2017年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問6

方針の立て方

(1)
どの工場にも自由度はないため， $\sum_{i=1}^{10}x_i$ そのものを塊と見て考える．素直に定義に従って計算すれば，特に難しい解法の必要はない．
(2)
工場 $i$ の汲み上げ量が自由度を持つため，他の工場の汲み上げ量の総和 $\sum_{k\neq i} x_k$ と $x_i$ で分離して考えることにしよう．すると， $p\left(\mathbit{x}\right)x_i$ は２文字の関数となるため一文字固定法の考え方で解いていこう．

解答例
(55)(56)(57)(58)(59)(60)(61)(62)…… $\frac{0625}{0004}$
(63)(64)(65)(66)(67)(68)(69)(70)…… $\frac{6250}{0121}$

解説

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(1)
$\sum_{i=1}^{10}{p\left(\mathbit{x}\right)x_i}=\sum_{i=1}^{10}\left\{25x_i-x_i\sum_{i=1}^{10}x_i\right\}=25\sum_{i=1}^{10}x_i-\sum_{i=1}^{10}\left(x_i\sum_{i=1}^{10}x_i\right)=25\sum_{i=1}^{10}x_i-\left(\sum_{i=1}^{10}x_i\right)^2=-\left(\sum_{i=1}^{10}x_i-\frac{25}{2}\right)^2+\frac{625}{4}$
$\therefore\sum_{i=1}^{10}x_i=\frac{25}{2}<25$ のとき， $\sum_{i=1}^{10}{p\left(\mathbit{x}^\prime\right)x_i^\prime}=\frac{625}{4}$ ……(答)

(2)
$\sum_{k\neq i} x_k=A_i>0$ とすると，

となる．工場 $i$ の利益は，
$p\left(\mathbit{x}\right)x_i=25x_i-A_ix_i-x_i^2=-\left(x_i-\frac{25-A_i}{2}\right)^2+\frac{\left(25-A_i\right)^2}{4}$
$\therefore x_i^{\prime\prime}=\frac{25-A_i}{2}$ で， $p\left(\mathbit{x}^{\prime\prime}\right)x_i^{\prime\prime}=\frac{\left(25-A_i\right)^2}{4}$
ここで， $A_i=\sum_{k=1}^{10}x_k-x_i$ より， $x_i^{\prime\prime}=\frac{25-\sum_{k=1}^{10}x_k^{\prime\prime}+x_i^{\prime\prime}}{2}\Leftrightarrow x_i^{\prime\prime}=25-\sum_{k=1}^{10}x_k^{\prime\prime}$
両辺を $1\leqq i\leqq10$ で総和を取ると，左辺は $i$ に依存しないから，
$\sum_{i=1}^{10}x_i^{\prime\prime}=250-10\sum_{i=1}^{10}x_i^{\prime\prime}\Leftrightarrow\sum_{i=1}^{10}x_i^{\prime\prime}=\frac{250}{11}<25$
$\therefore p\left(\mathbit{x}^{\prime\prime}\right)=25-\sum_{k=1}^{10}x_k^{\prime\prime}=25-\frac{250}{11}=\frac{25}{11}$
$\therefore\sum_{i=1}^{10}{p\left(\mathbit{x}^{\prime\prime}\right)x_i^{\prime\prime}}=\frac{25}{11}\sum_{i=1}^{10}x_i^{\prime\prime}=\frac{25}{11}\cdot\frac{250}{11}=\frac{6250}{121}$ ……(答)