慶應義塾大学過去問徹底研究　2016年大問5

方針の立て方

(ニ)と(ヌ)については，基本的な解法であるため特筆事項なし．
(ネ)について．
面と垂線の問題である．面は２つの線形独立なベクトル(このようなベクトルを基底ベクトルという)の線形結合で表現される．つまり，「面と垂直」という条件を，「２つの基底ベクトルと垂直」という条件に言い換えることができる．このことを利用しよう．なお，面と垂線の問題は難関大学では頻出の問題であるため，この問題ができなかった受験生は是非復習してほしい．
(ノ)について．
前問で $\triangle\mathrm{ABC}$ の垂線を考えたので， $\triangle\mathrm{ABC}$ を底面と考えて体積を求めるという方針が立つ．そのためには高さに当たる線分 $\mathrm{OH}$ の長さを求める必要があるため，線分 $\mathrm{OH}$ のことを考える．
(ハ)について．
実際に点 $\mathrm{P}$ と点 $\mathrm{Q}$ を作図する． $\triangle\mathrm{ABC}$ は全ての辺の長さが分かっているため，垂線 $\mathrm{BB^\prime}$ の長さが求められることを考えれば，相似比を使うという考え方も思い浮かぶ．
(ヒ)について．
$\triangle\mathrm{OAC}\equiv\triangle\mathrm{BCA}$ であることから，四面体のねじれ具合を考え，切り口の形を考える．線分 $\mathrm{PQ}$ の長さを前問で求めたので，線分 $\mathrm{PQ}$ を底辺として考えるという方針を立てると，点 $\mathrm{R}$ について考えるという方針も立つ．

解答例
ニ: $\frac{3}{2}$
ヌ: $\frac{3\sqrt{15}}{4}$
ネ: $\frac{7}{9}\vec{\mathrm{AB}}+\frac{1}{3}\vec{\mathrm{AC}}$
ノ: $\frac{5\sqrt2}{4}$
ハ: $\frac{21\sqrt{15}}{40}$
ヒ: $\frac{45\sqrt2}{32}$

解説

〇 $\vec{\mathrm{AB}}\cdot\vec{\mathrm{AC}}$ と， $\triangle\mathrm{ABC}$ の面積について(ニ，ヌについて)
$\triangle\mathrm{ABC}$ に対して余弦定理より，
$\left(\sqrt{10}\right)^2=3^2+2^2-2\vec{\mathrm{AB}}\cdot\vec{\mathrm{AC}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{AB}}\cdot\vec{\mathrm{AC}}=32$ ……(答)
$\therefore\triangle\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{\mathrm{AB}}\right|^2\left|\vec{\mathrm{AC}}\right|^2-\left(\vec{\mathrm{AB}}\cdot\vec{\mathrm{AC}}\right)^2}=\frac{3\sqrt{15}}{4}$ ……(答)

〇 $\vec{\mathrm{AH}}$ について(ネについて)
$\vec{\mathrm{AH}}=x\vec{\mathrm{AB}}+y\vec{\mathrm{AC}}$ ( $x,y$ は実数定数)とおく．すると， $\vec{\mathrm{OH}}=x\vec{\mathrm{AB}}+y\vec{\mathrm{AC}}-\vec{\mathrm{AO}}$
平面 $\alpha$ と $\mathrm{OH}$ は直交するので，下記の条件
$\begin{cases}\vec{\mathrm{OH}}\cdot\vec{\mathrm{AB}}=0\\\vec{\mathrm{OH}}\cdot\vec{\mathrm{AC}}=0\end{cases}$
を満たす．
ここで． $\triangle\mathrm{OAB}$ と $\triangle\mathrm{OAC}$ それぞれに余弦定理を用いることで，
$\begin{cases}\vec{\mathrm{AO}}\cdot\vec{\mathrm{AB}}&=\frac{15}{2}\\\vec{\mathrm{AO}}\cdot\vec{\mathrm{AC}}&=\frac{5}{2}\end{cases}$
を得る．これを用いて，上の条件式を計算すると，
$\begin{cases}x=\frac{7}{9}\\y=\frac{1}{3}\end{cases}$
を得る．
$\therefore\vec{\mathrm{AH}}=\frac{7}{9}\vec{\mathrm{AB}}+\frac{1}{3}\vec{\mathrm{AC}}$ ……(答)

〇四面体 $\mathrm{OABC}$ の体積について(ノについて)
$\left|\vec{\mathrm{AH}}\right|^2=\left(\frac{7}{9}\vec{\mathrm{AB}}+\frac{1}{3}\vec{\mathrm{AC}}\right)\cdot\left(\frac{7}{9}\vec{\mathrm{AB}}+\frac{1}{3}\vec{\mathrm{AC}}\right)=\frac{49}{81}\left|\vec{\mathrm{AB}}\right|^2+\frac{1}{9}\left|\vec{\mathrm{AC}}\right|^2+\frac{14}{27}\vec{\mathrm{AB}}\cdot\vec{\mathrm{AC}}=\frac{20}{3}$
$\therefore\left|\vec{\mathrm{OH}}\right|^2=\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2-\left|\vec{\mathrm{AH}}\right|^2=\frac{10}{3}\Leftrightarrow\left|\vec{\mathrm{OH}}\right|=\frac{\sqrt{30}}{3}$
よって，四面体 $\mathrm{OABC}$ の体積は，
$\frac{1}{3}\cdot\triangle\mathrm{ABC}\cdot\vec{\mathrm{OH}}=13\cdot\frac{3\sqrt{15}}{4}\cdot\frac{\sqrt{30}}{3}=\frac{5\sqrt2}{4}$ ……(答)

〇 $\mathrm{PQ}$ の長さについて(ハについて)
点 $\mathrm{P}$ は，線分 $\mathrm{AH}$ 上の点のため，
$\vec{\mathrm{AP}}=k\vec{\mathrm{AH}}=\frac{7}{9}k\vec{\mathrm{AB}}+\frac{1}{3}k\vec{\mathrm{AC}}$
と書ける．
ここで，点 $\mathrm{P}$ は $\triangle\mathrm{ABC}$ において，辺 $\mathrm{BC}$ 上の交点であるから，
$\frac{7}{9}k+\frac{1}{3}k=1\Leftrightarrow k=\frac{9}{10}$
$\therefore\vec{\mathrm{AP}}=\frac{7}{10}\vec{\mathrm{AB}}+\frac{3}{10}\vec{\mathrm{AC}}$
よって，点 $\mathrm{P}$ は，線分 $\mathrm{BC}$ を３：７に内分する点．

上図のように， $\triangle\mathrm{ABC}$ で， $\mathrm{B}$ から $\mathrm{AC}$ への垂線の足を $\mathrm{B}^\prime$ とする．
$\mathrm{A}\mathrm{B}^\prime=x>0$ とおくと，三平方の定理より，
${\mathrm{AB}}^2-x^2={\mathrm{BC}}^2-\left(\mathrm{AC}-x\right)^2\Leftrightarrow x=\frac{3}{4}$
$\thereforeB\mathrm{B}^\prime=\frac{3\sqrt{15}}{4}$
$\triangleC\mathrm{B}^\prime\mathrm{B}∽\triangleCQP$ (相似比10：7)より，
$\mathrm{PQ}=\frac{7}{10}\cdot\frac{3\sqrt{15}}{4}=\frac{21\sqrt{15}}{40}$ ……(答)

〇切り口の面積について(ヒについて)
４つの面が全て合同であることから，２点 $\mathrm{P,Q}$ を通り平面 $\alpha$ に垂直な平面は，辺 $\mathrm{OA}$ ，辺 $\mathrm{OB}$ と交わる．
特に，線分 $\mathrm{PQ}$ を平面 $\alpha$ と垂直な方向に動かすと， $\triangle\mathrm{OAC}$ 上を通ると考えられる．
ここで， $\mathrm{P}$ から， $\triangle\mathrm{OAC}$ への垂線の足を $\mathrm{R}$ とする．
$\vec{\mathrm{AR}}=s\vec{\mathrm{AO}}+t\vec{\mathrm{AC}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{PR}}=s\vec{\mathrm{AO}}-\frac{7}{10}\vec{\mathrm{AB}}+\left(t-\frac{3}{10}\right)\vec{\mathrm{AC}}$ ( $s,t$ は実数定数)とおく．

$\mathrm{PR}$ と $\triangle\mathrm{ABC}$ は直交するので，
$\begin{cases}\vec{\mathrm{PR}}\cdot\vec{\mathrm{AB}}=0\\\vec{\mathrm{PR}}\cdot\vec{\mathrm{AC}}=0\end{cases}$
これを解くと、
$\begin{cases}x=\frac{9}{10}\\y=0\end{cases}$
よって，点 $\mathrm{R}$ は辺 $\mathrm{AO}$ 上の点であり，
$\vec{\mathrm{AR}}=\frac{9}{10}\vec{\mathrm{AO}}$
となる．
$\therefore\vec{\mathrm{PR}}=\frac{9}{10}\vec{\mathrm{AO}}-\frac{7}{10}\vec{\mathrm{AB}}-\frac{3}{10}\vec{\mathrm{AC}}$
$\therefore\left|\vec{\mathrm{PR}}\right|=\frac{3\sqrt{30}}{10}$

また，上図のように，２点 $\mathrm{P,Q}$ を通り平面 $\alpha$ に垂直な平面と辺 $\mathrm{OB}$ の交点を $\mathrm{S}$ とし， $\mathrm{S}$ から平面 $\alpha$ への垂線の足を $\mathrm{T}$ とする．
$\triangle\mathrm{BOH}\backsim\triangle\mathrm{BST}$ より， $\mathrm{T}$ は $\mathrm{BH}$ 上の点であり，かつ， $\mathrm{PQ}$ 上の点であるから，実数定数 $i,j$ を用いて，
$\bagin{cases}\vec{\mathrm{BT}}=i\vec{\mathrm{BH}}\\\vec{\mathrm{QT}}=j\vec{\mathrm{QP}}\end{cases}\Leftrightarrow\bagin{cases}\vec{\mathrm{QT}}&=\left(1-\frac{2}{9}x\right)\vec{\mathrm{AB}}+\left(\frac{1}{3}x-\frac{9}{16}\right)\vec{\mathrm{AC}}\\\vec{\mathrm{QT}}&=\frac{7}{10}j\vec{\mathrm{AB}}-\frac{21}{80}j\vec{AC}\end{cases}$
係数比較して解くことで，
$j=\frac{25}{21}$
を得る．
$\therefore\left|\vec{\mathrm{QT}}\right|=\frac{25}{21}\left|\vec{\mathrm{PQ}}\right|=\frac{5\sqrt{15}}{8}$
等積変形の考え方を用いれば，求める面積は $\triangle\mathrm{RTQ}$ の面積と同じであるから，
$\frac{1}{2}\cdot\mathrm{QT}\cdot\mathrm{PR}=\frac{1}{2}\cdot\frac{5\sqrt{15}}{8}\cdot\frac{3\sqrt{30}}{10}=\frac{45\sqrt2}{32}$ ……(答)