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早稲田理工2019

2019年早稲田大学理工|過去問徹底研究 大問1

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
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方針の立て方

  1. 「集合と命題」の基本問題です。「n^2+1, 2n^2+3, 6n^2+5がすべて素数である」ことの否定は、「n^2+1, 2n^2+3, 6n^2+5のうち、素数でないものが(一つ以上)存在する」ことなので、n=5kのとき、n^2+1, 2n^2+3, 6n^2+5の中から素数でないものを見つければよいです。6n^2+5が、なんとなく5の倍数になるような雰囲気を出しています。

(2) n=3, 4, 5, 6, \cdotsn^2+1, 2n^2+3, 6n^2+5にそれぞれ代入してみると、いずれも5の倍数になることがわかります。(このような整数問題では、小さな値を用いて具体的に計算してみることが鉄則です。)そこで、n^2+1, 2n^2+3, 6n^2+5のどれかが5の倍数になることを言えれば良さそうです。5の倍数であることを言うときに問題となるのは、その数が5で割ったときの余りが0になるかどうかですから、n^2+1, 2n^2+3, 6n^2+55で割った余りに着目します。これは、n=5k, n=5k\pm1, n=5k\pm2を代入すれば分かるので、答案ではそのようにします。

解答例

  1. 6n^2+55kを代入すると、6n^2+5=6(5k)^2+5=5(30k^2+1)で、かつ明らかに30k^2+1は明らかに2以上の整数である。すなわち、5(30k^2+1)5でない5の倍数である自然数なので、6n^2+5は素数でない。よって、n=5kのとき、n^2+1, 2n^2+3, 6n^2+5のうち素数でないものが存在したので、(*)を満たさない。(証明終)
  2. (ⅰ) n=5k\pm2(kは自然数)のとき、n^2+1=(5k\pm2)^2+1=25k^2\pm20k+4+1=5(5k^2\pm4k+1)が成立する。k\geqq1より、n\geqq3であり、n^2+1\geqq10。すなわち、n=5k\pm2のとき、n^2+15でない自然数で、5の倍数である。すなわち素数でないので、(*)を満たさない。

 (ⅱ) n=5k\pm1()のとき、2n^2+3=2(5k\pm1)^2+3=(50k^2\pm20k+2)+3=5(10k^2\pm4k+1)が成立する。同様にして、k\geqq1より、n\geqq4であり、2n^2+3\geqq35である。これは、2n^2+35でない自然数で、5の倍数であることを示している。すなわち素数でないので、(*)を満たさない。

 (ⅲ) n=5kのとき、(1)の結果から、(*)を満たさない。

(ⅰ)~(ⅲ)より、n\geqq3のとき、(*)を満たさない。

n=1のとき、n^2+1=1+1=22n^2+3=2+3=56n^2+5=6+5=11で、いずれも素数である。

n=2のとき、n^2+1=4+1=52n^2+3=2\times4+3=8+3=116n^2+5=6\times6+5=29で、いずれも素数である。

以上の結果から、確かに(*)を満たすようなnn=1, 2のみであることが言えた。(証明終)

解説

  1. 方針の立て方に沿って解答例を作成しました。5(30k^2+1)5でないことを言わなければ、5は素数なので素数でないことの証明になりません。注意しましょう。
  2. n=5k+1, n=5k+2, n=5k+3\ (n=5k-2), n=5k+4\ (n=5k-1)4通りで場合分けすることも考えられますが、n^25で割ったあまりは、n=5k+1n=5k-1n=5k+2n=5k-2でそれぞれ等しいので、n=5k\pm1n=5k\pm2で場合分けしています。

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。