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慶應総合政策2018

2018年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問5

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2018年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問5

方針の立て方

各位の数字に着目していたり,n桁とn+1桁を比べたりしていることから,自然数というよりは,数字の並べ方の問題だととらえると処理しやすい.つまり,数字を1つ新しく加えることで,n桁→n+1桁に遷移すると考えるのである.自然数が3の倍数になる必要十分条件は,文系数学頻出のテーマのため覚えておくこと(他にも2,4,5の倍数になる条件は覚えておこう).(46)(47)(48)まで解けたら,後は典型的な漸化式の解法である.

解答例
(45)……5
(46)……1
(47)……2
(48)……2
(49)(50)……-1
(51)(52)……02
(53)(54)……05
(55)(56)……02
(57)(58)……-1
(59)(60)……05
(61)(62)……03

解説

〇(45)について
各位の数が1,2,3,5,7のどれかとなれば必要十分.\therefore5^n……(答)

〇(46)以降について
各々の位の数字が1または素数となっているn+1桁の自然数は,各々の位の数字が1または素数となっているn桁の自然数に,1または素数をどこかの位に割り込ませた数字と見做せる.
3の倍数となる必要十分条件が,各々の位の数字の和が3の倍数となることであることに注意すると,
n桁の自然数が3で割り切れるとき…3をどこかの位に割り込ませれば,n+1桁の自然数も3で割り切れる.
n桁の自然数が3で割ると1余る数のとき…2か5をどこかの位に割り込ませれば,n+1桁の自然数も3で割り切れる.
n桁の自然数が3で割ると2余る数のとき…1か7をどこかの位に割り込ませれば,n+1桁の自然数も3で割り切れる.
よって,a_n+2b_n+2c_n=a_{n+1}……(答)
また,a_n+2b_n+2c_n=a_{n+1}\Leftrightarrow a_{n+1}=a_n+2\left(b_n+c_n\right)であること,①\Leftrightarrow b_n+c_n=5^n-a_nであることから,b_n+c_nを消去して,
a_{n+1}=a_n+2\left(5^n-a_n\right)\Leftrightarrow a_{n+1}=-a_n+2\cdot5^n……(答)
この漸化式を解く.両辺を5^{n+1}で割って,
\frac{a_{n+1}}{5^{n+1}}=-\frac{1}{5}\cdot\frac{a_n}{5^n}+\frac{2}{5}
\frac{a_n}{5^n}=A_nと置くと,
A_{n+1}=-\frac{1}{5}A_n+\frac{2}{5}\Leftrightarrow A_{n+1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{5}\left(A_n-\frac{1}{3}\right) \therefore A_n-\frac{1}{3}=\left(A_1-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}=\left(\frac{a_1}{5}-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)^n
\therefore a_n=\left\{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)^n\right\}\cdot5^n=\frac{2\left(-1\right)^n+5^n}{3}……(答)

続きはこちらから

大問1

大問2

大問3

大問4

大問5

 

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。