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慶應総合政策2018

2018年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問5

2018年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問5

方針の立て方

各位の数字に着目していたり,n桁とn+1桁を比べたりしていることから,自然数というよりは,数字の並べ方の問題だととらえると処理しやすい.つまり,数字を1つ新しく加えることで,n桁→n+1桁に遷移すると考えるのである.自然数が3の倍数になる必要十分条件は,文系数学頻出のテーマのため覚えておくこと(他にも2,4,5の倍数になる条件は覚えておこう).(46)(47)(48)まで解けたら,後は典型的な漸化式の解法である.

解答例
(45)……5
(46)……1
(47)……2
(48)……2
(49)(50)……-1
(51)(52)……02
(53)(54)……05
(55)(56)……02
(57)(58)……-1
(59)(60)……05
(61)(62)……03

解説

〇(45)について
各位の数が1,2,3,5,7のどれかとなれば必要十分.\therefore5^n……(答)

〇(46)以降について
各々の位の数字が1または素数となっているn+1桁の自然数は,各々の位の数字が1または素数となっているn桁の自然数に,1または素数をどこかの位に割り込ませた数字と見做せる.
3の倍数となる必要十分条件が,各々の位の数字の和が3の倍数となることであることに注意すると,
n桁の自然数が3で割り切れるとき…3をどこかの位に割り込ませれば,n+1桁の自然数も3で割り切れる.
n桁の自然数が3で割ると1余る数のとき…2か5をどこかの位に割り込ませれば,n+1桁の自然数も3で割り切れる.
n桁の自然数が3で割ると2余る数のとき…1か7をどこかの位に割り込ませれば,n+1桁の自然数も3で割り切れる.
よって,a_n+2b_n+2c_n=a_{n+1}……(答)
また,a_n+2b_n+2c_n=a_{n+1}\Leftrightarrow a_{n+1}=a_n+2\left(b_n+c_n\right)であること,①\Leftrightarrow b_n+c_n=5^n-a_nであることから,b_n+c_nを消去して,
a_{n+1}=a_n+2\left(5^n-a_n\right)\Leftrightarrow a_{n+1}=-a_n+2\cdot5^n……(答)
この漸化式を解く.両辺を5^{n+1}で割って,
\frac{a_{n+1}}{5^{n+1}}=-\frac{1}{5}\cdot\frac{a_n}{5^n}+\frac{2}{5}
\frac{a_n}{5^n}=A_nと置くと,
A_{n+1}=-\frac{1}{5}A_n+\frac{2}{5}\Leftrightarrow A_{n+1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{5}\left(A_n-\frac{1}{3}\right) \therefore A_n-\frac{1}{3}=\left(A_1-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}=\left(\frac{a_1}{5}-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)^n
\therefore a_n=\left\{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)^n\right\}\cdot5^n=\frac{2\left(-1\right)^n+5^n}{3}……(答)

続きはこちらから

大問1

大問2

大問3

大問4

大問5

 

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