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慶應理工2017

2017年慶應大学理工|過去問徹底研究 大問1

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
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慶應義塾大学過去問徹底研究 2017年 大問1

方針の立て方

(1)
(ア)について.
三角関数の括弧内が不揃いなことを考えると,展開することがよいと分かる.
(イ)~(エ)について.
\alpha-\frac{\pi}{6}の項を作り出さねばならないことを考えると,方針が立てられる.三角関数は相互関係でつながっているため,sinになっていてほしい部分がcosになっていたり,或いはその逆だったとしても焦らずに相互関係の式を用いるようにしよう.

(2)
(オ)については特筆事項なし.
(カ)~(ク)について.
z\in Mとなる条件を丁寧に確かめる.z\in Mとなる条件はかなり厳しい条件であるため,整数a,bの領域を求めた後は,しらみつぶし的に調べていけば,全ての問題があっという間に解ける.

(3)
f\left(f^{-1}\left(t\right)\right)=tという関係式はおさえておきたい(というより,これは逆関数の定義を表している).後は積分方程式の解法を取れば良い.

解答例
(1)
ア:y=\frac{1}{2}x
イ:\frac{1}{4-4\beta^2}
ウ:\frac{\beta}{1-\beta^2}
エ:\frac{1}{1-\beta^2}
(2)
オ:a^2+b^2
カ:5
キ:8
ク:2+i
(3)
ケ:-2xe^{-2x^2}

解説

(1)
〇アについて
加法定理を用いれば,
x=\sqrt3\cos{\omega t}-\sin{\omega t},\ y=-\frac{1}{2}\sin{\omega t}+\frac{\sqrt3}{2}\cos{\omega t}
であるから,
y=\frac{1}{2}x……(答)

〇イ~エについて
y=\sin{\left\{\left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)+\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)\right\}}=\sin{\left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)}\cos{\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)}+\cos{\left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)}\sin{\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)}
-\frac{\pi}{3}<\alpha<\frac{2}{3}\piのとき,\cos{\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)}>0であるから,
\cos{\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)}=\sqrt{1-\beta^2}
であり,これを用いると,
y=\sqrt{1-\beta^2}\sin{\left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)}+\frac{x\beta}{2}\Leftrightarrow y-\frac{x\beta}{2}=\sqrt{1-\beta^2}\sin{\left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)}
\therefore\left(y-\frac{x\beta}{2}\right)^2=\left(1-\beta^2\right){\mathrm{sin}}^2\left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)=\left(1-\beta^2\right)\left\{1-{\mathrm{cos}}^2\left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)\right\}=\left(1-\beta^2\right)\left(1-\frac{x^2}{4}\right)
最左辺と最右辺の等式を変形すると,
\frac{1}{4-4\beta^2}x^2-\frac{\beta}{1-\beta}xy+\frac{1}{1-\beta^2}y^2=1……(答)

(2)
\left|z\right|^2(オについて)
\left|z\right|^2=z\bar{z}=\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)=a^2+b^2……(答)

〇カ~クについて
\frac{5}{z}=\frac{5\bar{z}}{\left|z\right|^2}=\frac{5a}{a^2+b^2}+\frac{5b}{a^2+b^2}i
以下では,0\leqq a,0\leqq bの範囲で考える.
\frac{5}{z}\in Lであるためには,

が必要.これを図示すると,

上図斜線部.ただし,境界は原点を除いて全て含む.
上図より,\left(1,1\right)\left(2,1\right)\left(1,2\right)\left(2,2\right)のみを考えれば十分.
上の4点の内,z\in Mとなるのは,\left(2,1\right)\left(1,2\right)のときで,そのとき,
\left|z\right|^2=5……(答)
また,n\left(M\right)は,他の象限でも同様に考えると,
\left(\pm2,\pm1\right)\left(\pm1,\pm2\right) (複号任意)の8点で,z\in Mとなることが分かる.
\therefore n\left(M\right)=8……(答)
また,実部が最も大きくかつ虚部が正となるのは,\left(2,1\right)のとき.
\therefore z=2+i……(答)

(3)
f\left(g\left(t\right)\right)=f\left(f^{-1}\left(t\right)\right)=t\Leftrightarrow\int_{0}^{g\left(t\right)}e^{y^2}dy=t
が成立する.両辺をtで微分すると,
g^\prime\left(t\right)\cdot e^{\left\{g\left(t\right)\right\}^2}=1\Leftrightarrow g^\prime\left(t\right)=e^{-\left\{g\left(t\right)\right\}^2}
となり,さらに両辺をtで微分すると,
g^{\prime\prime}\left(t\right)=e^{-\left\{g\left(t\right)\right\}^2}\cdot\left\{-2g\left(t\right)\right\}\cdot g^\prime\left(t\right)=-2g\left(t\right)\cdot e^{-2\left\{g\left(t\right)\right\}^2}
最右辺がG\left(g\left(t\right)\right)と等しくなるため,
G\left(x\right)=-2xe^{-2x^2}……(答)

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大問1

大問2

大問3

大問4

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