早稲田大学教育学部

全体概観：
理系数学なので当たり前なのですが、数学Ⅲの微分積分をテーマとした問題が、毎年出題されています。
その他の分野では、数列、漸化式、確率、場合の数、といった分野も頻出となっています。

難易度は、バラバラで難しい問題もあれば、簡単めの問題も出題されています。難易度の差はありますが、制限時間120分というのを考えると決してやさしくはありません。

圧勝している人はこう考える

ここでは過去問を使って、早慶の入試で圧勝をしている人はどのように考えているのかを示していきます。

(1)は簡単ですが、少し実験して考えてみましょう。

実験

ここくらいまで考えれば、状況がつかめてきますね!

・n秒後に外の囲い(■)が点灯すること。

・3囲いずつ点灯と消灯をくり返すこと。(周期が3)

ここまでつかめば、こっちのものです。

記述するにおいて、上のように”・”をたくさん書くのは面倒ですし、厳密な答案を書く上で少し工夫してみましょう。

n=1で点灯した電球を原点(0,0)として、電球を座標平面上の格子点に載せてみます。

解　電球を座標平面上の格子点にのせて、最初に点灯した電球を原点(0,0)にもってくる。

(1)n+1秒後に初めて点灯した電球はn秒後に点灯した電球と隣接しているから $|P_{n+1}-P_n|$ =1or $\sqrt2$ である。

( $P_k$ はk秒後にはじめて点灯した電球)(n≧1)

∴n秒後に初めて点灯する電球の個数 $a_n$ は|x|=n-1かつ|y|=n-1かつ|x|≦n-1,|y|≦n-1を満たす格子点の個数に一対一に対応する。

$a_n$ =4{2(n-1)+1}-4=8(n-1)(n≧1)

以上からまとめると $a_1=1$ , $a_n$ =8(n-1)(n≧2)…(答)

(2)消える電球を無視して考えると、n秒後についている電球の個数 $S_n$ は1辺が(2n-1)の正方形の面積と対応するから、 $S_n=(2n-1)^2$ …①

ここから、周期3ごとに消灯する電球を引いて考える。

(ⅰ)n=3k+1(k≧1)のとき、 $b_n=S_n-(a_2+a_5+\ldots+a_{3k-1})=S_n-\displaystyle\sum_{l=1}^k 8\{(3l-1)-1\}=S_n-8(\frac{3}{2}k(k+1)-2k)=S_n-4(3k^2-k)=(2n-1)^2-4\{(n-1)\frac{n-1}{3}-\frac{n-1}{3}\}=(2n-1)^2-\frac{4}{3}(n-1)(n-2)=\frac{8n^2-5}{3}$ …(答)(n=1のときも成立)

(ⅱ)n=3k+2(k≧2)

$b_n=S_n-(a_3+a_6+\ldots+a_{3k})=S_n-\displaystyle\sum_{l=1}^k 8(3l-1)=S_n-8\{\frac{3}{2}k(k+1)-k\}=S_n-4(3k^2+k)=(2n-1)^2-4\{(n-2)\frac{n-2}{3}+\frac{n-2}{3}\}=(2n-1)^2-\frac{4}{3}(n-1)(n-2)=\frac{8n^2-5}{3}$ …(答)(n=2のときも成り立つ。)

(ⅲ)n=3(k+1)(k≧1)

$b_n=S_n-(a_1+a_4+\ldots+a_{3k+1})=S_n-\{1+\displaystyle\sum_{l=1}^k 8(3k+1-1)\}=S_n-(1+8\sum_{l=1}^k 3k)=S_n-{1+12k(k+1)}=S_n-\{1+4(n-3)\frac{n}{3}\}=(2n-1)^2-\frac{4}{3}n(n-3)-1=4n^2-\frac{4}{3}n^2=\frac{8}{3}n^2$ …(答)

(3)(2)より

(ⅰ)(ⅱ)のとき、 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{b_n}{n^2}=\frac{8}{3}-\frac{5}{n^2}=\frac{8}{3}$

(ⅲ)のとき、 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n^2}=\frac{8}{3}$

なので、 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n^2}=\frac{8}{3}$ …(答)

■(3)を少し考えてみましょう。

$S_n=(2n-1)^2$ とは(2)の通り左図の斜線の面積で $n^2$ は、左図でいう約第一象限分の面積ですから、 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2}=4$ です。

$b_n=S_n-T_n$ (消灯分の面積)なので、 $\frac{b_n}{n^2}=\frac{S_n}{n^2}-\frac{T_n}{n^2}$

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n^2}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2}-\lim_{n\to\infty}\frac{T_n}{n^2}$

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{T_n}{n^2}$ をXとすると、

$\frac{8}{3}=4-X \rightleftharpoons X=\frac{4}{3}$ で

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{T_n}{n^2}=\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n^2}$ がわかります。

原点に点がついたときは、点灯している面積のほうが断然大きくなりますが、nが十分大きくなると(消灯分の面積)：(点灯分の面積)＝1:2となっていくわけですね。

一人ひとりの節電が地球を救います！Let’s省エネ！

(問)nを2以上の自然数とし1からnまでの自然数の順列： $a_1 a_2 \ldots a_n$ のうち条件(※)を満たす順列の個数を $P_n$ とおく。

条件(※)： $a_k<a_{k+1}$ を満たさないようなkが順列中にただ1つ存在する。

以下の問いに答えよ。

(1) $P_3$ を求めよ。

(2) $P_4$ を求めよ。

(3) $P_{n+1}$ を $P_n$ を用いて表わせ。

(4) $P_n$ をnを用いて表わせ。　　　(2017早大教育1(2)改題)

少し解きやすく改題してみました。早速やってみましょう。

実験　　 $P_n$ に適する順列を( ),適さないものを{ }で表します。

（表）

あとは各々の補題(ⅰ)(ⅱ)を示して(3)を先に解いてしまいます。

[(ⅰ)の証明]

nを大きな数とする。 $P_n$ のある順列について、( $a_1,a_2,\ldots,a_i,a_{i+1}\ldots,a_n$ )が(※)と条件を満たすとする。( $a_i>a_{i+1}$ )

ここに(n+1)を挿入することを考える。

(Ⅰ) $a_1,a_2,\ldots,a_i$ について、 $a_j$ (1≦j≦i)はすべてn以下なので、この↑のうち1つに(n+1)を挿入すると $a_k<a_{k+i}$ を満たさないところがこの順列だけで1か所存在してしまい、 $a_i>a_{i+1}$ と合わせて2か所存在するので、(※)に反する。