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【物理】ケプラーの法則(万有引力その3)

ケプラーの法則は全部で3つあります。

①惑星は太陽を一つの焦点とする楕円軌道を描く

②惑星と太陽間の線分が単位時間に描く面積は一定(S1=S2、面積速度一定の法則)

③惑星の公転周期の2乗と軌道の長半径の3乗の比は一定(a2/T3=定数)

①の意味するところは惑星の軌道が円ではなく楕円であり(実際の入試問題では円軌道が

多いですが)、太陽の位置は楕円の中心ではなく焦点の1つであるということです。

※二つの焦点が一致したとき楕円は円になります。

②は、太陽に近いところでは惑星は速度を増し、太陽から遠いところでは惑星は速度を落とすことを意味しています。
これは、惑星が軌道上を移動する際の面積速度が一定である事を意味し、「面積速度一定の法則」と呼ばれる所以です

③は、公転周期の長さは楕円軌道の長半径のみに依存し、楕円軌道の離心率に依存しないので、楕円軌道の長半径が同じであれば、円運動でも楕円運動でも周期は同じになるということを言っています。

※楕円や離心率については数学Ⅲで詳しくは勉強します。
(高校物理という意味では離心率など考えなくてかまいません)

実はケプラーの法則から万有引力の式を導出ができるので、最後に示します。

まず計算の簡略化のため円軌道であると仮定します。
(実際に太陽系の惑星は円軌道に近いです)そうすることで円運動で出てきた公式がそのまま使えます。ある惑星と太陽間の引力は

F=mr\omega^{2}=mr(\frac{2\pi}{T})^{2}=\frac{4\pi^{2}mr}{T^{2}}・・・イ

ケプラーの第三法則で今回半長軸aと半径rは等しいので

\frac{T^{2}}{a^{3}}=\frac{T^{2}}{r^{2}}=k

\therefore T^{2}=kr^{3}

これをイに代入すると

F=\frac{4\pi^{2}mr}{kr^{3}}=\frac{4\pi^{2}}{k}\bullet \frac{m}{r^{2}}=K\bullet\frac{m}{r^{2}}

\frac{4\pi^{2}}{k}は定数なので、Kとおきました。

よって惑星間の引力の大きさは、惑星の質量に比例し、太陽からの距離の2乗に反比例するということが示せました。


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