2次方程式に帰着することもできます。

    少し難しい問題だったかもしれませんが、実は、円の2次関数の位置関係は頻出で、毎年どこかの大学で出題されています。

    このレベルくらいは処理できるようにしておくとよいのかなと思います。
    先程は、代数的要素が強かったですが、今度は図形的は問題を扱って見たいとおもいます。


    ▶問2

    座標平面において、円C1x^{2}+y^{2}=16、円C2(x-a)^{2}+y^{2}=9(a>0)の共通接線の本数をmとおく。次の問に答えよ。

    (1)m=1,2,3,4となるaの条件を求めよ。
    (2)m=3のとき、その共通接線の方程式をすべて求めよ。 (2014・立命館大・理系・)(3)省略)


    まず、2円の位置関係を考えてみましょう。

    半径Rの円C1、半径rの円C2、C1C2の中心間キョリをdとします。

    ・2円が互いに外側にある⇆d>R +r…(イ)

    ・2円が外接する    ⇆d=R+r…(ロ)

    ・2円が内接する    ⇆d=|R-r|…(ハ)

    ・一方が他方の内側にある⇆d<|R-r|…(二)

    ・2円が2点で交わる  ⇆|R-r|<d<R+r…(ホ)

    は有名でご存知の方も多いと思います。

    本問はこの知識と共通接線を結びつけて考えていくことになります。
    解(1)

    円が一方の外にあると少なくとも2本の接線が引けるので、m=1のとき、円が内包されていないといけない。

    円C1:x^{2}+y^{2}=4^{2}

    円C2:(x-a)^{2}+y^{2}=3^{2}

    [m=1のとき]

    m=1⇆(ハ)

    a=|4-3|⇆a=1

    [m=2のとき]

    m=2⇆(ホ)

    ⇆1<a<7

    [m=3のとき]

    m=3⇆(ロ)

    ⇆a=7

    [m=4のとき]

    m=4⇆(イ)

    ⇆7<a

    解 (2)

    l1はx軸に垂直なので、x=4

    いま、x^{2}+y^{2}=4の(x,y)=(4cosθ,4sinθ)における接線は

    (4cosθ)x+(4sinθ)y=16

    ⇆cosθx+sinθy=4…①で、①と(7,0)の距離が3であるから、

    \frac{|7cosθ-4|}{\sqrt{cosθ^{2}+sinθ^{2}}}=3

    ⇆cosθ=\frac{4\pm3}{7}

    ・cosθ=1のときsinθ=0でlに一致。

    ・cosθ=\frac{1}{7}のときsinθ=±\frac{4\sqrt{3}}{7}で接線は\frac{1}{7}\frac{4\sqrt{3}}{7}y=4

    以上から、x-4=0,x±4\sqrt{3}y-28=0…(答)

    ■半径x^{2}+y^{2}=r^{2}上の点を文字でおくとき、(x,y)=(rcosθ,rsinθ)と設定するのは有名です。sinθ^{2}+cosθ^{2}=1を使えたり、三角関数とうまく適応できるので便利です。

    (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}上の点(X,Y)での接線は(X-a)(x-a)+(Y-b)(y-b)=r^{2}となります。

    法線ベクトルを用いて証明できますから、証明は各々にゆだねます。

    円の問題はとてもバラエティに富んでいるので、色々取り組んで円のセンスを磨いてみて下さいね。

【数学】これを知らないと数学人生が大きく変わる?不等式とは?

2016.12.04

不等式とは左辺と右辺の大小関係を示している式です。 不等式で使われる記号は5つあります。このような記号を不等号といいます。 x>y:xがyより大きい x<y:yがxより大きい x≧y:xがy以上(xがyより大きい、又はxとyは等しい) x≦y:yがx以上 x=y:xとyが等しい 5つあるといっても、

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  • [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]等式はわかるんだけど、不等式ってその反対って意味?[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]左辺と右辺、どっちが大きいとか小さいとかそういうやつよ。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]あーなるほど!以上とか未満とかよくわからないなー[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]確かに、不等式って等式よりもなんだか難しい。。[/speech_bubble]

    不等式とは左辺と右辺の大小関係を示している式です。
    不等式で使われる記号は5つあります。このような記号を不等号といいます。

    y:xがyより大きい

    y:yがxより大きい

    y:xがy以上(xがyより大きい、又はxとyは等しい)

    y:yがx以上

    y:xとyが等しい

    5つあるといっても、不等号の口の開いている向きが反対なだけで、覚えることは全然ありませんね。
    口の開いている方が大きい値、イコールが入ってるか入ってないかに気をつける。
    これだけ意識しておけば問題ありません!

    解くのもほぼ等式と同じように行うことができます。

    ”ほぼ”というように違うところもあるのでちゃんと読んでくださいね!

    不等式の解き方

    不等式も等式と同じように展開、移項、かけ算割り算を繰り返すことで
    未知の文字について解くことができます。

    注意が必要なのが不等式は等式と違って、負の数を両辺にかけたり割ったりする場合には不等号の向きを反転させる必要があるってことです。

    これ、重要でしかも忘れちゃう人が非常に多いので頭に叩き込んでくださいね!

    これはなぜかと言うと、
    イメージ的には、負の数は数字自体が大きければ大きいほど値としては小さくなっていくというところと関係があります。
    例えば、-2と-5という数字は数字が大きれば大きいほど小さくなりますね。
    これはプラスの場合が大きい数字であればあるほど数が大きくなるプラスの場合とは、逆の関係ですね。

    →上記のように、学校ではただルールとして教わっていることのなぜ?を考えることが数学や理科系の成績を上昇させるためのポイントです。
    積極的になぜを考えるようにしていきましょう。

    もうひとつ注意する点としては、不等号の種類や向きを勝手に変えないことです。

    こちらも実際にやってみないと実感がわかないと思いますのでやってみます。

    不等式の例題

    問題:2x+8>3xー3

    答え:2x−3x>−3−8    ←左側をxだけにする

    ーx>−11          ←xにマイナスがついてる!!

    x<11            ←不等号の向きを逆にする!

    答えはx<11です。

    不等号の向きを逆にするとはこういうことです。
    マイナスをかける瞬間に一緒に逆にしなきゃってことです。

    ちなみに移項をする操作では、マイナスがついてても不等号の向きを逆転させる必要はありませんよ。
    これも間違う人が多いので注意です

    基本の操作は方程式、連立方程式と同じです。そろそろ慣れてきましたか?

    気をつけるのは不等号を逆転させる所だけですから、早めにマスターしてしまいましょう!

【数学】連立方程式とは?| 5分でわかる受験のキソノキソ

2016.11.30

このように連立方程式を苦手としている人は多いのではないでしょうか。 そもそも連立方程式とは、何本かの方程式がセットになって全部成り立っているやつのことで、方程式の本数分だけ、未知数(xとかyとか)の値を求める事ができます。 つまり、方程式2本なら文字2つ(x、y) 方程式が3本なら文字3つ(x、y、

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  • [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]連立方程式、いまいちどうしたら楽に解けるのかわからない…[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]連立方程式ってどんなのだっけ?[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]ほら、二本の方程式があるやつだよ[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]あれかあ…。どっちの式を何倍とかややこしいわよね(ToT)[/speech_bubble]

    このように連立方程式を苦手としている人は多いのではないでしょうか。

    そもそも連立方程式とは、何本かの方程式がセットになって全部成り立っているやつのことで、方程式の本数分だけ、未知数(xとかyとか)の値を求める事ができます。

    つまり、方程式2本なら文字2つ(x、y)
    方程式が3本なら文字3つ(x、y、z)まで求まるんです。

    ここでは連立方程式として最もよく出題される「二元連立一次方程式」(2つの文字を含む連立された一次の方程式)の解き方をやっていきたいと思います!

    連立方程式の解き方

    連立方程式を解くには、主に2つの方法があります。

    まず、代入法と呼ばれる方法です。
    片方の式をx= や y=  の形に変えて、それをもう片方の式に代入することで文字を1つ減らし、答えをもとめる方法です。

    もう一つは加減法と呼ばれる方法です。
    まず、式を何倍かすることで1つの文字について係数を合わせます。そこから、2つの式を足し引きすることでその文字を消去し、答えを求める方法です。

    両方とも同じ答えがでるのでどちらで解いてもいいですが、
    両方使えるようになってより早い方法を選べるようになっておくのが理想です!

    では例題を見てみましょう。

    連立方程式の例題

    問題:x+y=3 ー(1)

    2x+5y=9 ー(2)  の連立方程式を解け。

    答え:代入法で行う場合

    x+y=3 を、x=ーy+3に変形します。

    これをもう片方の式に代入して、 2(ーy+3)+5y=9   ←普通の1次方程式!

    これを解くと、y=1

    x=ーy+3より、yの値を代入してx=2

    加減法で行う場合

    xの係数を合わせることにします。
    (1)式を2倍して、2x+2y=6

    (2)ー(1)を行うと、3y=3 よってy=1

    (1)にこの結果を代入すると、x=2

    以上が2つの解き方です。
    当然ですが同じ答えにちゃんとなってますね!

    この問題なら代入法と加減法、どちらのほうが良いと思いましたか?

    この問題の場合、どちらでやっても手間はほとんど変わりません。
    しかし、問題によっては代入法で解くのが面倒になってしまうものもあります。
    例)連立方程式
    3x+5y=13
    2x-3y=-4      を解け。

    これを代入法、加減法でそれぞれ解いてみてください。
    加減法が面倒な場合も多い、ということがわかると思います。

    もし分からなかったら、あなたはこれから代入法愛用者になっても構いません☆
    自分の好きな方法で解きましょう!

【数学】方程式とはなにか?

2016.11.30

方程式とは、値が分からない文字が入った等式のことです。 ”等式”というのは”等しい式”、つまり”=”で結ばれた式のことです。 この等式は文字にある値を代入したときに成り立ちます。 このように文字に代入して等式が成り立つ数のことを解といいます。 つまり、問題でよく見かける”方程式を解け”とは ’’この

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  • [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]問題でよく”方程式を解け”って出てくるけど、そもそも方程式って何?[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]なんだろうね…。確かにあまり意識したことないや。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]とりあえず式の中の文字当てはまる数を求めてるけど…。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]その文字に当てはまる数を求めることを”方程式を解く”っていうんじゃない?”[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]じゃあ方程式ってそういう文字が入った式の事なのかな?[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]まあそんなもんじゃない?![/speech_bubble]

    方程式とは、値が分からない文字が入った等式のことです。

    ”等式”というのは”等しい式”、つまり”=”で結ばれた式のことです。

    この等式は文字にある値を代入したときに成り立ちます。
    このように文字に代入して等式が成り立つ数のことをといいます。

    つまり、問題でよく見かける”方程式を解け”とは

    ’この文字に代入してイコールが成り立つ値を求めて!”という意味なのです。

    方程式の解き方

    方程式と言っても様々な種類があります。

    1次方程式、2次方程式、連立方程式、高次方程式、微分方程式などです。

    1次方程式とは値が分からない数が一次の等式のことです。
    ここでは最もシンプルな方程式である1次方程式についてだけ、説明します。

    ”一次”というのはx, y, a, bなどなど、式の中の文字が、1乗までしかないってことです!
    x², y³のように、に2乗3乗の文字はない、まあいたってシンプルな感じのやつですね。

    では解き方について簡単に説明です!

    ①カッコを展開したり移項をしたりして、xのついたやつを全部左側に持っていく。

    ②イコールの両辺に同じ数をかけたり割ったりして、

    x=(ある数)

    とする!これで求まります。

    と日本語で言っても何言ってるのかわかりませんね。
    数学は数字が言語ですから(嫌だとか言わないで(ToT))実際にやってみましょう。

    方程式の例題

    問題:方程式 3(x+5)=12  の解をもとめよ。

    答え:上のステップと照らし合わせてやってみます。

    ①カッコを展開する       3x+15=12
    15を移項する      3x=12-15
    3x=-3            ←左側がxだけの式になった!

    ②両辺を3で割る    x=-1

    答えはx=-1です! もとの方程式に代入して確かめて見てください。確かに成り立ってますね。

    ところで最初の段階で、「え、展開するの…?」と思った方、なかなか手慣れていますね。

    実はこの問題の場合、最初に両辺を3で割ってしまうと大変簡単に求まってしまいます!
    つまり、
    3(x+5)=12
    x+5=4
    x=-1

    という具合です!こっちのほうが数字が小さくてなんだか気持ちが良いと思いませんか?
    でもこうやって最初の式の段階で両辺を同じ数で割れることはそんなに多くありません。
    割るときはほんとに割れるか確かめてからですよ!

    ポイント

    これは本当に本当に基本的な1次方程式の解き方です。
    他に、分数や小数、ときにはルート(√2とかそういうやつ)が入ってくるものもあります。
    ここではそんなに全パタ−ンを紹介することはとてもできないので、みなさんお手持ちの教科書や問題集などでの練習が不可欠です。

    しかしどんな問題でも、基本は

    ★カッコの展開、移項

    ★両辺を同じ数でかける、割る

    の操作だけで完了できます!どの操作をしたら x= ◯ というゴールの形に近づけるか考えて、少しずつ計算に慣れていきましょう!

【数学】定数とか変数ってそもそも何?

2016.11.29

などとよくわからない認識をしている人はいませんか? あるいは分からなくても問題ないし〜と思っていませんか? 数学を得意としてる人でも、いざ違いはと聞かれると答えられない人も多いのではないでしょうか。定数と変数の意味の違い、それが分かると分からないでは数学の理解にも差が出てきます! 今この機会にそれを

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  • [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]数学の教科書とかでさあ、定数とか変数とかあるじゃん。あれってどういう意味?[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]定まってる数と変わる数のことよ。そのままよ。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]それがわからないから聞いてるんじゃん![/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]うーんそうねえ。xとかyとかは変わりそう。きっと変数よ。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]じゃあ1とか2とかいう数字が定数ってことかな。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]あれ、でも定数aを求めよって問題もあるわよね…aとかbとかは定数なのかも![/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]なるほど文字の種類によって定数か変数かが違うんだね!ありがとう山田さん![/speech_bubble]

    などとよくわからない認識をしている人はいませんか?

    あるいは分からなくても問題ないし〜と思っていませんか?

    数学を得意としてる人でも、いざ違いはと聞かれると答えられない人も多いのではないでしょうか。定数と変数の意味の違い、それが分かると分からないでは数学の理解にも差が出てきます!
    今この機会にそれを学んでおきましょう。

    定数、変数の意味

    難しそうな言葉が出てきたもうやだつらいやめよう。。。。

    なんて言わないでください。難しく考える必要はありません。

    数とは「値が変化しないもの。定まっているもの。」
    数とは「値が変化するもの。定まっていないもの。」

    意味としては漢字のそのまんまです。ただそれだけです。
    でもこれだけ言われてもだから何?状態ですね。
    もう少し詳しく見ていきましょう。

    定数とは

    まず小山くんが「1とか2とかいう数字は定数かなあ」と言っていましたが、それは正しいでしょうか? 正しくないでしょうか?

    これは正しいです。1、2と値が定まっているのですから定数となりますね。
    これは知っていまえば誰でも見分けがつきます。簡単です。

    問題は文字の定数です。
    「文字ってことは何の値が入るかわからないんでしょう。そんなのxとかyと何が違うんだよ〜〜」
    そのお気持ち大変よく理解できます。何が違うのでしょう?

    ここでひとつ確認しておきたいことは「値が分からない」ことと「値が定まっていない」ことは別問題であるということです。

    つまり、問題でよく出てくる「定数aの値を求めよ。」というとき、aの値はまだ我々にはわからないけれども、実は何かしらに定まった値を持っている!ということなのです。

    問題たちは、その実は定まってる値をあなたたちで見つけてくれよって言ってるわけですね!

    変数とは

    ではそれに対して変数とは一体何だったのでしょう。

    変数とは、いろいろな値を取れる数です。
    xやyで表されることが一般的なのではないでしょうか。

    関数を考えてみると、より分かりやすくなります。

    例えばy=ax²という関数を考えてみます。xとyが変数でaを定数と見ます。


    グラフを考えれば分かるように、xはいろいろな値を取ることができますし、それにともなってyもいろいろな値を取りますね。
    つまり「定まっていない値」「変化する値」になっています。
    一方aは、たとえば1だったり、−2だったり、ある一定の値を取る文字です。

    例題

    今まで日本語で説明してきましたが、ここで簡単な例題を考えて終わりにしましょう。

    問題:y=ax² (xとyが変数でaが定数)  が(x,y)=(2,-8)を通るとき、定数aの値を求めよ。

    解答:y=ax² に (x,y)=(2,-8)  を代入して -8=4a      ∴a=-2

    とても初歩的な問題ですが、この問題を噛み砕いてみます。

    xとyはいろいろな値を変化する値ですが、その(x,y)=(2,-8)という座標は通っています。

    ところでaは、実は定まった値を取るらしいのですがそれがまだ分からないので、それを求めましょうね。
    ということです!

    少しつかめましたか? 今後「定数」「変数」という言葉を見かけたら少し立ち止まって考えてみてください。 理解が深まると思います。


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