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【物理】放物運動(落体運動その2)

小山くん
次は放物運動で式にcosθとかでてきちゃったよー!
山田さん
しかも1つの運動なのにx方向とy方向に分けて考えるとかもう分からない…。
小山くん
なんでこうやって考えるんだろう。

 

放物運動とは、斜め方向に初速度を与えた運動です。この運動ではx方向、y方向について分けて考えるので、複雑のように感じますが、実際2つの運動は等加速度運動、等速度運動と意外と単純です。

放物運動

放物運動(斜方投射)は、いわゆる物を投げたときの運動を表します。

ここでのポイントは運動をx方向は等速度運動、方向は等加速度運動と分けて考えることです。

今回地面からθの角度で、大きさv_{0}の初速度を与えたとします。(空気抵抗は無視します)

そのとき、x方向は進行方向を正とし、初速度はv_{0}\cos \thetaで表されます。また、力ははたらいていないので加速度a=0となります。

y方向では上向きを正とすると初速度はv_{0}\sin \thetaで表され、加速度=-gとなります。

これらを等加速度運動の公式に代入することで、最高点や、落下までの時間、位置などを求める事ができます。今回の場合は各方向について以下のことがわかります。

・水平方向(x軸方向):v_{x}=v_{0} \cos \theta・・・①、x=(v_{0}\cos \theta )t・・・②

・鉛直方向(y軸方向):v_{y}=v_{0} \sin \theta -gt・・・③、y=(v_{0} \sin \theta )t-\frac {1}{2}gt^{2}・・・④

②、④を使って時間を消去すると

y=-\frac{g}{2v_{0}^{2} \cos^{2} \theta}x^{2}+(\tan \theta)x=-\frac{g}{2v_{0}^{2} \cos^{2} \theta} (x- \frac {v_{0}^{2} \sin 2\theta}{2g})^{2}+\frac {v_{0}^{2} \sin^{2}\theta}{2g}・・・⑤

となり、は二次関数の関係になっています。この運動が放物運動と呼ばれる所以です。

ところで最高点では鉛直方向の速度成分はゼロになるので③においてv_{y}=0としてその時の時間をt_{0}とすると

t_{0}=\frac {v_{0}\sin \theta}{g}

となります。このことから投げてから再び地面に着く時間は二次関数の対称性から投げてから2t_{0}=\frac {2v_{0}\sin \theta}{g}

となります。また⑤の-\frac{g}{2v_{0}^{2} \cos^{2} \theta} (x- \frac {v_{0}^{2} \sin 2\theta}{2g})^{2}のところからθ=45°のときが最もが大きい(最も飛ぶ)こともわかります。これは皆さんの実体験と合っているのではないでしょうか?


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