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物理

【物理】万有引力の問題（万有引力その４）

問：地球の半径R、自転周期T、地表面から高さｈの位置にいる人工衛星について以下の問いに答えよ。

（１）人工衛星の速さv0をR、ｈ、ｇを使って表せ

（2）人工衛星が静止しているときの高さｈを求めよ

（3）人工衛星が地表すれすれで運動しているときの速さv1を求めよ

（4）人工衛星の速さを早くしていくと地球の重力圏から脱出し、太陽の周りをまわる。このときの速さv2を求めよ。

解

（1）円運動の運動方程式より

m\frac{v^{2}}{R+h}=G\frac{Mm}{(R+h)^{2}}

\therefore v_{0}=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}=\sqrt{\frac{gR^{2}}{R+h}}・・・①

最後の式変形はmg=\frac{Gmm}{R^{2}}よりGM＝ｇR2を使いました。

 

（2）衛星の周期は

\frac{2\pi(R+h)}{v}=2\pi(R+h)\sqrt{\frac{R+h}{gR^{2}}}

これが地球の周期Tと等しいので（相対速度が0になるので止まって見える）

T=2 \pi (R+h) \sqrt{\frac{R+h}{gR^{2}}}

∴h = \sqrt [3] {\frac{gR^{2}T^{2}}{4\pi^{2}}}-R

例えばR=6400 km,ｇ＝9.8m/s2,T=24時間＝86400秒を代入すると、hは約36000 kmとなります。

 

（3）①においてh=0とすればいいから

v_{1}=\sqrt{gR}

ちなみに実際に値を代入するとv1=7.90 m/sです。

（4）地球の重力圏を抜けるということは、無限に遠い点において、速度が0以上であれば、物体は地球の重力圏から抜け出すことができます。
よって、万有引力の位置エネルギーを考えてエネルギー保存則を立てると

\frac{1}{2}mv_{2^{2}}-G\frac{Mm}{R}=0

\therefore v_{2}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2}gR

となります。なお計算すると11.2 km/sとなります。

ここで取り上げた問題は大学入試でよく出るのでよく復習しておきましょう。

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