2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問3

方針の立て方

$\tan{2\alpha}$ は倍角の公式を用いれば $\tan{\alpha}$ のみで表せるため， $\tan{\alpha}$ さえ求められれば良いのだと判断する．
本解冒頭の $\alpha=\frac{\pi}{5}\Leftrightarrow5\alpha=\pi$ のように， $\alpha=\frac{m\pi}{n}$ ( $n,m$ は自然数)で与えられている場合に分母を払うのは典型的な処理であるためおさえておくこと．
後は，加法定理で分解していけば求まる．

解答例
(35)(36)……10
(37)(38)……02
(39)(40)……05
(41)(42)……05

解説

$\alpha=\frac{\pi}{5}\Leftrightarrow5\alpha=\pi$ より， $\tan{5\alpha}=\tan{\pi}=0$
また，加法定理を用いれば，
$\tan{5\alpha}=\tan{\left(3\alpha+2\alpha\right)}=\frac{\tan{3\alpha}+\tan{2\alpha}}{1-\tan{3\alpha}\tan{2\alpha}}$
であるから，
$\tan{5\alpha}=0\Leftrightarrow\tan{3\alpha}+\tan{2\alpha}=0$
加法定理より，
$\tan{3\alpha}=\tan{\left(2\alpha+\alpha\right)}=\frac{\tan{2\alpha}+\tan{\alpha}}{1-\tan{2\alpha}\tan{\alpha}}$
$\therefore\tan{3\alpha}+\tan{2\alpha}=0\Leftrightarrow\frac{\tan{2\alpha}+\tan{\alpha}}{1-\tan{2\alpha}\tan{\alpha}}+\tan{2\alpha}=0\Leftrightarrow\tan^22\alpha\tan{\alpha}-2\tan{2\alpha}-\tan{\alpha}=0$
倍角の公式より，
$\tan{2\alpha}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2\alpha}$
$\therefore\tan^22\alpha\tan{\alpha}-2\tan{2\alpha}-\tan{\alpha}=0\Leftrightarrow\left(\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2\alpha}\right)^2\tan{\alpha}-\frac{4\tan{\alpha}}{1-\tan^2\alpha}-\tan{\alpha}=0\Leftrightarrow\tan^4\alpha-10\tan^2\alpha+5=0$
これを解くと，
$\tan^2\alpha=5\pm2\sqrt5$
であるが， $\tan{\frac{\pi}{6}}<\tan{\alpha}=\tan{\frac{\pi}{5}}<\tan{\frac{\pi}{4}}$ より， $\frac{1}{\sqrt3}<\tan{\alpha}<1$ より，
$\tan^2\alpha=5-2\sqrt5$
であり，
$\tan{\alpha}=\sqrt{5-2\sqrt5}$
$\therefore\tan{2\alpha}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2\alpha}=\frac{2\sqrt{5-2\sqrt5}}{1-\left(5-2\sqrt5\right)}=\frac{\sqrt{5-2\sqrt5}}{\sqrt5-2}=\sqrt{5-2\sqrt5}\cdot\left(\sqrt5+2\right)=\sqrt5\cdot\sqrt{\left(\sqrt5-2\right)\left(\sqrt5+2\right)}\cdot\sqrt{\sqrt5+2}=\sqrt5\cdot\sqrt{\sqrt5+2}=\sqrt{5+2\sqrt5}$
$\therefore\tan{\alpha}+\tan{2\alpha}=\sqrt{5-2\sqrt5}+\sqrt{5-2\sqrt5}\cdot\left(\sqrt5+2\right)=\left(\sqrt5+3\right)\sqrt{5-2\sqrt5}=\sqrt{\left(\sqrt5+3\right)^2\left(5-2\sqrt5\right)}=\sqrt{10+2\sqrt5}$ ……(答)
$\tan{\alpha}\tan{2\alpha}=\sqrt{5-2\sqrt5}\cdot\sqrt{5+2\sqrt5}=\sqrt{\left(5-2\sqrt5\right)\left(5+2\sqrt5\right)}=\sqrt5$ ……(答)