方針の立て方
( $q=0$ の場合を除けば)三次関数の最大最小問題なので，極値と端点のみを考察すればよいと考える．係数が文字であるため，極値が存在するか否かを考慮しなければならないことに注意．
後は典型的な解法で解ける．

解答例
(65)(66)…… $03$
(67)(68)…… $-1$
(69)(70)…… $03$
(71)(72)…… $01$
(73)(74)…… $00$
(75)(76)…… $01$
(77)(78)(79)(80)…… $\frac{01}{04}$
(81)(82)(83)(84)…… $\frac{27}{08}$

解説
〇存在領域 $\mathrm{A}$ ((65)～(80)について)
$f^\prime\left(x\right)=p-qx^2$
よって，

(ⅰ)
$f\left(x\right)$ の極値が $-1\leqq x\leqq1$ に存在する条件は，「 $0<\frac{p}{q}$ かつ $-1\leqq\pm\sqrt{\frac{p}{q}}\leqq1$ 」 $\Leftrightarrow0<\frac{p}{q}\leqq1$ である．
このもとで最大値が $\frac{1}{3}$ 以下となるのは，「(極大値) $\leqq\frac{1}{3}$ かつ $f\left(\pm1\right)\leqq\frac{1}{3}$ 」が満たされれば必要十分．
$f\left(\sqrt{\frac{p}{q}}\right)=\frac{2p}{3}\sqrt{\frac{p}{q}}，f\left(-1\right)=-p+\frac{q}{3}，f\left(1\right)=p-\frac{q}{3}$ より，「(極大値) $\leqq\frac{1}{3}$ かつ $f\left(\pm1\right)\leqq\frac{1}{3}$ 」という条件は，
$\begin{cases} f\left(\sqrt{\frac{p}{q}}\right)=\frac{2p}{3}\sqrt{\frac{p}{q}}\leqq\frac{1}{3} \\ -p+\frac{q}{3}\leqq\frac{1}{3} \\ p-\frac{q}{3}\leqq\frac{1}{3} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 3p-1\leqq q\leqq3p+1 \\ \frac{p^3}{q}\leqq\frac{1}{4} \end{cases}$
となる． $0<\frac{p}{q}\leqq1$ と合わせれば，
$\begin{cases} 3p-1\leqq q\leqq3p+1 \\ 0<\frac{p}{q}\leqq1 \\ \frac{p^3}{q}\leqq\frac{1}{4} \end{cases}$ ……(答)
(ⅱ)
$f\left(x\right)$ の極値が $x<-1$ または $1<x$ に存在する条件は，「 $0<\frac{p}{q}$ かつ $-\sqrt{\frac{p}{q}}<-1$ かつ $1<\sqrt{\frac{p}{q}}$ 」 $\Leftrightarrow1<\frac{p}{q}$ である．
このもとで最大値が $\frac{1}{3}$ 以下となるのは， $f\left(\pm1\right)\leqq\frac{1}{3}$ が満たされれば必要十分．
$f\left(-1\right)=-p+\frac{q}{3}$ ， $f\left(1\right)=p-\frac{q}{3}$ より， $f\left(\pm1\right)\leqq\frac{1}{3}$ という条件は，
$\begin{cases} -p+\frac{q}{3}\leqq\frac{1}{3} \\ p-\frac{q}{3}\leqq\frac{1}{3} \end{cases}\Leftrightarrow3p-1\leqq q\leqq3p+1$
となる． $1<\frac{p}{q}$ と合わせれば，
$\begin{cases} 3p-1\leqq q\leqq3p+1 \\ 1<\frac{p}{q} \end{cases}$ ……(答)　※(ⅰ)が解ければ解答番号から答えは解かずして分かる．
(ⅲ)
$f\left(x\right)$ の極値が存在しない条件は， $\frac{p}{q}\leqq0$ または $q=0$ である．
このもとで最大値が $\frac{1}{3}$ 以下となるのは， $f\left(\pm1\right)\leqq\frac{1}{3}$ が満たされれば必要十分．
$f\left(-1\right)=-p+\frac{q}{3}$ ， $f\left(1\right)=p-\frac{q}{3}$ より， $f\left(\pm1\right)\leqq\frac{1}{3}$ という条件は，
$\begin{cases} -p+\frac{q}{3}\leqq\frac{1}{3} \\ p-\frac{q}{3}\leqq\frac{1}{3} \end{cases}\Leftrightarrow3p-1\leqq q\leqq3p+1$
となる．「 $\frac{p}{q}\leqq0$ または $q=0$ 」と合わせれば，
$\begin{cases} 3p-1\leqq q\leqq3p+1 \\ \frac{p}{q}\leqq0,q=0 \end{cases}$ ……(答)　※(ⅰ)が解ければ解答番号から答えは解かずして分かる．
よって，領域 $\mathrm{A}$ を図示すると，

上図．ただし境界を含む．
領域 $\mathrm{A}$ の面積は， $q$ 軸での対称性から，
$2\left[\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left\{3p+1-\left(3p-1\right)\right\}dp+\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(3p+1-4p^3\right)dp\right]=2\left\{\left[2p\right]_0^{\frac{1}{2}}+\left[-p^4+\frac{3}{2}p^2+p\right]_{\frac{1}{2}}^1\right\}=\frac{27}{8}$ ……(答)