2018年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問2

方針の立て方

(1)
平易な問題のため特筆事項なし．

(2)
実際に，対角線ACと接する円を考えると，題意を満たす範囲についてはすぐ分かる．次に面積を求めることになるが，題意を満たす図形は，辺の長さが不明な六角形であり，この面積を直接求めるのは難しい．そこで，長方形から三角形を２つ切り出すという解法にシフトする．

(3)
題意を満たす範囲については，(2)の対称性で考えればすぐに分かる．本問でもやはり題意を満たす図形の面積を直接求めるのは難しいため，三角形を切り出すという解法にシフトする．対称性から，切り出す三角形は二等辺三角形であることを見抜きたい．４つの三角形に関して分かる情報は底辺の長さだけであるから，４つの三角形だけに囚われず，12や9など，元から分かっている長さの情報が活用できないかを考える．すると本解の $\tan{\varphi}$ を特定する方針が立つ．

解答例
(7)(8)(9)……140
(10)(11)(12)……032
(13)(14)(15)(16)(17)(18)…… $\frac{359}{006}$

解説

(1)

上図の斜線部が題意を満たす．
$\therefore10\times14=140$ ……(答)

(2)

左上図の斜線部が題意を満たす．ここで，右上図のように，対角線ACと辺BCと接する半径１の円の中心をI，対角線ACと辺CDと接する半径１の円の中心をJとする．また，直線CIと辺AB，直線CFと辺DAの交点を，それぞれE，Fとする．更にIから辺BCへの垂線の足をG，Jから辺CDへの垂線の足をHとする．
ここでCGとCHの長さを求める．
まず，対角線ACの長さは，三平方の定理より20である．
また， $\angle$ ACE $=\angle$ ECB，∠ACF $=$ ∠FCDが成り立つから，角の二等分線の定理より，
AE $\colon$ EB $=20\colon16$ ，AF $\colon$ FD $=20\colon12$ が成り立つ．これより，EB $=\frac{16}{3}$ ，FD $=6$ と分かる．
更に， $\triangle$ EBC $\backsim\triangle$ IGC，△FCD∽△JCHより，相似比から，CG $=3$ ，CH $=2$ と分かる．
よって，左上図について長さの情報を足すと，下図となる．

上図より，(1)で求めた図形から， $12\times9$ の直角三角形を２つ取り除いた図形であることが分かる．よって，求める面積は，
$140-2\cdot\frac{1}{2}\cdot12\cdot9=32$ ……(答)

(3)

題意を満たす領域は上図の斜線部．
前問と同様に(1)で求めた図形から，三角形を４つ取り除いた図形と見做して考える．
上図のように角度 $\varphi$ を取ると， $\tan{\varphi}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$ となる．このことより，右側の三角形の面積は，
$2\times\frac{1}{2}\cdot4\cdot4\tan{\varphi}=\frac{64}{3}$
となる．他の３つの三角形も同様に面積を求めることができて，左の三角形の面積は $\frac{64}{3}$ ，上下の三角形の面積はそれぞれ $\frac{75}{4}$ ．これより，求める面積は，
$140-2\cdot\frac{64}{3}-2\cdot\frac{75}{4}=\frac{359}{6}$ ……(答)