偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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早稲田商学2017

2017年早稲田大学商学部|過去問徹底研究 大問1

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方
(1)
絶対値問題の典型的解法,つまり,場合分けをして絶対値記号を外すことを試みる.その後は二次関数の最大最小問題と同じように,区間とグラフの位置関係で場合分けを行う.場合分けのパターンが多いが,対称性があるため⑤~⑦は実質的に計算しなくても答えは分かる.後はf\left(x\right)と直線y=1を図示して面積を求めるのみ.

(2)
4次方程式の解析は難しいため,次数を下げることを考える.そこで「x=\alphaは代数方程式P\left(x\right)=0の解である」⇔「多項式P\left(x\right)x-\alphaを因数にもつ」という解の重要性質を利用すると考えよう.この重要性質を使えば,2次方程式の解析問題に帰着させられる.後は,実数解なのか虚数解なのかで場合分けをして考えればよい.

(3)
長さの問題であるため,座標系を導入すると考えやすくなると考える.「座標は長さの問題のときに強く,角度の問題のときには弱い」というのは覚えておこう.後は問題の状況を丁寧に書き下していけばよい.平方完成を用いた最小値問題は頻出問題なのでおさえておくこと.

(4)
{10}^{-k}2^n{10}^{100}3^{-n}のどちらが\mathrm{max}\left\{{10}^{-k}2^n,{10}^{100}3^{-n}\right\}の値になるかを考えよう(絶対値記号と同様に\mathrm{max}もそのままでは扱いにくいので外すことをまず考える).「全ての整数nに対して」となっているので,まずはkを固定してnのみを変数扱いして考えよう.{10}^{-k}2^n{10}^{100}3^{-n}はそれぞれ単調増加,単調減少であるため,最初は{10}^{-k}2^n<{10}^{100}3^{-n}となるだろうと分かる.そこで{10}^{-k}2^n={10}^{100}3^{-n}となるnを考える.後は十分条件を考え,そのあとで,必要性を考える.つまり,k\leqq63 \Rightarrow \mathrm{max}\left\{{10}^{-k}2^n,{10}^{100}3^{-n}\right\}\geqq1は言えるが,ではkをこれより大きくした場合はどうか,具体的にはk=64,65,66,\cdots\cdotsはどうかを考える必要があると考える.するとk=64で(*)を満たさないことが確認できるので,答えは63と分かる.

解答例
(1)
ア:\frac{5}{3}
(2)
イ:-3
ウ:-6
(3)
エ:\frac{6}{5}
(4)
オ:63

解説
(1)
g\left(t\right)=\left|\left|t\right|-1\right|とおくと,

①のとき(x+1\leqq-1\Leftrightarrow x\leqq-2)
f\left(x\right)=\frac{1}{2}\int_{x-1}^{x+1}\left(-t-1\right)dt=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}t^2-t\right]_{x-1}^{x+1}=-x-1
②のとき(-1\leqq x+1\leqq0\Leftrightarrow-2\leqq x\leqq-1)
f\left(x\right)=\frac{1}{2}\int_{x-1}^{-1}\left(-t-1\right)dt+\frac{1}{2}\int_{-1}^{x+1}\left(t+1\right)dt=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}t^2-t\right]_{x-1}^{-1}+\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}t^2+t\right]_{-1}^{x+1}=\frac{1}{2}\left(x^2+2x+2\right)
③のとき(0\leqq x+1\leqq1\Leftrightarrow-1\leqq x\leqq0)
f\left(x\right)=\frac{1}{2}\int_{x-1}^{-1}\left(-t-1\right)dt+\frac{1}{2}\int_{-1}^{0}\left(t+1\right)dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{x+1}\left(-t+1\right)dt=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}t^2-t\right]_{x-1}^{-1}+\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}t^2+t\right]_{-1}^0+\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}t^2+t\right]_0^{x+1}=\frac{1}{2}
④のとき(x+1=1\Leftrightarrow x=0)
f\left(x\right)=\frac{1}{2}\int_{-1}^{0}\left(t+1\right)dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left(-t+1\right)dt=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}t^2+t\right]_{-1}^0+\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}t^2+t\right]_0^1=\frac{1}{2}
⑤のとき(-1\leqq x -1\leqq 0 \Leftrightarrow 0\leqq x\leqq1)
f\left(x\right)=\frac{1}{2}\int_{x-1}^{0}\left(t+1\right)dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left(-t+1\right)dt+\frac{1}{2}\int_{1}^{x+1}\left(t-1\right)dt=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}t^2+t\right]_{x-1}^0+\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}t^2+t\right]_0^1+\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}t^2-t\right]_1^{x+1}=\frac{1}{2}
⑥のとき(0\leqq x-1\leqq1\Leftrightarrow1\leqq x\leqq2)
f\left(x\right)=\frac{1}{2}\int_{x-1}^{1}\left(-t+1\right)dt+\frac{1}{2}\int_{1}^{x+1}\left(t-1\right)dt=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}t^2+t\right]_{x-1}^1+\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}t^2-t\right]_1^{x+1}=\frac{1}{2}\left(x^2-2x+2\right)
⑦のとき(1\leqq x-1\Leftrightarrow2\leqq x)
f\left(x\right)=\frac{1}{2}\int_{x-1}^{x+1}\left(t-1\right)dt=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}t^2-t\right]_{x-1}^{x+1}=x-1
まとめると,
f\left(x\right)=\begin{cases} -x-1 \left(x\leqq-2\right) \\ \frac{1}{2}\left(x^2+2x+2\right) \left(-2\leqq x\leqq-1\right) \\ \frac{1}{2} \left(-1\leqq x\leqq1\right) \\ \frac{1}{2}\left(x^2-2x+2\right) \left(1\leqq x\leqq2\right) \\ x-1 \left(2\leqq x\right) \end{cases}
図示すると,

よって,求める面積は,y軸での対称性より,
2\left\{\frac{1}{2}\cdot1+\int_{1}^{2}\left\{1-\frac{1}{2}\left(x^2-2x+2\right)\right\}dx\right\}=1+2\left[-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{2}x^2\right]_1^2=\frac{5}{3}……(答)

(2)
実数解が1と3であることから,他の二解をx=\alpha,\betaとして,
x^4+ax^3+bx^2+cx+3=\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)=x^4-\left(\alpha+\beta+4\right)x^3+\left(4\alpha+4\beta+\alpha\beta+3\right)x^2-\left(4\alpha\beta+3\alpha+3\beta\right)x+3\alpha\beta
と書ける.係数比較すると,
\begin{cases} a=-\left(\alpha+\beta+4\right) \\ b=4\alpha+4\beta+\alpha\beta+3 \\ c=-\left(4\alpha\beta+3\alpha+3\beta\right) \\ 3=3\alpha\beta \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \alpha+\beta=-a-4 \\ 4\alpha+4\beta=b-4 \\ 3\alpha+3\beta=-c-4 \\ \alpha\beta=1 \end{cases}
となる.
次に,2次方程式\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)=0\Leftrightarrow x^2-\left(\alpha+\beta\right)x+\alpha\beta=0について考える.この方程式の解が1か3,或いは虚数解であれば,4次方程式x^4+ax^3+bx^2+cx+3=0の実数解が1と3のみとなる.
(Ⅰ)\alpha,\betaが実数のとき
まず,判別式が非負となる必要があるので,\left(\alpha+\beta\right)^2-4\cdot1\cdot\alpha\beta\geqq0\Leftrightarrow\left(\alpha-\beta\right)^2\geqq 0が必要である.
このもとで,2次方程式x^2-\left(\alpha+\beta\right)x+\alpha\beta=0の解が1か3のみとなるには,\left(\alpha,\beta\right)=\left(1,1\right),\left(1,3\right),\left(3,1\right),\left(3,3\right)なら必要十分(これらは全て\left(\alpha-\beta\right)^2\geqq0を満たす).この内,(*)式に抵触しないのは,\left(\alpha,\beta\right)=\left(1,1\right)のみである.このとき,(*)の第一式より,a=-6となる.
(Ⅱ)\alpha,\betaが虚数のとき
まず,判別式が負となる必要があるので,\left(\alpha+\beta\right)^2-4\cdot1\cdot\alpha\beta<0\Leftrightarrow\left(\alpha-\beta\right)^2<0が必要である.
\alpha,\betaが虚数ならば,\alpha,\betaの値によらず,2次方程式x^2-\left(\alpha+\beta\right)x+\alpha\beta=0の解は虚数となる.
(*)を利用すれば,\left(\alpha-\beta\right)^2<0\Leftrightarrow\left(\alpha+\beta\right)^2-4\alpha\beta<0\Leftrightarrow\left(-a-4\right)^2<4\Leftrightarrow-6<a<-2
以上(Ⅰ)と(Ⅱ)より,4次方程式x^4+ax^3+bx^2+cx+3=0の実数解が1と3のみとなるaの範囲は-6\leqq a<-2である.
aは整数なので,求める最大値は-3,最小値は-6である.……(答)

(3)
{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2={\mathrm{CA}}^2より,三角形\mathrm{ABC}\angle\mathrm{B}={90}^\circの直角三角形である.

そこで,点\mathrm{B}を原点として,左図のように三角形\mathrm{ABC}xy平面上にのせる.
内部の点\mathrm{O}の座標を左図のように\left(X,Y\right)とおく.点\mathrm{O}は三角形\mathrm{ABC}の内部の点であるので,
\begin{cases} 0\leqq X \\ 0\leqq Y \\ Y\leqq-\frac{3}{4}X+3 \end{cases}……(*)
を満たす必要がある.
このもとで,
{\mathrm{OP}}^2=X^2,{\mathrm{OQ}}^2=Y^2
である.更に点と直線の距離の公式より,
{\mathrm{OR}}^2=\frac{\left(3X+4Y-12\right)^2}{3^2+4^2}=\frac{9X^2+16Y^2-72X-96Y+24XY+144}{25}
である.
\therefore{\mathrm{OP}}^2+{\mathrm{OQ}}^2+{\mathrm{OR}}^2=X^2+Y^2+\frac{9X^2+16Y^2-72X-96Y+24XY+144}{25}=\frac{1}{25}\left\{34\left(X+\frac{6Y-18}{17}\right)^2+\frac{1}{17}\left(25Y-24\right)^2+72\right\}
よって,
\begin{cases} X+\frac{6Y-18}{17}=0 \\ 25Y-24=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} X=\frac{18}{25} \\ Y=\frac{24}{25} \end{cases}\mathrm{OP}^2+\mathrm{OQ}^2+\mathrm{OR}^2は最小となる.なお,\begin{cases} X=\frac{18}{25} \\ Y=\frac{24}{25} \end{cases}は(*)を満たす.
このとき,
\mathrm{OR}=\frac{\left|3\cdot\frac{18}{25}+4\cdot\frac{24}{25}-12\right|}{5}=\frac{6}{5}……(答)

(4)
kを固定して,{10}^{-k}2^n={10}^{100}3^{-n}となるnについて考えると,{10}^{-k}2^n={10}^{100}3^{-n}\Leftrightarrow6^n={10}^{100+k}より,n=\log_6{{10}^{100+k}}=\left(100+k\right)\log_6{10}=\frac{100+k}{\log_{10}{6}}=\frac{100+k}{\log_{10}{2}+\log_{10}{3}}
{10}^{-k}2^nnについて単調増加であり,{10}^{100}3^{-n}は単調減少であるから,\mathrm{max}\left\{{10}^{-k}2^n,{10}^{100}3^{-n}\right\}の最小値は,{10}^{100}3^{-\frac{100+k}{\log_{10}{2}+\log_{10}{3}}}以上である.
よって,\mathrm{max}\left\{{10}^{-k}2^n,{10}^{100}3^{-n}\right\}\geqq 1を満たすには,
{10}^{100}3^{-\frac{100+k}{{\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{2}}\mathrm{+} {\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}}}\geqq1\Leftrightarrow{10}^{100}\geqq\mathrm{3}^\frac{100+k}{{\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{2}}\mathrm{+} {\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}}\Leftrightarrow100\geqq\frac{100+k}{{\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{2}}\mathrm{+} {\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}}{\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}\Leftrightarrow k\leqq100\frac{{\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{2}}}{{\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}}
であれば十分.
100\frac{{\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{2}}}{{\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}}>100\frac{0.301}{0.4772}=63.07,100\frac{{\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{2}}}{{\mathrm{log}}_{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}}<100\frac{0.3011}{0.4771}=63.11kが整数であることから,
k\leqq63であれば十分.
ここで,k=64のときを考える.
\frac{100+k}{\log_{10}{2}+\log_{10}{3}}=\frac{164}{\log_{10}{2}+\log_{10}{3}}であり\frac{164}{0.3011+0.4772}<\frac{164}{\log_{10}{2}+\log_{10}{3}}<\frac{164}{0.301+0.4771}\Leftrightarrow210.71\mathrm{\cdots\cdots}<\frac{164}{\log_{10}{2}+\log_{10}{3}}<210.76\mathrm{\cdots\cdots}より,\mathrm{max}\left\{{10}^{-64}2^n,{10}^{100}3^{-n}\right\}の最小値は,{10}^{100}3^{-210}{10}^{-64}2^{211}である.
\log_{10}{\left({10}^{100}3^{-210}\right)}=100-210\log_{10}{3}<100-210\cdot0.4771=-0.191
\log_{10}{\left({10}^{-64}2^{211}\right)}=-64+211\log_{10}{2}<-64+211\cdot0.3011=-0.4679
より,{10}^{100}3^{-210}<{10}^{-0.191}<{10}^0=1,{10}^{-64}2^{211}<{10}^{-0.4679}<{10}^0=1であるから,k=64のとき条件(*)は満たされない.
よって求めるkの最大値は63……(答)

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