早稲田大学理工過去問徹底研究　2017年大問3

方針の立て方

(1)
(ⅰ) $\triangle$ ABCは共通しているためここを共通の底面と見ると，高さの問題に還元できると考える．すると，点Dと点Pから $\triangle$ ABCへの垂線を引くことが思い浮かび，解法を得る．
(ⅱ)前問と同様に $\triangle$ ABCを底面として見る方針で考える．一先ず前問と同様に点Dからの垂線を考えれば， $\vec{\mathrm{AB}}$ ， $\vec{\mathrm{AC}}$ は垂線と垂直であり，四面体ABCPの高さに寄与しないことも分かる．

(2)
前問は全て始点がAになっていたので，前問の考え方を活かすには本問のベクトルも始点をAに揃えて考えると都合がいいと見抜く．すると，同様に四面体ABCIの体積を考察すればよいと思いつく．後は面との距離 $r$ の情報を体積に変換すればよい．

(3)
前問の「距離 $r$ の情報を体積に変換」したときの考え方が，内接球の半径から体積を求めるときの考え方と同じであるというところから解法を得る．

解答例

(1)
(ⅰ)
$\triangle$ ABC含む平面が水平になるように立体を見る．

上図のように，点Dから $\triangle$ ABCを含む平面に下した垂線と，Pから $\triangle$ ABCを含む平面に下した垂線は，相似比から， $1\colon\left|t\right|$ となる．底面を $\triangle$ ABCとして考えれば，
$\therefore\frac{V_P}{V}=\left|t\right|$ ……(答)
(ⅱ)
前問と同様に $\triangle$ ABCを含む平面が水平になるように立体を見て，Pから $\triangle$ ABCを含む平面に垂線を下したとき，垂線の長さに影響を与えるのは $\vec{\mathrm{AD}}$ のみである( $\because\vec{\mathrm{AB}}$ と $\vec{\mathrm{AC}}$ は垂線と直交)．
$\frac{V_P}{V}=\left|d\right|$ ……(答)

(2)
Iの位置ベクトルの式を，始点をAにして書き直すと，
$\vec{\mathrm{AI}}=\frac{\beta\vec{\mathrm{AB}}+\gamma\vec{\mathrm{AC}}+\delta\vec{\mathrm{AD}}}{\alpha+\beta+\gamma+\delta}$
$\triangle$ ABCを底面と見て，前問と同様の議論を行えば，四面体ABCIの体積を $V_I$ として，
$\frac{V_I}{V}=\left|\frac{\delta}{\alpha+\beta+\gamma+\delta}\right|=\frac{\delta}{\alpha+\beta+\gamma+\delta}$
となる．また， $\triangle$ ABCの面積は $\delta$ のため，
$V_I=\frac{1}{3}\delta r$
と書ける．
$\therefore\frac{\frac{1}{3}\delta r}{V}=\frac{\delta}{\alpha+\beta+\gamma+\delta}\Leftrightarrow r=\frac{3V}{\alpha+\beta+\gamma+\delta}$ ……(答)