2018年慶應義塾大学総合政策|数学過去問徹底研究大問6

方針の立て方

(1)
解答欄の形式から， $p_i$ を用いてはいけないため， $s_i$ と $r_i$ についての等式を立てれば良いと分かる．この内， $r_i$ についての等式は，立てるまでもなく( $y$ 座標) $=r_i$ であるため，本解では省略した．

(2)
特筆事項なし．

(3)
実際に $\left(r_4,s_4,p_4\right)$ ぐらいまで考えてみれば，解答が予測できる上に，何故そうなるのかの理由も分かる．

(4)
前問同様，最初の数回を具体的に考えれば解法を得られる．前問の試行で得られた知見を用いれば，比較的簡単に，期待値の評価ができる．

解答例
(63)(64)……01
(65)(66)……02
(67)(68)……01
(69)(70)……00
(71)(72)……06
(73)(74)……02
(75)(76)……06
(77)(78)……06
(79)(80)……12

解説

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(1)
$y$ 座標は $r_i$ である． $x$ 座標を $X$ とする．点と直線の距離の公式より，直線PR( $y=\sqrt3x$ )と点 $J_i$ との距離について，
$s_i=\frac{\left|r_i-\sqrt3X\right|}{2}$
となる．点 $J_i$ は，直線PRよりも下側にあるため， $r_i-\sqrt3X\leqq0$ である．
$\therefore s_i=\frac{\sqrt3X-r_i}{2}\Leftrightarrow X=\frac{r_i+2s_i}{\sqrt3}$
$\therefore\left(\frac{r_i+2s_i}{\sqrt3},r_i\right)$ ……(答)

(2)
$\left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(2,2,2\right)$ となる．
$\therefore\left(\frac{6}{\sqrt3},2\right)$ ……(答)

(3)
$\left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(4,2,0\right)$ となる．
第３ラウンド以降は $\left(r_i,s_i,p_i\right)$ は $\left(4,2,0\right)$ か $\left(6,0,0\right)$ のどちらかとなる．
$\left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(4,2,0\right)$ となる確率について考えると，第３ラウンド以降の14回の対戦全てが「R対Rが２組，S対Sが１組」という当たり方をせねばならない．これが起こる確率は， $\left(\frac{1}{5}\right)^{14}$ である．よって， $\left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(6,0,0\right)$ となる確率は $1-\left(\frac{1}{5}\right)^{14}$ となり，明らかに， $\left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(6,0,0\right)$ となる確率の方が大きい．
よって，求める座標は $\left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(6,0,0\right)$ から求められる点で， $\left(\frac{6}{\sqrt3},6\right)$ ……(答)

(4)
第１ラウンドが，
(ⅰ)R対P，R対S，R対Sの場合(場合の数は6通り)
→ $\left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(4,0,2\right)$ → $E\left(P\right)>E\left(R\right)>E\left(S\right)$ となる．
(ⅱ)R対P，R対R，S対Sの場合(場合の数は3通り)
→ $\left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(2,2,2\right)$ → $E\left(P\right)=E\left(R\right)=E\left(S\right)$ となる．
(ⅲ)S対P，R対R，R対Sの場合(場合の数は6通り)
→ $\left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(4,2,0\right)$ → $E\left(R\right)>E\left(S\right)>E\left(P\right)$ となる．
よって， $E\left(R\right)>E\left(P\right)>E\left(S\right)$ となる．
$\therefore$ (12)……(答)