方針の立て方

「集合と命題」の基本問題です。「 $n^2+1, 2n^2+3, 6n^2+5$ がすべて素数である」ことの否定は、「 $n^2+1, 2n^2+3, 6n^2+5$ のうち、素数でないものが（一つ以上）存在する」ことなので、 $n=5k$ のとき、 $n^2+1, 2n^2+3, 6n^2+5$ の中から素数でないものを見つければよいです。 $6n^2+5$ が、なんとなく5の倍数になるような雰囲気を出しています。

(2) $n=3, 4, 5, 6, \cdots$ を $n^2+1, 2n^2+3, 6n^2+5$ にそれぞれ代入してみると、いずれも5の倍数になることがわかります。（このような整数問題では、小さな値を用いて具体的に計算してみることが鉄則です。）そこで、 $n^2+1, 2n^2+3, 6n^2+5$ のどれかが5の倍数になることを言えれば良さそうです。5の倍数であることを言うときに問題となるのは、その数が5で割ったときの余りが0になるかどうかですから、 $n^2+1, 2n^2+3, 6n^2+5$ の5で割った余りに着目します。これは、 $n=5k, n=5k\pm1, n=5k\pm2$ を代入すれば分かるので、答案ではそのようにします。

解答例

$6n^2+5$ に $5k$ を代入すると、 $6n^2+5=6(5k)^2+5=5(30k^2+1)$ で、かつ明らかに $30k^2+1$ は明らかに2以上の整数である。すなわち、 $5(30k^2+1)$ は5でない5の倍数である自然数なので、 $6n^2+5$ は素数でない。よって、 $n=5k$ のとき、 $n^2+1, 2n^2+3, 6n^2+5$ のうち素数でないものが存在したので、(*)を満たさない。（証明終）
(ⅰ) $n=5k\pm2$ ( $k$ は自然数)のとき、 $n^2+1=(5k\pm2)^2+1=25k^2\pm20k+4+1=5(5k^2\pm4k+1)$ が成立する。 $k\geqq1$ より、 $n\geqq3$ であり、 $n^2+1\geqq10$ 。すなわち、 $n=5k\pm2$ のとき、 $n^2+1$ は5でない自然数で、5の倍数である。すなわち素数でないので、(*)を満たさない。

　(ⅱ) $n=5k\pm1$ ()のとき、 $2n^2+3=2(5k\pm1)^2+3=(50k^2\pm20k+2)+3=5(10k^2\pm4k+1)$ が成立する。同様にして、 $k\geqq1$ より、 $n\geqq4$ であり、 $2n^2+3\geqq35$ である。これは、 $2n^2+3$ が5でない自然数で、5の倍数であることを示している。すなわち素数でないので、(*)を満たさない。

　(ⅲ) $n=5k$ のとき、(1)の結果から、(*)を満たさない。

(ⅰ)~(ⅲ)より、 $n\geqq3$ のとき、(*)を満たさない。

$n=1$ のとき、 $n^2+1=1+1=2$ 、 $2n^2+3=2+3=5$ 、 $6n^2+5=6+5=11$ で、いずれも素数である。

$n=2$ のとき、 $n^2+1=4+1=5$ 、 $2n^2+3=2\times4+3=8+3=11$ 、 $6n^2+5=6\times6+5=29$ で、いずれも素数である。

以上の結果から、確かに(*)を満たすような $n$ は $n=1, 2$ のみであることが言えた。（証明終）

解説

方針の立て方に沿って解答例を作成しました。 $5(30k^2+1)$ は5でないことを言わなければ、5は素数なので素数でないことの証明になりません。注意しましょう。
$n=5k+1, n=5k+2, n=5k+3\ (n=5k-2), n=5k+4\ (n=5k-1)$ の4通りで場合分けすることも考えられますが、 $n^2$ を5で割ったあまりは、 $n=5k+1$ と $n=5k-1$ 、 $n=5k+2$ と $n=5k-2$ でそれぞれ等しいので、 $n=5k\pm1$ と $n=5k\pm2$ で場合分けしています。