2018年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問5

方針の立て方

各位の数字に着目していたり， $n$ 桁と $n+1$ 桁を比べたりしていることから，自然数というよりは，数字の並べ方の問題だととらえると処理しやすい．つまり，数字を１つ新しく加えることで， $n$ 桁→ $n+1$ 桁に遷移すると考えるのである．自然数が３の倍数になる必要十分条件は，文系数学頻出のテーマのため覚えておくこと(他にも２，４，５の倍数になる条件は覚えておこう)．(46)(47)(48)まで解けたら，後は典型的な漸化式の解法である．

解答例
(45)…… $5$
(46)…… $1$
(47)…… $2$
(48)…… $2$
(49)(50)…… $-1$
(51)(52)…… $02$
(53)(54)…… $05$
(55)(56)…… $02$
(57)(58)…… $-1$
(59)(60)…… $05$
(61)(62)…… $03$

解説

〇(45)について
各位の数が1,2,3,5,7のどれかとなれば必要十分． $\therefore5^n$ ……(答)

〇(46)以降について
各々の位の数字が１または素数となっている $n+1$ 桁の自然数は，各々の位の数字が１または素数となっている $n$ 桁の自然数に，１または素数をどこかの位に割り込ませた数字と見做せる．
３の倍数となる必要十分条件が，各々の位の数字の和が３の倍数となることであることに注意すると，
$n$ 桁の自然数が３で割り切れるとき…３をどこかの位に割り込ませれば， $n+1$ 桁の自然数も３で割り切れる．
$n$ 桁の自然数が３で割ると１余る数のとき…２か５をどこかの位に割り込ませれば， $n+1$ 桁の自然数も３で割り切れる．
$n$ 桁の自然数が３で割ると２余る数のとき…１か７をどこかの位に割り込ませれば， $n+1$ 桁の自然数も３で割り切れる．
よって， $a_n+2b_n+2c_n=a_{n+1}$ ……(答)
また， $a_n+2b_n+2c_n=a_{n+1}\Leftrightarrow a_{n+1}=a_n+2\left(b_n+c_n\right)$ であること，① $\Leftrightarrow b_n+c_n=5^n-a_n$ であることから， $b_n+c_n$ を消去して，
$a_{n+1}=a_n+2\left(5^n-a_n\right)\Leftrightarrow a_{n+1}=-a_n+2\cdot5^n$ ……(答)
この漸化式を解く．両辺を $5^{n+1}$ で割って，
$\frac{a_{n+1}}{5^{n+1}}=-\frac{1}{5}\cdot\frac{a_n}{5^n}+\frac{2}{5}$
$\frac{a_n}{5^n}=A_n$ と置くと，
$A_{n+1}=-\frac{1}{5}A_n+\frac{2}{5}\Leftrightarrow A_{n+1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{5}\left(A_n-\frac{1}{3}\right) \therefore A_n-\frac{1}{3}=\left(A_1-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}=\left(\frac{a_1}{5}-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)^n$
$\therefore a_n=\left\{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)^n\right\}\cdot5^n=\frac{2\left(-1\right)^n+5^n}{3}$ ……(答)