2017年慶應大学理工|過去問徹底研究大問3

方針の立て方

(1)
いきなり範囲を考えると難しいため，まず範囲の制約を無視した $\sin{\left(\left(2n+1\right)\pi x\right)}=0$ を解く．その後で範囲を考える．

(2)
実際に積分の計算を実行しなければならないが， $f\left(x\right)$ の具体的な積分計算はできないため，何とかして $f\left(x\right)$ の積分を解消する必要がある．そこで，
$a\leqq x\leqq b$ で積分可能な関数 $f\left(x\right)$ と $g\left(x\right)$ に対して， $a\leqq x\leqq b$ で $0\leqq g\left(x\right)$ が成り立つならば，
$\left\{\min_{\left[a,b\right]}{f\left(x\right)}\right\}\int_{a}^{b}g\left(x\right)dx\leqq\int_{a}^{b}f\left(x\right)g\left(x\right)dx\leqq\left\{\max_{\left[a,b\right]}{f\left(x\right)}\right\}\int_{a}^{b}g\left(x\right)dx$
が成り立つことを利用する．この不等式は重要な不等式のためおさえておくこと．

(3)
(F1)と(F2)が不等式であることから，はさみうちの原理を用いると考える．そのためにはまず $I_n$ を $a_k$ で表す必要がある． $0=x_0\leqq\cdots\cdots\leqq x_{2n+1}=1$ であることから，積分区間を細かくちぎっていくという変形が思いつく．

(4)
$\left|\sin{\left(\left(2n+1\right)\pi x\right)}\right|$ の絶対値記号を外すために， $\sin{\left(\left(2n+1\right)\pi x\right)}$ の符号の変わり目で場合分け(積分区間をちぎる)をする．すると前問と同じ解法に帰着する．

解答例
(1)
テ： $2n+2$
ト： $\frac{k}{2n+1}$
(2)
$k$ が偶数のとき， $x_k\leqq x\leqq x_{k+1}$ の範囲で， $\sin{\left(\left(2n+1\right)\pi x\right)}\geqq0$
$\therefore\left\{\min_{\left[x_k,x_{k+1}\right]}{f\left(x\right)}\right\}\int_{x_k}^{x_{k+1}}\sin{\left(\left(2n+1\right)\pi x\right)}dx\leqq a_k\leqq\left\{\max_{\left[x_k,x_{k+1}\right]}{f\left(x\right)}\right\}\int_{x_k}^{x_{k+1}}\sin{\left(\left(2n+1\right)\pi x\right)}dx$
ここで，
$\int_{x_k}^{x_{k+1}}\sin{\left(\left(2n+1\right)\pi x\right)}dx=\left[-\frac{1}{\left(2n+1\right)\pi}\cos{\left(\left(2n+1\right)\pi x\right)}\right]_{x_k}^{x_{k+1}}\bigm=\frac{\left(-1\right)^k-\left(-1\right)^{k+1}}{\left(2n+1\right)\pi}\bigm=\frac{2}{\left(2n+1\right)\pi}$ (∵ $k$ は偶数)
また， $f\left(x\right)$ は増加関数のため，
$\min_{\left[x_k,x_{k+1}\right]}{f\left(x\right)}=f\left(x_k\right)$
$\max_{\left[x_k,x_{k+1}\right]}{f\left(x\right)}=f\left(x_{k+1}\right)$
であるから，
$f\left(x_k\right)\frac{2}{\left(2n+1\right)\pi}\leqq a_k\leqq f\left(x_{k+1}\right)\frac{2}{\left(2n+1\right)\pi}$
証明終了．
(3)
$x_0=0$ ， $x_{2n+1}=1$ であるから， $0\leqq x\leqq1\Longleftrightarrow x_0\leqq x\leqq x_{2n+1}$ ．
$\therefore I_n=\sum_{k=0}^{2n}\left\{\int_{x_k}^{x_{k+1}}{f\left(x\right)\sin{\left(\left(2n+1\right)\pi x\right)}}dx\right\}=\sum_{k=0}^{2n}a_k=\sum_{k=0}^{n}a_{2k}+\sum_{k=0}^{n-1}a_{2k+1}$
ここで，(F1)より，
$\sum_{k=0}^{n}{f\left(x_{2k}\right)\frac{2}{\left(2n+1\right)\pi}}\leqq\sum_{k=0}^{n}a_{2k}\leqq\sum_{k=0}^{n}{f\left(x_{2k+1}\right)\frac{2}{\left(2n+1\right)\pi}}$
(F2)より，
$-\sum_{k=0}^{n-1}{f\left(x_{2k+2}\right)\frac{2}{\left(2n+1\right)\pi}}\leqq\sum_{k=0}^{n-1}a_{2k+1}\leqq-\sum_{k=0}^{n-1}{f\left(x_{2k+1}\right)\frac{2}{\left(2n+1\right)\pi}}$
辺々を足して，
$\therefore\sum_{k=0}^{n}{f\left(x_{2k}\right)\frac{2}{\left(2n+1\right)\pi}}-\sum_{k=0}^{n-1}{f\left(x_{2k+2}\right)\frac{2}{\left(2n+1\right)\pi}}\leqq\sum_{k=0}^{n}a_{2k}+\sum_{k=0}^{n-1}a_{2k+1}\leqq\sum_{k=0}^{n}{f\left(x_{2k+1}\right)\frac{2}{\left(2n+1\right)\pi}}-\sum_{k=0}^{n-1}{f\left(x_{2k+1}\right)\frac{2}{\left(2n+1\right)\pi}}$
$\therefore\frac{2}{\left(2n+1\right)\pi}f\left(x_0\right)\leqq I_n\leqq\frac{2}{\left(2n+1\right)\pi}f\left(x_{2n+1}\right)$
ここで， $\lim_{n\rightarrow\infty}{f\left(x_{2n+1}\right)}=\lim_{n\rightarrow\infty}{f\left(1\right)}=f\left(1\right)$ より，
$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{2}{\left(2n+1\right)\pi}f\left(x_0\right)}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{2}{\left(2n+1\right)\pi}f\left(x_{2n+1}\right)}=0$
よって，はさみうちの原理より，
$\lim_{n\rightarrow\infty}{I_n}=0$
証明終了．
(4)
ナ： $\frac{1}{\pi}\int_{0}^{1}f\left(x\right)dx$

解説
(1)
$\sin{\left(\left(2n+1\right)\pi x\right)}=0\Leftrightarrow\left(2n+1\right)\pi x=m\pi\Leftrightarrow x=\frac{m}{2n+1}$ ( $m$ は整数)
区間 $\left[0,1\right]$ に属するならば，
$0\leqq\frac{m}{2n+1}\leqq1\Leftrightarrow0\leqq m\leqq2n+1$
$\therefore m=0,1,2,\cdots\cdots,2n+1$
よって，求める個数は $2n+2$ 個……(答)
$m=0,1,2,\cdots\cdots,2n+1$ を順番に代入すると，
$x_0=0,x_1=\frac{1}{2n+1},x_2=\frac{2}{2n+1},\cdots\cdots,x_{2n+1}=1$
であることが分かる．
$\therefore x_k=\frac{k}{2n+1}$ ……(答)

(4)
$b_k=\int_{x_k}^{x_{k+1}}f\left(x\right)\left|\sin{\left(\left(2n+1\right)\pi x\right)}\right|dx$ と定義すれば，(F1)と同様に，
$f\left(x_k\right)\frac{2}{\left(2n+1\right)\pi}\leqq b_k\leqq f\left(x_{k+1}\right)\frac{2}{\left(2n+1\right)\pi}$
が成り立つ．
また，
$J_n=\sum_{k=0}^{2n}b_k$
と書ける．
以上より，
$\sum_{k=0}^{2n}{f\left(x_k\right)\frac{2}{\left(2n+1\right)\pi}}\leqq\sum_{k=0}^{2n}b_k=J_n\leqq\sum_{k=0}^{2n}{f\left(x_{k+1}\right)\frac{2}{\left(2n+1\right)\pi}}$
$\therefore\lim_{n\rightarrow\infty}{\sum_{k=0}^{2n}{f\left(x_k\right)\frac{2}{\left(2n+1\right)\pi}}}\leqq\lim_{n\rightarrow\infty}{J_n}\leqq\lim_{n\rightarrow\infty}{\sum_{k=0}^{2n}{f\left(x_{k+1}\right)\frac{2}{\left(2n+1\right)\pi}}}$
が成り立つ．
一方，区分求積法の考え方を用いれば，
$\lim_{n\rightarrow\infty}{\sum_{k=0}^{2n}{f\left(x_k\right)\frac{2}{\left(2n+1\right)\pi}}}=\frac{1}{\pi}\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\frac{2}{2+\frac{1}{n}}\right)\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{2n}f\left(\frac{k}{2n+1}\right)}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{1}f\left(x\right)dx$
$\lim_{n\rightarrow\infty}{\sum_{k=0}^{2n}{f\left(x_{k+1}\right)\frac{2}{\left(2n+1\right)\pi}}}=\frac{1}{\pi}\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\frac{2}{2+\frac{1}{n}}\right)\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{2n}f\left(\frac{k+1}{2n+1}\right)}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{1}f\left(x\right)dx$
よって，はさみうちの原理より
$\lim_{n\rightarrow\infty}{J_n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{1}f\left(x\right)dx$ ……(答)