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【物理】運動量保存則と具体例(運動量・力積その3)

小山くん
物体が衝突した後の速度って、どうしたら求められるんだろう。
山田さん
物体にはたらいた力が分からないから、よくわからないね。
小山くん
衝突した時間が分からないから、力積もわからないよね。

衝突前の速度から、衝突後の速度を求める問題は、運動量保存則というものを使って解くことができます。これは、「作用・反作用の力のみがはたらく物体の運動量の和は一定である」という法則です。まずは式でこの法則を導いてみましょう。

運動量保存則の導き方

質量がそれぞれm_{1},m_{2}の物体1,2が、それぞれ速度 v_{1},v_{2} (図右向きを正とする)で運動しているとします。この物体が衝突した後、それぞれの速度がv'_{1},v'_{2}になったとします。

物体1,2のみを考えると、この2つの物体には衝突後の作用・反作用の力のみはたらいています。
図は右向きが正となっているので、物体1にはたらく力を-F、物体2にはたらく力をFとします。

また、衝突してから離れるまでにかかった時間をtとします。
物体にはたらく力、および力がはたらく時間をおいたので、運動量と力積の式を立ててみます。物体1、2それぞれについての運動量と力積の式は

-Ft=m_{1}v'_{1}-m_{1}v_{1}

Ft=m_{2}v'_{2}-m_{2}v_{2}

のようになります。この2式の辺々を足し合わせて整理すると

m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v'_{1}+m_{2}v'_{2}

のような等式が得られます。この式こそ、作用・反作用のみがはたらく物体の運動量の和が一定である、という運動量保存則の式なのです。

この式は、力学的エネルギー保存則と似ていますが、適用できる条件が異なります。

力学的エネルギー保存則は「摩擦や空気抵抗などで失われるエネルギーがない場合」、運動量保存則は「作用・反作用のみがはたらく場合」に適用できます。

例えば「重力に引かれて落下する物体」を考えると、空気抵抗を考慮しない場合は位置エネルギーが運動エネルギーに変化しているので力学的エネルギー保存則は成り立ちます。

ですが、作用・反作用以外の力がはたらいている(物体が地球を引く力は考慮していないため)ので、運動量保存則は成り立ちません。

また、少し先の単元になりますが、「2つの物体が非弾性衝突した場合」を考えると、エネルギーが失われてしまうため力学的エネルギー保存則は成り立ちません。
ですが、作用・反作用の力のみがはたらいているため運動量保存則は成り立ちます。

衝突後の物体の速度を求める

速度4.0m/sで運動する質量3.0kgの小球Xと、速度-2.0m/sで運動する質量2.0kgの小球Yが衝突しました。
衝突後、小球Yの速度は2.5m/sでした。このとき、衝突後の小球Xの速度vを求めよ。

物体同士の衝突では、作用・反作用の力のみがはたらきますので、運動量保存則を適用することができます。

運動量保存則の式を立ててみましょう。

3.0×4.0+(-2.0)×2.0=3.0×v+2.5×2.0

この式を整理すると、速度v=1.0m/sとなります。


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