方針の立て方
$d$ の範囲((31)～(34))については， $d$ が図形的にどのような意味を持つのかを考えることで解法を得る．図形と方程式の問題では，数式を図形に，或いは図形を数式に直して考えることが重要である．
長方形 $\mathrm{ABCD}$ の面積とその最大値((35)～(56))については典型的な問題であるため，特筆事項なし．

解答例
(31)(32)(33)(34)…… $\frac{-1}{08}$
(35)(36)(37)…… $008$
(38)(39)(40)…… $-15$
(41)(42)(43)…… $006$
(44)(45)(46)…… $001$
(47)(48)(49)(50)…… $\frac{01}{04}$
(51)(52)…… $03$
(53)(54)…… $03$
(55)(56)…… $04$

解説
○ $d$ の範囲((31)～(34)について)
$d$ は線分 $\mathrm{BC}$ の切片に当たる．線分 $\mathrm{BC}$ の切片の下限は，直線 $\mathrm{BC}$ が放物線 $y=\frac{1}{2}x^2$ の接線となるとき．
$y=\frac{1}{2}x^2\Rightarrow y^\prime=x$ より，直線 $\mathrm{BC}$ が放物線 $y=\frac{1}{2}x^2$ の接線となるとき，接点は $\left(x,y\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{8}\right)$ となる．このとき直線 $\mathrm{BC}$ の切片 $d_{inf}$ は，
$\frac{1}{8}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+d_{inf}\Leftrightarrow d_{inf}=-\frac{1}{8}$
$\therefore-\frac{1}{8}<d<1$ ……(答)

〇長方形 $\mathrm{ABCD}$ の面積((35)～(46)について)
$y=\frac{1}{2}x+d$ と $y=\frac{1}{2}x^2$ の交点 $\mathrm{B}$ ， $\mathrm{C}$ の座標は， $\mathrm{B}\left(\frac{1-\sqrt{1+8d}}{2},\frac{1+4d-\sqrt{1+8d}}{4}\right)$ ， $\mathrm{C}\left(\frac{1+\sqrt{1+8d}}{2},\frac{1+4d+\sqrt{1+8d}}{4}\right)$
$\therefore\mathrm{BC}=\sqrt{\left(\frac{1+\sqrt{1+8d}}{2}-\frac{1-\sqrt{1+8d}}{2}\right)^2+\left(\frac{1+4d+\sqrt{1+8d}}{4}-\frac{1+4d-\sqrt{1+8d}}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{5\left(1+8d\right)}}{2}$
線分 $\mathrm{AB}$ の長さは，線分 $\mathrm{AB}$ が直線 $y=\frac{1}{2}x+1$ と直交することより，点 $\mathrm{B}$ と直線 $y=\frac{1}{2}x+1$ との距離に等しい． $-\frac{1}{8}<d<1$ より， $0<1-d$ であることに注意すると，
$\mathrm{AB}=\frac{\left|-\frac{1-\sqrt{1+8d}}{2}+2\cdot\frac{1+4d-\sqrt{1+8d}}{4}-2\right|}{\sqrt{\left(-1\right)^2+2^2}}=\frac{2\left(1-d\right)}{\sqrt5}$
よって，求める面積は，
$\frac{\sqrt{5\left(1+8d\right)}}{2}\cdot\frac{2\left(1-d\right)}{\sqrt5}=\sqrt{8d^3-15d^2+6d+1}$ ……(答)

〇長方形 $\mathrm{ABCD}$ の面積の最大値((47)～(56)について)
$f\left(d\right)=8d^3-15d^2+6d+1$ とおくと， $f^\prime\left(d\right)=24d^2-30d+6=6\left(4d-1\right)\left(d-1\right)$ となる．
増減表を描くと，

$d$	$-\frac{1}{8}$	$\cdots$	$\frac{1}{4}$	$\cdots$	$1$
$f^\prime\left(d\right)$	$+$	$+$	$0$	$-$	$0$
$f\left(d\right)$	$\nearrow$	$\nearrow$	$\frac{27}{16}$	$\searrow$	$\qquad$