方針の立て方
(1)
絶対値問題の典型的解法，つまり，場合分けをして絶対値記号を外すことを試みる．その後は二次関数の最大最小問題と同じように，区間とグラフの位置関係で場合分けを行う．場合分けのパターンが多いが，対称性があるため⑤～⑦は実質的に計算しなくても答えは分かる．後は $f\left(x\right)$ と直線 $y=1$ を図示して面積を求めるのみ．

(2)
4次方程式の解析は難しいため，次数を下げることを考える．そこで「 $x=\alpha$ は代数方程式 $P\left(x\right)=0$ の解である」⇔「多項式 $P\left(x\right)$ は $x-\alpha$ を因数にもつ」という解の重要性質を利用すると考えよう．この重要性質を使えば，2次方程式の解析問題に帰着させられる．後は，実数解なのか虚数解なのかで場合分けをして考えればよい．

(3)
長さの問題であるため，座標系を導入すると考えやすくなると考える．「座標は長さの問題のときに強く，角度の問題のときには弱い」というのは覚えておこう．後は問題の状況を丁寧に書き下していけばよい．平方完成を用いた最小値問題は頻出問題なのでおさえておくこと．

(4)
${10}^{-k}2^n$ と ${10}^{100}3^{-n}$ のどちらが $\mathrm{max}\left\{{10}^{-k}2^n,{10}^{100}3^{-n}\right\}$ の値になるかを考えよう(絶対値記号と同様に $\mathrm{max}$ もそのままでは扱いにくいので外すことをまず考える)．「全ての整数 $n$ に対して」となっているので，まずは $k$ を固定して $n$ のみを変数扱いして考えよう． ${10}^{-k}2^n$ と ${10}^{100}3^{-n}$ はそれぞれ単調増加，単調減少であるため，最初は ${10}^{-k}2^n<{10}^{100}3^{-n}$ となるだろうと分かる．そこで ${10}^{-k}2^n={10}^{100}3^{-n}$ となる $n$ を考える．後は十分条件を考え，そのあとで，必要性を考える．つまり， $k\leqq63 \Rightarrow \mathrm{max}\left\{{10}^{-k}2^n,{10}^{100}3^{-n}\right\}\geqq1$ は言えるが，では $k$ をこれより大きくした場合はどうか，具体的には $k=64,65,66,\cdots\cdots$ はどうかを考える必要があると考える．すると $k=64$ で(＊)を満たさないことが確認できるので，答えは63と分かる．

解答例
(1)
ア： $\frac{5}{3}$
(2)
イ： $-3$
ウ： $-6$
(3)
エ： $\frac{6}{5}$
(4)
オ： $63$

解説
(1)
$g\left(t\right)=\left|\left|t\right|-1\right|$ とおくと，

①のとき( $x+1\leqq-1\Leftrightarrow x\leqq-2$ )
$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\int_{x-1}^{x+1}\left(-t-1\right)dt=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}t^2-t\right]_{x-1}^{x+1}=-x-1$
②のとき( $-1\leqq x+1\leqq0\Leftrightarrow-2\leqq x\leqq-1$ )
$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\int_{x-1}^{-1}\left(-t-1\right)dt+\frac{1}{2}\int_{-1}^{x+1}\left(t+1\right)dt=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}t^2-t\right]_{x-1}^{-1}+\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}t^2+t\right]_{-1}^{x+1}=\frac{1}{2}\left(x^2+2x+2\right)$
③のとき( $0\leqq x+1\leqq1\Leftrightarrow-1\leqq x\leqq0$ )
$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\int_{x-1}^{-1}\left(-t-1\right)dt+\frac{1}{2}\int_{-1}^{0}\left(t+1\right)dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{x+1}\left(-t+1\right)dt=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}t^2-t\right]_{x-1}^{-1}+\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}t^2+t\right]_{-1}^0+\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}t^2+t\right]_0^{x+1}=\frac{1}{2}$
④のとき( $x+1=1\Leftrightarrow x=0$ )
$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\int_{-1}^{0}\left(t+1\right)dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left(-t+1\right)dt=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}t^2+t\right]_{-1}^0+\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}t^2+t\right]_0^1=\frac{1}{2}$
⑤のとき( $-1\leqq x -1\leqq 0 \Leftrightarrow 0\leqq x\leqq1$ )
$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\int_{x-1}^{0}\left(t+1\right)dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left(-t+1\right)dt+\frac{1}{2}\int_{1}^{x+1}\left(t-1\right)dt=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}t^2+t\right]_{x-1}^0+\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}t^2+t\right]_0^1+\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}t^2-t\right]_1^{x+1}=\frac{1}{2}$
⑥のとき( $0\leqq x-1\leqq1\Leftrightarrow1\leqq x\leqq2$ )
$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\int_{x-1}^{1}\left(-t+1\right)dt+\frac{1}{2}\int_{1}^{x+1}\left(t-1\right)dt=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}t^2+t\right]_{x-1}^1+\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}t^2-t\right]_1^{x+1}=\frac{1}{2}\left(x^2-2x+2\right)$
⑦のとき( $1\leqq x-1\Leftrightarrow2\leqq x$ )
$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\int_{x-1}^{x+1}\left(t-1\right)dt=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}t^2-t\right]_{x-1}^{x+1}=x-1$
まとめると，
$f\left(x\right)=\begin{cases} -x-1 \left(x\leqq-2\right) \\ \frac{1}{2}\left(x^2+2x+2\right) \left(-2\leqq x\leqq-1\right) \\ \frac{1}{2} \left(-1\leqq x\leqq1\right) \\ \frac{1}{2}\left(x^2-2x+2\right) \left(1\leqq x\leqq2\right) \\ x-1 \left(2\leqq x\right) \end{cases}$
図示すると，

よって，求める面積は， $y$ 軸での対称性より，
$2\left\{\frac{1}{2}\cdot1+\int_{1}^{2}\left\{1-\frac{1}{2}\left(x^2-2x+2\right)\right\}dx\right\}=1+2\left[-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{2}x^2\right]_1^2=\frac{5}{3}$ ……(答)

(2)
実数解が1と3であることから，他の二解を $x=\alpha,\beta$ として，
$x^4+ax^3+bx^2+cx+3=\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)=x^4-\left(\alpha+\beta+4\right)x^3+\left(4\alpha+4\beta+\alpha\beta+3\right)x^2-\left(4\alpha\beta+3\alpha+3\beta\right)x+3\alpha\beta$
と書ける．係数比較すると，
$\begin{cases} a=-\left(\alpha+\beta+4\right) \\ b=4\alpha+4\beta+\alpha\beta+3 \\ c=-\left(4\alpha\beta+3\alpha+3\beta\right) \\ 3=3\alpha\beta \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \alpha+\beta=-a-4 \\ 4\alpha+4\beta=b-4 \\ 3\alpha+3\beta=-c-4 \\ \alpha\beta=1 \end{cases}$
となる．
次に，2次方程式 $\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)=0\Leftrightarrow x^2-\left(\alpha+\beta\right)x+\alpha\beta=0$ について考える．この方程式の解が1か3，或いは虚数解であれば，4次方程式 $x^4+ax^3+bx^2+cx+3=0$ の実数解が1と3のみとなる．
(Ⅰ) $\alpha,\beta$ が実数のとき
まず，判別式が非負となる必要があるので， $\left(\alpha+\beta\right)^2-4\cdot1\cdot\alpha\beta\geqq0\Leftrightarrow\left(\alpha-\beta\right)^2\geqq 0$ が必要である．
このもとで，2次方程式 $x^2-\left(\alpha+\beta\right)x+\alpha\beta=0$ の解が1か3のみとなるには， $\left(\alpha,\beta\right)=\left(1,1\right),\left(1,3\right),\left(3,1\right),\left(3,3\right)$ なら必要十分(これらは全て $\left(\alpha-\beta\right)^2\geqq0$ を満たす)．この内，(＊)式に抵触しないのは， $\left(\alpha,\beta\right)=\left(1,1\right)$ のみである．このとき，(＊)の第一式より， $a=-6$ となる．
(Ⅱ) $\alpha,\beta$ が虚数のとき
まず，判別式が負となる必要があるので， $\left(\alpha+\beta\right)^2-4\cdot1\cdot\alpha\beta<0\Leftrightarrow\left(\alpha-\beta\right)^2<0$ が必要である．
$\alpha,\beta$ が虚数ならば， $\alpha,\beta$ の値によらず，2次方程式 $x^2-\left(\alpha+\beta\right)x+\alpha\beta=0$ の解は虚数となる．
(＊)を利用すれば， $\left(\alpha-\beta\right)^2<0\Leftrightarrow\left(\alpha+\beta\right)^2-4\alpha\beta<0\Leftrightarrow\left(-a-4\right)^2<4\Leftrightarrow-6<a<-2$
以上(Ⅰ)と(Ⅱ)より，4次方程式 $x^4+ax^3+bx^2+cx+3=0$ の実数解が1と3のみとなる $a$ の範囲は $-6\leqq a<-2$ である．
$a$ は整数なので，求める最大値は $-3$ ，最小値は $-6$ である．……(答)

(3)
${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2={\mathrm{CA}}^2$ より，三角形 $\mathrm{ABC}$ は $\angle\mathrm{B}={90}^\circ$ の直角三角形である．

そこで，点 $\mathrm{B}$ を原点として，左図のように三角形 $\mathrm{ABC}$ を $xy$ 平面上にのせる．
内部の点 $\mathrm{O}$ の座標を左図のように $\left(X,Y\right)$ とおく．点 $\mathrm{O}$ は三角形 $\mathrm{ABC}$ の内部の点であるので，
$\begin{cases} 0\leqq X \\ 0\leqq Y \\ Y\leqq-\frac{3}{4}X+3 \end{cases}$ ……(＊)
を満たす必要がある．
このもとで，
${\mathrm{OP}}^2=X^2,{\mathrm{OQ}}^2=Y^2$
である．更に点と直線の距離の公式より，
${\mathrm{OR}}^2=\frac{\left(3X+4Y-12\right)^2}{3^2+4^2}=\frac{9X^2+16Y^2-72X-96Y+24XY+144}{25}$
である．
$\therefore{\mathrm{OP}}^2+{\mathrm{OQ}}^2+{\mathrm{OR}}^2=X^2+Y^2+\frac{9X^2+16Y^2-72X-96Y+24XY+144}{25}=\frac{1}{25}\left\{34\left(X+\frac{6Y-18}{17}\right)^2+\frac{1}{17}\left(25Y-24\right)^2+72\right\}$
よって，
$\begin{cases} X+\frac{6Y-18}{17}=0 \\ 25Y-24=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} X=\frac{18}{25} \\ Y=\frac{24}{25} \end{cases}$ で $\mathrm{OP}^2+\mathrm{OQ}^2+\mathrm{OR}^2$ は最小となる．なお， $\begin{cases} X=\frac{18}{25} \\ Y=\frac{24}{25} \end{cases}$ は(＊)を満たす．
このとき，
$\mathrm{OR}=\frac{\left|3\cdot\frac{18}{25}+4\cdot\frac{24}{25}-12\right|}{5}=\frac{6}{5}$ ……(答)

(4)
$k$ を固定して， ${10}^{-k}2^n={10}^{100}3^{-n}$ となる $n$ について考えると， ${10}^{-k}2^n={10}^{100}3^{-n}\Leftrightarrow6^n={10}^{100+k}$ より， $n=\log_6{{10}^{100+k}}=\left(100+k\right)\log_6{10}=\frac{100+k}{\log_{10}{6}}=\frac{100+k}{\log_{10}{2}+\log_{10}{3}}$
${10}^{-k}2^n$ は $n$ について単調増加であり， ${10}^{100}3^{-n}$ は単調減少であるから， $\mathrm{max}\left\{{10}^{-k}2^n,{10}^{100}3^{-n}\right\}$ の最小値は， ${10}^{100}3^{-\frac{100+k}{\log_{10}{2}+\log_{10}{3}}}$ 以上である．
よって， $\mathrm{max}\left\{{10}^{-k}2^n,{10}^{100}3^{-n}\right\}\geqq 1$ を満たすには，
${10}^{100}3^{-\frac{100+k}{{\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{2}}\mathrm{+} {\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}}}\geqq1\Leftrightarrow{10}^{100}\geqq\mathrm{3}^\frac{100+k}{{\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{2}}\mathrm{+} {\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}}\Leftrightarrow100\geqq\frac{100+k}{{\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{2}}\mathrm{+} {\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}}{\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}\Leftrightarrow k\leqq100\frac{{\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{2}}}{{\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}}$
であれば十分．
$100\frac{{\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{2}}}{{\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}}>100\frac{0.301}{0.4772}=63.07,100\frac{{\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{2}}}{{\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}}<100\frac{0.3011}{0.4771}=63.11$ と $k$ が整数であることから，
$k\leqq63$ であれば十分．
ここで， $k=64$ のときを考える．
$\frac{100+k}{\log_{10}{2}+\log_{10}{3}}=\frac{164}{\log_{10}{2}+\log_{10}{3}}$ であり $\frac{164}{0.3011+0.4772}<\frac{164}{\log_{10}{2}+\log_{10}{3}}<\frac{164}{0.301+0.4771}\Leftrightarrow210.71\mathrm{\cdots\cdots}<\frac{164}{\log_{10}{2}+\log_{10}{3}}<210.76\mathrm{\cdots\cdots}$ より， $\mathrm{max}\left\{{10}^{-64}2^n,{10}^{100}3^{-n}\right\}$ の最小値は， ${10}^{100}3^{-210}$ か ${10}^{-64}2^{211}$ である．
$\log_{10}{\left({10}^{100}3^{-210}\right)}=100-210\log_{10}{3}<100-210\cdot0.4771=-0.191$
$\log_{10}{\left({10}^{-64}2^{211}\right)}=-64+211\log_{10}{2}<-64+211\cdot0.3011=-0.4679$
より， ${10}^{100}3^{-210}<{10}^{-0.191}<{10}^0=1,{10}^{-64}2^{211}<{10}^{-0.4679}<{10}^0=1$ であるから， $k=64$ のとき条件(＊)は満たされない．
よって求める $k$ の最大値は63……(答)