2018年慶應義塾大学総合政策|数学過去問徹底研究大問3

方針の立て方

どれも期待値の定義通りに計算するだけで解答が得られる．特筆事項なし．

解答例

(19)(20)(21)(22)…… $\frac{07}{08}$
(23)(24)(25)(26)…… $\frac{27}{64}$
(27)(28)(29)(30)…… $\frac{09}{16}$

解説
(1)
$X_1$ の期待値は， $\frac{5}{8}\cdot1+\frac{3}{8}\cdot0=\frac{5}{8}$ 億円
$X_2$ の期待値は， $\frac{1}{4}\cdot1+\frac{3}{4}\cdot0=\frac{1}{4}$ 億円
よって， $S_1$ の期待値は， $\frac{5}{8}+\frac{1}{4}=\frac{7}{8}$ 億円……(答)

(2)
コインB，コインCの状態が，
(表，表)となる確率は， $\frac{5}{8}\cdot\frac{1}{4}=\frac{5}{32}$ であり，そのとき $S_1=2$ となる．
(表，裏)となる確率は， $\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{4}=\frac{15}{32}$ であり，そのとき $S_1=1$ となる．
(裏，表)となる確率は， $\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{32}$ であり，そのとき $S_1=1$ となる．
(裏，裏)となる確率は， $\frac{3}{8}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{32}$ であり，そのとき $S_1=0$ となる．
よって， $Z_1$ の期待値は，
$\frac{5}{32}\left(2-\frac{7}{8}\right)^2+\frac{15}{32}\left(1-\frac{7}{8}\right)^2+\frac{3}{32}\left(1-\frac{7}{8}\right)^2+\frac{9}{32}\left(0-\frac{7}{8}\right)^2=\frac{27}{64}$ ……(答)

(3)
・コインAが表となる場合(その確率は $\frac{1}{2}$ )
コインBを二回投げた結果が，
(表，表)となる確率は， $\frac{5}{8}\cdot\frac{5}{8}=\frac{25}{64}$ であり，そのとき $S_2=2$ となる．
(表，裏)となる確率は， $\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{8}=\frac{15}{64}$ であり，そのとき $S_2=1$ となる．
(裏，表)となる確率は， $\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{8}=\frac{15}{64}$ であり，そのとき $S_2=1$ となる．
(裏，裏)となる確率は， $\frac{3}{8}\cdot\frac{3}{8}=\frac{9}{64}$ であり，そのとき $S_2=0$ となる．
・コインAが裏となる場合(その確率は $\frac{1}{2}$ )
コインCを二回投げた結果が，
(表，表)となる確率は， $\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$ であり，そのとき $S_2=2$ となる．
(表，裏)となる確率は， $\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{16}$ であり，そのとき $S_2=1$ となる．
(裏，表)となる確率は， $\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{16}$ であり，そのとき $S_2=1$ となる．
(裏，裏)となる確率は， $\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{16}$ であり，そのとき $S_2=0$ となる．
よって， $Z_2$ の期待値は，
$\frac{1}{2}\left\{\frac{25}{64}\left(2-\frac{7}{8}\right)^2+\frac{15}{64}\left(1-\frac{7}{8}\right)^2+\frac{15}{64}\left(1-\frac{7}{8}\right)^2+\frac{9}{64}\left(0-\frac{7}{8}\right)^2\right\}+\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{16}\left(2-\frac{7}{8}\right)^2+\frac{3}{16}\left(1-\frac{7}{8}\right)^2+\frac{3}{16}\left(1-\frac{7}{8}\right)^2+\frac{9}{16}\left(0-\frac{7}{8}\right)^2\right\}=\frac{9}{16}$ ……(答)