ブログ | 【慶應早稲田専門対策】個別指導塾ヒロアカ

立教大学文学部【英語】| 本番で圧勝の徹底対策シリーズ

2020.01.28

ページ目次立教大学文学部の英語対策立教文学部の英語の全体像立教大学文学部の長文読解問題について文法問題立教大学文学部に合格するための参考書立教大学文学部に圧倒的な実力で合格できる専門対策をします立教大学文学部の英語対策このブログでは、立教大学文学部の英語に関する入試対策（出題傾向と勉強法）をご紹

…続きを読む
立教大学文学部の英語対策

このブログでは、立教大学文学部の英語に関する入試対策（出題傾向と勉強法）をご紹介していきます。
基礎知識0の状態から合格するためには何をどのようにしたら良いのかを参考書の使い方まで徹底解説！

本ブログ記事は立教大学文学部の英語についての対策、勉強法についての記事になります。立教大学文学部のほかの科目について下記よりご覧ください。
[su_box title="立教大学文学部科目別対策" radius="1"]▶英語対策　　▶国語対策　　▶日本史対策　　▶世界史対策 [/su_box]
入試問題は英語が500点満点中200点をしめており、英語でのできがそのまま入試の合否に直結することとなるでしょう。

＊国語200点なので重要です。
[toc]
立教文学部の英語の全体像

全体概観：配点200点　時間75分

長文読解、文法、会話文、空欄補充など様々な種類の問題が出題されます。

立教大学文学部の長文読解問題について

大問５問中２問が長文読解問題となっています。時間も75分なので、かなり素早く読むことが求められます。
問題の形式ですが、長文をよみ、その主張を選択する問題や、文章中の単語、言い回しの意味を答える問題です。長文の中にやや難しい単語が出てきたり、テーマが難しい話題のこともあります。

基本的な単語や熟語に抜け漏れがあると極端にレベルがあがります。凡ミスをしないように基本的語彙、熟語の習得を怠らないようにしてください。
[word_balloon id="1" balloon="line" name_position="under_avatar" name="ブタトン" radius="true" avatar_border="false" avatar_shadow="false" balloon_shadow="false" avatar_hide="false" box_center="false" font_size="17" name_color="#10193a" position="R" bg_color="#8de055" font_color="#fff"]立教大学文学部の問題を解くにあたり基本的なことができてないようであれば、英語の基礎から見直そう！[/word_balloon]
こちらから英語の勉強法を見ることができます。立教大学は早慶を目指す学生も多いため、立教大学を目指すつもりであっても早慶に入学する気持ちで頑張りましょう！
[nlink url="https://hiroacademia.jpn.com/blog/program/english-benkyo/"]

立教文学部に合格する速読ができるようにするためには？

英語を英語として理解できるようにするための構文把握力をつけることです。勉強を始めたときは英語を見た時に呪文のように感じて何をどのように読んでいったら良いのかわからないかもしれません。
ですが、英語長文を読みながら、SVOCといった構文を把握しながら英語を読んでいくことで英語を英語のカタマリとして読むことができて意味を理解することができるようになるのです。
[word_balloon id="1" balloon="line" name_position="under_avatar" name="ブタトン" radius="true" avatar_border="false" avatar_shadow="false" balloon_shadow="false" avatar_hide="false" box_center="false" font_size="17" name_color="#10193a" position="R" bg_color="#8de055" font_color="#fff"]SVOCを呪文のように感じられてまだ理解が不十分な場合でも、『句』『節』といった基礎的なことから勉強していけば必ずできるようになりますよ！[/word_balloon]
英語の読解についての基本的な勉強法についてはこちらからご覧ください。
[nlink url="https://hiroacademia.jpn.com/blog/program/saisokuenglishreading-svoc-structure/"]
立教文に合格する速解ができるようになるためには？

英語を英語として捉えることができたのであれば、速く解くことができるようになるのが大事です。
入試では時間内に得点を取らないと点数にはなりません。速く読むことよりも、いかにして速く解くことができるのか？という点に重点をおいたほうがよいでしょう。
[word_balloon id="1" balloon="line" name_position="under_avatar" name="ブタトン" radius="true" avatar_border="false" avatar_shadow="false" balloon_shadow="false" avatar_hide="false" box_center="false" font_size="17" name_color="#10193a" position="R" bg_color="#8de055" font_color="#fff"]どれだけ速く読めても問題とれなきゃ0点だよ！[/word_balloon]
問題を速く解くためには、問題を読む際のメモのとり方、まとめ方が大いに得点に関わってきます。
合格する人はこの部分が大きく異なっていますので、自身で勉強をする時には意識していきましょう。ただ読み流すだけでは、問題を速くことはできません。
速く解くためには速く解くための方法があります。
[word_balloon id="1" balloon="line" name_position="under_avatar" name="ブタトン" radius="true" avatar_border="false" avatar_shadow="false" balloon_shadow="false" avatar_hide="false" box_center="false" font_size="17" name_color="#10193a" position="R" bg_color="#8de055" font_color="#fff"]速読と言えど、基本的なことの積み重ねで確実に英語は読めるようになってきますよ！[/word_balloon]
当塾では英語を偏差値30から合格水準まで指導していきます。
＊現在英語の勉強でお困りの方はこちらからカウンセリングを承っています。

会話文

会話文の読む上で大事なのは、シチュエーションがどういう状況なのか？、相手との関係性はどのようになっているのか？という点です。ただ漫然と文章を読んでいた人はこの二点を注意するだけでも得点率は上がっていきます。
また、会話問題で大事なのは「What do you do？」などのようなよく出る頻出会話表現を覚えているかどうか？という点です。覚えていないと正解を選ぶことができないことも多いので、この点は注意しましょう。
ここでは難しい単語がでてくる、文脈がわかりづらいなどといったことはないので、しっかりと得点できるようにしてください。
[word_balloon id="1" balloon="line" name_position="under_avatar" name="ブタトン" radius="true" avatar_border="false" avatar_shadow="false" balloon_shadow="false" avatar_hide="false" box_center="false" font_size="17" name_color="#10193a" position="R" bg_color="#8de055" font_color="#fff"]基本的な会話表現を覚えてあとは、シチュエーションと代名詞に気を付ければちゃんとできるようになります。ここはみんな取れるところなので落としたくないですね。。[/word_balloon]
空欄補充記述補充問題

空欄を記述で補充していくタイプで立教文で苦手な人が多いタイプの問題ですね。この問題の対策をするためには、『1つのパラグラフ(文章)でいいたいことは1つ』というパラグラフルールを守るのと、『ディスコースマーカー』、『等位接続詞』といったことを理解して使いこなすのが必要です。
答えになるのは難しい単語ではなく、むしろ中学生くらいで習う簡単な単語であることが多いです。
[word_balloon id="1" balloon="line" name_position="under_avatar" name="ブタトン" radius="true" avatar_border="false" avatar_shadow="false" balloon_shadow="false" avatar_hide="false" box_center="false" font_size="17" name_color="#10193a" position="R" bg_color="#8de055" font_color="#fff"]苦手な人は問題を解きながら、なぜその単語が入るのかを答えを見た後も考えてみると良いでしょう。何問か解くうちに、なれてできるようになってきますよ[/word_balloon]
これを専門的にはリーズニングと言います。こちらのページで実施の仕方を説明しているので、気になる人は見てみてください。
[nlink url="https://hiroacademia.jpn.com/blog/program/saisokuenglishreading-solving-process/"]

文法問題

近年は正誤問題が出題されています。正直この問題形式の場合は、対策をしてない限りは合格をすることは難しいです。
当塾では正誤問題の主要論点をまとめてある門脇先生の正誤問題を進めています。
[nlink url="https://hiroacademia.jpn.com/blog/sankosyo/eigo/kadowaki-english/"]

立教大学文学部に合格するための参考書

当塾で使用している立教大学文学部に合格へ必要な参考書を紹介します。もちろん、当塾の場合は一人一人個別にカリキュラムを作成するため下記のようなカリキュラムは一例となります。参考書は何をやるかよりも、どのような目的で使用するかというが大事です。闇雲に行って情報量に圧倒されてしまうのではなく、１つ１つ目的意識を持って勉強していきましょう。
[nlink url="https://hiroacademia.jpn.com/blog/program/english-benkyo/"]
参考書だけでの独学での合格はかなり難しく、初学者の場合は指導なしでやってしまうと下手な癖が付く可能性が高いです。下手な癖がつくと、その癖を治すのに手一杯で結局志望校に受からないというケースが多くなっています。浪人しても成功しない人はこの辺りに理由があります。
ご心配な方は一度カウンセリングを受けて見ると良いでしょう。カウンセリングはこちらからどうぞ。

立教大学文学部は入学後も英語が大事になってきます。そのため、しっかりと勉強しましょう。
当塾では一人一人丁寧にこのレベルに到達することができるまで指導していきます。

立教大学文学部に圧倒的な実力で合格できる専門対策をします

まずは資料請求・お問い合わせ・学習相談から！

早慶専門個別指導塾HIRO ACADEMIAには、立教大学専門として文学部への圧倒的な合格ノウハウがございます。

少しでもご興味をお持ちいただいた方は、まずは合格に役立つノウハウや情報を、詰め込んだ資料をご請求ください。

また、立教大学文学部に合格するためにどのよう勉強をしたらよいのかを指示する学習カウンセリングも承っています。学習状況を伺った上で、残りの期間でどう受かるかを提案いたしますので、ぜひお気軽にお電話いただければと思います。

⇒ 立教大学文学部に合格したい方は、まずは当塾の資料をご請求ください。

2025年慶應経済入試で足切りなしで合格する【成績別】ポイント解説

2020.01.28

高校3年早稲田法学部志望|リンガメタリカと速読英単語はどっちがいいですか？

2019.10.28

本記事ではこれまでに、当塾に数多く寄せられたカウンセリングの中から抜粋して、解決策を提案いたします。質問者様と状況が同じような方の何か手助けになれば幸いです。（＊他の方にも役に立つためにもなるべく具体的に記述いたしますが、個人が特定されない程度に情報は伏せさせていただいています) 勉強の効率が2

…続きを読む
本記事ではこれまでに、当塾に数多く寄せられたカウンセリングの中から抜粋して、解決策を提案いたします。
質問者様と状況が同じような方の何か手助けになれば幸いです。（＊他の方にも役に立つためにもなるべく具体的に記述いたしますが、個人が特定されない程度に情報は伏せさせていただいています) 勉強の効率が2.5倍上がるカウンセリングのお申込みはこちらから申し込みしております。

神奈川県相模原市にお住いの高校3年生からの相談です

志望校:早稲田大学法学部成績:英語偏差値65くらい [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="ご相談者"]法学部が第一志望ですが、他の学部も併願しようと思っています。英語の長文読解についてですが、速読英単語上級編を始めようと思っています。今から始めるとしたらどのくらいのペースでやったらいいですか？また、よくこの単語帳とリンダメタリカが比べられていますが、何が違い、どういう人がおすすめなのか教えて頂きたいです。[/speech_bubble]

HIRO ACADEMIA小野からのご提案

ご連絡ありがとうございます。まず大前提として、長文を読むに英語のパラグラフのルールを意識して読んでいますか。もし知らないようであれば、こちらから説明していきます。

まずは過去問をやってみる！

過去問をやってみてどれくらいできるかがポイントになるかと思います。なぜならば、大学受験において大事なのは英語の学力を上げることではありません。そうではなくて、志望校に合格することが重要です。 ですので、志望校に合格ラインに達しているレベルにあるのに難しい参考書に手を出すのは得策ではありません。

速読英単語上級編は多くの人に必要ない

速読英単語は難しい単語が多いですが、結構やっている人も多いのですが、文系の人には必要のない文章も多いです。今以上に成績を上げるために必要なのは難しい単語を覚えたり、難しい長文を読むことではなく、基礎的なことを再度捉え直したり、過去問を分析して苦手部分を確認していく方が重要です。時間は限られているので闇雲に勉強しても合格にはなりません。

リンガメタリカと速読英単語どっちが良いか？

リンガメタリカは単語というよりはよく出る長文のテーマを網羅的に学んでいく教材です。過去問をやってみて苦手なテーマがあるな・・・という場合は、この教材を行うと良いでしょう。ですので、どちらかの教材を行う余裕があるのであれば、リンガメタリカのほうが良いかとは思います。

まとめ

時間も限られているこの中で闇雲に参考書に解くのではなく、重要なのは過去問や問題演習で自分の弱点を探すことです。この秋の時期は迷い出していろいろなことに手を出すことが多くなる時期です。

『よくわからないけど・・とりあえずやってみる』という精神で何でもかんでも手を出してやっていてもできるようになりはしません。志望校合格のために今の自分に何が必要なのかを徹底的に考えてくださいね。過去問をやってみて何をしたら良いのかまったくわからない・・という方はお気軽にこちらまでご連絡ください。

【早慶】穴場で受かりやすい学部 &【受かるのが難しい学部】3学部紹介

2019.10.23

こんにちは。HIRO ACADEMIAの小野です。『早慶に穴場の学部なんてあるの！？』と思われがちですが、倍率や対策を考慮して、比較的入るのが容易な学部は存在します。また、逆に非常にはいるのが難しく、よほど志望度が高くない限りは避けた方が良い学部も存在しています。それでは、さっそくまずは穴場

…続きを読む
こんにちは。HIRO ACADEMIAの小野です。
『早慶に穴場の学部なんてあるの！？』と思われがちですが、

倍率や対策を考慮して、比較的入るのが容易な学部は存在します。

また、逆に非常にはいるのが難しく、よほど志望度が高くない限りは避けた方が良い学部も存在しています。

それでは、さっそくまずは穴場学部からご紹介していきます。

まずは早慶の穴場の学部を紹介！

では、早慶穴場学部をランキング形式で紹介していきます！

早慶穴場学部3位早稲田大学人間科学部健康福祉科学科

まず第一にきたのはみなさんの予想通りかもしれませんが、、

早稲田大学の人間科学部です。

倍率は、2019年はは7.8倍と早稲田の中では一般的な数値となりました。

倍率以外でのポイントとしては、英語の長文が他の早慶よりも短めで(200ワード程度)、
比較的取り組みやすい問題となっています。

早稲田政治経済学部、法学部や国際教養学部といった超長文の対策となると、
物凄い時間がかかるのですが、
人間科学部の長さの長文だとパラグラフの構造さえ分かっていれば、意外とむずかしくありません。
また、他の早稲田に比べると、英語以外の科目も比較的解きやすい問題が揃っています。そのため、受けやすい学部と言えるでしょう。

人間科学部についての具体的な対策についてはこちらの記事をどうぞ。

早慶穴場学部2位慶應文学部(世界史専攻)

続いて、穴場の学部として上げられるのが、慶應文学部の世界史専攻の場合です。
慶應の文学部の倍率は,2019年は4倍程度でした。

倍率以外をみてみると、まず慶應合格のポイントである英語についてですが、
以前はカナリ難しい問題が多かったのですが、
近年は比較的解きやすい問題が多くなっています。
また、世界史選択の場合は問題が一問一答(記述形式)のため、150字程度の論述がある日本史選択に比べると取り組みやすいです。

また、早稲田に比べると、圧倒的に倍率が低いのが慶應ですが、その一番の原因と言われているのが小論文ですね。小論文対策は、むずかしく皆が避けがちですが、正しい現代文の対策をして読解力をつけることで、合格レベルまでもっていくのはむずかしくありません。

慶應文学部についての具体的な対策についてはこちらの記事をどうぞ。

早慶穴場学部1位慶應商学部(A方式)

穴場学部の第一位は慶應商学部(A方式)です。なんといってもその倍率が3倍と早慶の中では圧倒的に低いです。
また合格最低点も高得点争いが予想されるB方式と異なり、250~270点程度で良いので、オススメです。

ただ、受験科目がA方式の場合は英語数学地歴となりますので、受験者がそもそも国公立を受けた人と限られていますので注意してください。

慶應商学部についての具体的な対策についてはこちらの記事をどうぞ。

上記のランキングには入らなかったですが、
意外と慶應法学部や慶應経済学部も穴場だったりします。対策次第で合格圏内に入るのは意外と容易です。

早慶避けた方が良い学部

それではできれば受けるのは避けたい学部を紹介していきますね。

早慶避けた方が良い学部第3位慶應大学商学部 (B方式)

まず、第3位が慶應の商学部B方式です。A方式だと穴場なのですが、B方式になると途端にレベルが上がります。

というのも、まず倍率が8培近くになります。5倍近辺が多い慶應においてこの数値は異常です。
英語が配点上重要なのが慶應大学なのですが、その英語が解きやすいのが原因でしょう。またその解きやすさから、英語では8割り位は取らないと合格が難しいです。
近年はやや下がっているとはいえ、過去には全体の合格最低点が8割り近くになったこともあり非常に難しいです。

慶應商学部についての具体的な対策についてはこちらの記事をどうぞ。

早慶避けた方が良い学部第2位早稲田大学社会科学部(歴史選択)

続いて第2位が早稲田大学社会科学部になります。
夜間から昼になってから鰻登りに偏差値は上がっており、偏差値上では早稲田大学の法学部や政治経済学部よりも上に位置しています。

大学に入って専門性ではなく色々なことを学んでいくというスタイルが近年の学生は受けているようです。

また一番のポイントは全ての問題がマークシートだということです。(2019年時点)
＊来年以降、記述入試の影響で変わる可能性があります。

マークシートのみというのは実力があまりない受験生にとって運頼みで受かるかも・・と思わせる部分もあるのか、また実際に問題が難しくそのような人でも受かる場合もあるのですが。。非常に人気の高い学部になっています。

もちろん、早稲田大学社会科学部も対策次第で合格は十分可能です。

早稲田大学社会科学部についての各学部の具体的な対策についてはこちらの記事をどうぞ。

早慶避けた方が良い学部第1位早稲田大学商学部(歴史選択)

最後にご紹介する避けた方が良い学部第1位が早稲田大学商学部の歴史選択です。商学部の人気傾向からかどんどんと倍率が上がってきています。

問題もどの科目も歴史選択の場合は非常に時やすく、
『ひょっとしたら自分も受かるかも！？』と思わせる部分があり難しいですね。ですが、対策をしっかり積んでいないと難しい学部であるのは間違い無いありません。

来年以降は数学選択の枠が確保され、さらなる難関となりそうな予感です。。

志望度が高い学生も多いので受験する学生は徹底的に対策を積んで望んでください。

早稲田大学商学部についての具体的な対策についてはこちらの記事をどうぞ。

まとめ

慶應の受かりやすい学部、受かりにくい学部についてはこちらの記事で説明しています。
[nlink url="https://hiroacademia.jpn.com/blog/taisaku/keio/keio-ukariyasui/"]
早慶はどの学部もクセが強く受けるにしても対策をしっかり積んでいないと合格は難しいです。ただ解くだけの過去問ではなく徹底分析をして盤石な対策で早慶に臨んでくださいね。お気軽にこちらからご連絡ください。

2018年慶應大学商学部数学|過去問徹底研究大問3

2019.10.14

慶應大学商学部数学方針の立て方 (ⅰ)は具体的に考えてみれば解答が得られる． (ⅱ)(ⅲ)は誘導に乗っていければ解説以上の特筆事項はない．コンビネーションの公式：は本問では度々使う．入試数学(特に文系数学)には必須の公式ではないが，余力のある受験生は覚えておいても良いかもしれない．この公式を覚えてな

…続きを読む
慶應大学商学部数学方針の立て方

(ⅰ)は具体的に考えてみれば解答が得られる．
(ⅱ)(ⅲ)は誘導に乗っていければ解説以上の特筆事項はない．コンビネーションの公式： ${{_m^}\mathrm{C}}_n={{_{m-1}^}\mathrm{C}}_n+{{_{m-1}^}\mathrm{C}}_{n-1}$ は本問では度々使う．入試数学(特に文系数学)には必須の公式ではないが，余力のある受験生は覚えておいても良いかもしれない．この公式を覚えてなくとも本問では回答欄の形式から，どう変形していけば良いかが分かる．

解答例

(ⅰ)
(45) $0$
(46) $5$
(47)(48) $10$
(49) $0$
(50) $5$
(51)(52) $\frac{3}{8}$
(53)(54) $10$
(55)(56) $15$
(57)(58) $\frac{1}{8}$

(ⅱ)
(59) $3$
(60) $3$
(61) $2$
(62) $2$
(63) $4$
(64) $4$
(65) $2$
(66) $5$
(67) $7$
(68) $5$
(69) $7$
(70) $6$
(71) $5$
(72) $6$
(73) $5$
(74) $7$
(75) $5$
(76) $2$
(77) $5$

(ⅲ)
(ア) $k-1$
(イ) $\frac{k}{2}$
(ウ) $\frac{k}{2}$
(エ) $p-q$
(オ) $\frac{k}{2}$
(カ) $k$
(キ) $\frac{k}{2}$
(ク) $\frac{k+1}{2}$
(ケ) $\frac{k-1}{2}$
(コ) $\frac{k+1}{2}$
(サ) $\frac{k+1}{2}$
(シ) $t=0$

解説

(ⅰ)
客3の待ち時間は0,5,10分のいずれか．
$W\left(3,0\right)=\frac{1}{2}W\left(2,0\right)+\frac{1}{2}W\left(2,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
$W\left(3,5\right)=\frac{1}{2}W\left(2,0\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
$W\left(3,10\right)=\frac{1}{2}W\left(2,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
よって，
$W\left(3,0\right)=\frac{1}{2},W\left(3,5\right)=W\left(3,10\right)=\frac{1}{4}$ ……(答)
客4の待ち時間は0,5,10,15分のいずれか．
$W\left(4,0\right)=\frac{1}{2}W\left(3,0\right)+\frac{1}{2}W\left(3,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$
$W\left(4,5\right)=\frac{1}{2}W\left(3,0\right)+\frac{1}{2}W\left(3,10\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$
$W\left(4,10\right)=\frac{1}{2}W\left(3,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$
$W\left(4,15\right)=\frac{1}{2}W\left(3,10\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$
よって，
$W\left(4,0\right)=W\left(4,5\right)=\frac{3}{8},W\left(4,10\right)=W\left(4,15\right)=\frac{1}{8}$ ……(答)

(ⅱ)
〇(59)～(62)について
$W\left(k,5\left(k-1\right)\right)$ に対して帰納法の仮定が使える． $k+\left(k-1\right)=2k-1$ は奇数であるから，④の $n+t$ が奇数のときが適用される．
$\therefore W\left(k,5\left(k-1\right)\right)\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(k-1\right)-1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_{k-1}=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_k$ ……(答)
〇(63)～(65)について
$W\left(k,5\left(k-2\right)\right)$ に対して帰納法の仮定が使える． $k+\left(k-2\right)=2k-2$ は偶数であるから，④の $n+t$ が偶数のときが適用される．
$\therefore W\left(k,5\left(k-2\right)\right)\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(k-2\right)}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_{k-1}=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_k$ ……(答)
〇(66)と(67)について
題意を満たす場合，時系列を図示すると，

上図．
Aの手続きは5分かかり，Bの手続きは15分かかることから， $W\left(k+1,5t\right)$ は，客 $k$ が $10+5t-5=5\left(t+1\right)$ 分待った後にAを行う確率と，客 $k$ が $10+5t-15=5\left(t-1\right)$ 分待った後にBを行う確率の和になる．……(答)

〇(68)～(72)について
$W\left(k,5\left(t+1\right)\right),W\left(k,5\left(t-1\right)\right)$ は，④で $t\rightarrow t+1,t-1$ としたものと考える．すると $n+t$ が奇数のときが適用される．
$\therefore W\left(k,5\left(t+1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)-1}{2},W\left(k,5\left(t-1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)-1}{2}$ ……(答)
これらを⑤に代入すれば，
$W\left(k+1,5t\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)-1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)-1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+t}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}$ ……(答)
(※最後の式変形の際， ${_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+t}{2}-1}=\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}-1\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}+\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}-1\right)!}=\left(\frac{k-t}{2}\right)\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}+\left(\frac{k+t}{2}\right)\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}=k\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}=\frac{k!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}={_k^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}$ を用いた)
〇(73)～(77)について
$W\left(k,5\left(t+1\right)\right),W\left(k,5\left(t-1\right)\right)$ は，④で $t\rightarrow t+1,t-1$ としたものと考える．すると $n+t$ が偶数のときが適用される．
$\therefore W\left(k,5\left(t+1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)}{2},W\left(k,5\left(t-1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)}{2}$ ……(答)
これらを⑤に代入すれば，
$W\left(k+1,5t\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+t+1}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+t+1}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k+t+1}{2}$ ……(答)

(ⅲ)
〇(ア)～(ウ)について
$W\left(k,5\right),W\left(k,0\right)$ は④の $n=k,t=1,0$ のパターンであり， $n+t$ が奇数，偶数のときが適用される．
$\therefore W\left(k,5\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1-1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2},\ W\left(k,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+0}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}$ ……(答)
〇(エ)について
${_p^}\mathrm{C}_q=\frac{p!}{\left(p-q\right)!q!}=\frac{p!}{\left\{p-\left(p-q\right)\right\}!\left(p-q\right)!}={_p^}\mathrm{C}_{p-q}$ ……(答)
〇(オ)～(キ)について
(エ)の結果より ${_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}={_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k}{2}-1}$ である．
(ア)～(ウ)の結果を⑥に代入して，
$W\left(k+1,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}$ ……(答)
(※最後の式変形の際， ${_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k}{2}-1}=\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}-1\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}+\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}-1\right)!}=\frac{k}{2}\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}+\frac{k}{2}\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}=k\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}=\frac{k!}{\left(k-\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}={_k^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}$ を用いた)
〇(ク)～(ケ)について
$W\left(k,5\right),W\left(k,0\right)$ は④の $n=k,t=1,0$ のパターンであり， $n+t$ が偶数，奇数のときが適用される．
$\therefore W\left(k,5\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2},\ W\left(k,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+0-1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k-1}{2}$ ……(答)
〇(コ)と(サ)について
(ク)～(ケ)の結果を⑥に代入して，
$W\left(k+1,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k-1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+1}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2}$ ……(答)
〇(シ)について
$W\left(k+1,0\right)$ は $n=k+1$ のときの中でも，(ⅱ)で考えられていなかった $t=0$ のときである．……(答)

2016年慶應大学経済学部|過去問徹底研究大問4

2019.10.09

方針の立て方どれも基本問題であり，特筆事項なし．解答例真数条件より，が必要． (1) 2次方程式の実数解が存在しないためには，判別式が負であれば必要十分．これは真数条件を満たす． ……(答) (2) 2次方程式の実数解がただ1つ存在するためには，判別式が0であれば必要十分．このもとで，2次

…続きを読む

方針の立て方

どれも基本問題であり，特筆事項なし．

解答例

真数条件より， $0<t$ が必要．
(1)
2次方程式の実数解が存在しないためには，判別式が負であれば必要十分．
$\therefore\left[-\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}\right]^2-1\cdot\left\{6\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}<0\Leftrightarrow\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4\right\}<0\Leftrightarrow \begin{cases} {\mathrm{log}}_2{t}\neq0 \\ \left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4<0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} t\neq1 \\ \frac{1}{4}<t<4 \end{cases}\Leftrightarrow\frac{1}{4}<t<1,1<t<4$
これは真数条件を満たす．
$\therefore\frac{1}{4}<t<1,1<t<4$ ……(答)

(2)
2次方程式の実数解がただ1つ存在するためには，判別式が0であれば必要十分．
$\therefore\left[-\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}\right]^2-1\cdot\left\{6\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}=0\Leftrightarrow\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4\right\}=0\Leftrightarrow{\mathrm{log}}_2{t}=0,\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{4},1,4$
このもとで，2次方程式の解は，
$x=f\left(t\right)=\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1$
これより， $f\left(t\right)$ の最小値は $t=1$ で，最大値は $t=\frac{1}{4},4$ でとる．
よって， $f\left(t\right)$ の最小値は $f\left(1\right)=1$ ，最大値は $f\left(\frac{1}{4}\right)=f\left(4\right)=5$ ……(答)

(3)
$1\leqq\log_4{t}\leqq\frac{3}{2}\Leftrightarrow2\leqq\log_2{t}\leqq3\Leftrightarrow4\leqq t\leqq8$
よって，2次方程式は2つの相異なる実数解をもち，その解は，
$x=\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\pm\sqrt{\left[-\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}\right]^2-1\cdot\left\{6\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}}=\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\pm\log_2{t}\sqrt{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4}$
$\therefore f\left(t\right)=\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1-\log_2{t}\sqrt{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4}$
ここで ${\mathrm{log}}_2{t}=y$ と置き換えると，
$f\left(t\right)=y^2+1-y\sqrt{y^2-4}$ 　( $2\leqq y\leqq3$ )
$\frac{d}{dy}f\left(t\right)=2y-\frac{2y^2-4}{\sqrt{y^2-4}}$
$\frac{d}{dy}f\left(t\right)=0$ となるのは，
$2y-\frac{2y^2-4}{\sqrt{y^2-4}}=0\Leftrightarrow y\sqrt{y^2-4}=y^2-2$
両辺を2乗して計算すると $0=4$ となり不適．つまり $\frac{d}{dy}f\left(t\right)\neq0$

$y$	$2$	$\cdots$	$3$
$\frac{d}{dy}f\left(t\right)$	$-$	$-$	$-$
$f\left(t\right)$	$\searrow$	$\searrow$	$\searrow$

よって，最小値は $y=3$ のときで， $3^2+1-3\sqrt{3^2-4}=10-3\sqrt5$ ……(答)

2016年慶應大学経済学部|過去問徹底研究大問2

2019.10.09

方針の立て方 (1)はどれも基本問題であるため特筆事項なし． (2)について．は分子を和の形に直すと，約分ができ回答欄の形式に沿うと分かる．よって，を和の形に変形するが，これはの定義を用いれば容易い． (3)について．前問で求めたの分母を上手く約分できないかを考えれば，本解のような式変形ができる．

…続きを読む
方針の立て方

(1)はどれも基本問題であるため特筆事項なし．

(2)について． $\frac{b_k}{a_ka_{k+1}}$ は分子を和の形に直すと，約分ができ回答欄の形式に沿うと分かる．よって， $b_k$ を和の形に変形するが，これは $b_k$ の定義を用いれば容易い．

(3)について．前問で求めた $S_n$ の分母を上手く約分できないかを考えれば，本解のような式変形ができる．

解答例

(13) $3$
(14) $2$
(15) $2$
(16) $1$
(17) $1$
(18)(19) $-1$
(20) $1$
(21) $2$
(22) $2$
(23)(24) $01$
(25)(26) $-1$
(27) $0$
(28) $2$
(29) $2$
(30) $2$
(31) $2$
(32)(33) $02$

解説

(1)
$a_{n+1}=\frac{1}{100}a_n+\frac{1}{10}\Leftrightarrow a_{n+1}-\frac{10}{99}=\frac{1}{100}\left(a_n-\frac{10}{99}\right)$
と変形できる．
$\therefore a_n-\frac{10}{99}=\left(a_1-\frac{10}{99}\right)\cdot\left(\frac{1}{100}\right)^{n-1}=-\frac{10}{99}\left(\frac{1}{100}\right)^n\Leftrightarrow a_n=-\frac{10}{99}\left(\frac{1}{100}\right)^n+\frac{10}{99}$
よって，階差数列 $\left\{b_n\right\}$ は，
$b_n=a_{n+1}-a_n=-\frac{10}{99}\left(\frac{1}{100}\right)^{n+1}+\frac{10}{99}-\left\{-\frac{10}{99}\left(\frac{1}{100}\right)^n+\frac{10}{99}\right\}=\frac{1}{{10}^3}\left(\frac{1}{{10}^2}\right)^{n-1}=\frac{1}{{10}^{2n+1}}$
となる．よって， $p=3,q=2,r=2,s=1$ ……(答)
更に，
$a_n=a_1+\left(a_2-a_1\right)+\left(a_3-a_2\right)+\cdots\cdots+\left(a_n-a_{n-1}\right)=a_1+\left(b_1+b_2+\cdots\cdots+b_{n-1}\right)=a_1+\sum_{k=1}^{n+\left(-1\right)}b_k$ ……(答)
また，
$a_1+\sum_{k=1}^{n+\left(-1\right)}b_k=\frac{1}{10}+\frac{\frac{1}{{10}^3}\left\{1-\left(\frac{1}{{10}^2}\right)^{n-1}\right\}}{1-\frac{1}{{10}^2}}=\frac{\frac{1}{10}\left(1-\frac{1}{{10}^{2n}}\right)}{1-\frac{1}{{10}^2}}$
であるから， $t=1,u=2,v=2$ ……(答)

(2)
$b_n=a_{n+1}-a_n$ より，
$\frac{b_k}{a_ka_{k+1}}=\frac{a_{k+1}-a_k}{a_ka_{k+1}}=\frac{1}{a_k}+\frac{-1}{a_{k+1}}$ ……(答)
これに， $b_k=\frac{1}{{10}^{2k+1}}$ を代入すれば，
$\frac{\frac{1}{{10}^{2k+1}}}{a_ka_{k+1}}=\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}\Leftrightarrow\frac{1}{a_ka_{k+1}}={10}^{2k+1}\left(\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}\right)$
これを利用すれば，
$S_n=\sum_{k=1}^{n}\left\{\frac{1}{{10}^{2k}}\cdot{10}^{2k+1}\left(\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}\right)\right\}=10\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}\right)=10\left\{\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}\right)+\left(\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_2}\right)+\cdots\cdots+\left(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)\right\}=10\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)=10\left[10-\frac{1-\frac{1}{{10}^2}}{\frac{1}{10}\left\{1-\frac{1}{{10}^{2\left(n+1\right)}}\right\}}\right]=\frac{1-\frac{1}{{10}^{2n}}}{1-\frac{1}{{10}^{2n+2}}}$
となるから， $w=0,x=2,y=2,z=2$ ……(答)

(3)
$\left({100}^{n+1}-1\right)S_n={10}^{2n+2}\left(1-\frac{1}{{10}^{2n+2}}\right)\cdot\frac{1-\frac{1}{{10}^{2n}}}{1-\frac{1}{{10}^{2n+2}}}={10}^{2n+2}-{10}^2$
よって， $2n+2$ 桁……(答)

2016年慶應大学経済学部|過去問徹底研究大問3

2019.10.09

方針の立て方 (1)(3)(4)は基本問題であり，特筆事項なし．(4)は本解ではと丁寧に記述したが，であることと，解答形式は穴埋め形式である(途中の計算を記述しない)ため，本番では直ちに11と答えても良いだろう． (2)は少々考えにくい問題であるが，相関係数とは，1つのデータで決まるものではなく，他

…続きを読む
方針の立て方

(1)(3)(4)は基本問題であり，特筆事項なし．(4)は本解では $\sqrt{120.8}=10.9\cdots\cdots\fallingdotseq11$ と丁寧に記述したが， ${11}^2=121$ であることと，解答形式は穴埋め形式である(途中の計算を記述しない)ため，本番では直ちに11と答えても良いだろう．
(2)は少々考えにくい問題であるが，相関係数とは，1つのデータで決まるものではなく，他のデータとの関係で決まるものであるから，複数のデータを比較することが必要だと考える．
相関係数0.95以上というのは大変強い正の相関であり，殆ど比例の関係だと見做せる．

解答例

(34)(35)52
(36)(37)74
(38)0
(39)1
(40)3
(41)5
(42)6
(43)(44)(45)68.2
(46)(47)(48)68.4
(49)9
(50)(51)11

解説

(1)
表より，最小値は52，最大値は74……(答)

(2)
番号2の個体と比較して，「体長が大きく，体重も大きい」か「体長が小さく，体重も小さい」のどちらかに該当する番号の個体は種類Bに分類される可能性があり，該当する番号は(2を除いて)4,5,6,7,8,9である．
逆にこれに該当しない番号0,1,3の個体は種類Aに分類される．
番号0の個体と比較して，「体長が大きく，体重も大きい」か「体長が小さく，体重も小さい」のどちらかに該当する番号の個体は種類Aに分類される可能性があり，該当する番号は(0,1,3を除いて)5,6である．よって，種類Aの5匹の番号は小さい方から0,1,3,5,6……(答)
また，種類Aの5匹の体長の平均値は， $\frac{60+66+69+72+74}{5}=68.2$ ……(答)

(3)
10匹のうち体長の大きい方から5匹の個体の番号は1,3,5,6,9であり，この5匹の体長の平均値は， $\frac{66+69+72+74+61}{5}=68.4$ ……(答)
種類Bの5匹の番号は2,4,7,8,9であるから，体長の大きい5匹のうち種類Bの個体の番号は9……(答)

(4)
$\sqrt{\left(60-68.2\right)^2+\left(66-68.2\right)^2+\left(69-68.2\right)^2+\left(72-68.2\right)^2+\left(74-68.2\right)^2}=\sqrt{120.8}=10.9\cdots\cdots\fallingdotseq11$ ……(答)

2016年慶應大学経済学部|過去問徹底研究大問1

2019.10.09

方針の立て方 (1) の二変数を考えるのは困難であるため，三角関数を導入することで一変数化する． (2) 基本対称式の典型問題であるため特筆事項なし． (3) 前問と同様に基本対称式の問題．基本対称式の問題であるためとしないでとすると良い．解答例 (1)(2) (3)(4) (5) (6) (7)

…続きを読む

方針の立て方

(1)
$x,y$ の二変数を考えるのは困難であるため，三角関数を導入することで一変数化する．

(2)
基本対称式の典型問題であるため特筆事項なし．

(3)
前問と同様に基本対称式の問題．基本対称式の問題であるため $\left(x+y\right)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$ としないで $\left(x+y\right)^3=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)$ とすると良い．

解答例

(1)(2) $-2$
(3)(4) $06$
(5) $6$
(6) $1$
(7)(8)(9) $\frac{-7}{2}$
(10) $2$
(11)(12) $10$

解説

円 $C$ の式は $\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=8\Leftrightarrow x^2+y^2-2\left(x+y\right)=6$ である．
(1)
円 $C$ 上の点は $\begin{cases} x-1=2\sqrt2\cos{\theta} \\ y-1=2\sqrt2\sin{\theta} \end{cases}\Leftrightarrow\left(x,y\right)=\left(2\sqrt2\cos{\theta}+1,2\sqrt2\sin{\theta}+1\right)$ とおくことができる( $\theta$ は任意の実数)．
$\therefore t=\left(2\sqrt2\cos{\theta}+1\right)+\left(2\sqrt2\sin{\theta}+1\right)=4\sin{\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}+2$
(※途中で三角関数の合成公式を用いた)
$\theta$ は任意の実数を取りうるため， $-1\leqq\sin{\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}\leqq1． \therefore-2\leqq t\leqq6$ ……(答)
また， $t=0$ のとき， $x+y=0$ が成り立つから，円 $C$ の式に代入すれば，
$x^2+y^2=6$ ……(答)

(2)
$t^2=\left(x+y\right)^2=x^2+y^2+2xy$
円 $C$ の式より， $x^2+y^2-2\left(x+y\right)=6\Leftrightarrow x^2+y^2=2t+6$ であるから，上式に代入すると，
$t^2=2t+6+2xy\Leftrightarrow xy=\frac{1}{2}t^2-t-3=\frac{1}{2}\left(t-1\right)^2-\frac{7}{2}$ となる． $-2\leqq t\leqq6$ のもとでの $\frac{1}{2}\left(t-1\right)^2-\frac{7}{2}$ の最小値は， $t=1$ のときの $-\frac{7}{2}$ ．
よって， $xy$ の値は $t=1$ のとき最小値 $-\frac{7}{2}$ をとる．……(答)

(3)
$t^3=\left(x+y\right)^3=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=x^3+y^3+3\left(\frac{1}{2}t^2-t-3\right)t\Leftrightarrow x^3+y^3=-\frac{1}{2}t^3+3t^2+9t$
$f\left(t\right)=-\frac{1}{2}t^3+3t^2+9t$ とおくと， $f^\prime\left(t\right)=-\frac{3}{2}t^2+6t+9=-\frac{3}{2}\left\{t-\left(2-\sqrt{10}\right)\right\}\left\{t-\left(2+\sqrt{10}\right)\right\}$
$-2\leqq t\leqq6$ に注意して増減表を描くと，

$t$	$-2$	$\cdots$	$2-\sqrt{10}$	$\cdots$	$2+\sqrt{10}$	$\cdots$	$6$
$f^\prime\left(t\right)$	$-$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$-$
$f\left(t\right)$	$-2$	$\searrow$	$\qquad$	$\nearrow$	$26+10\sqrt{10}$	$\searrow$	$\searrow$

よって， $t=2+\sqrt{10}$ のとき $\left(f\left(t\right)=\right)x^3+y^3$ は最大となる．……(答)

2017年慶應大学経済学部|過去問徹底研究大問1

2019.10.07

方針の立て方 (1) 典型問題であるため特筆事項なし． (2) 前問と同様の解法を用いると考える．前問では，中心座標が与えられていたためここから考えられたが，本問では中心座標が与えられていない．そこで，まずは中心を文字で置くことから始める．すると前問の解法の流れが使える． (3) まずは，半径の情

…続きを読む
方針の立て方

(1)
典型問題であるため特筆事項なし．

(2)
前問と同様の解法を用いると考える．
前問では，中心座標が与えられていたためここから考えられたが，本問では中心座標が与えられていない．そこで，まずは中心を文字で置くことから始める．すると前問の解法の流れが使える．

(3)
まずは，半径の情報が与えられている円 $C_1$ の議論をする．(1)や(2)と同様に中心座標を文字で置いて議論すれば良い．
解答に至るには円 $C_2$ の中心に関する議論が必要になるから，円 $C_1$ と円 $C_2$ の情報をつなげる(というより円 $C_1$ の情報を円 $C_2$ の情報に変換する)ことを考える．本問では線分 $\mathrm{P}_\mathrm{1}\mathrm{P}_\mathrm{2}$ の長さの情報が与えられているため，これを使ってやれば良い．直線 $l_a$ の傾きが三角比でよく見る $\sqrt3$ という値であることから，図形的に考えれば良いと直観する．

解答例

(1) $1$
(2) $3$
(3)(4) $16$
(5) $5$
(6) $9$
(7)(8) $-4$
(9) $3$

解説

(1)
中心が $\left(1,3+\sqrt{10}\right)$ であり， $y$ 軸と接することから，円 $C$ の半径は1である．……(答)
また，円 $C$ は直線 $l_a$ と接することから，中心 $\left(1,3+\sqrt{10}\right)$ と直線 $l_a$ との距離は半径の長さ1と等しくなる．
$\therefore\frac{\left|a\cdot1-\left(3+\sqrt{10}\right)\right|}{\sqrt{a^2+\left(-1\right)^2}}=1\Leftrightarrow\left(a-3-\sqrt{10}\right)^2=a^2+1\Leftrightarrow a=3$ ……(答)

(2)
円の中心の座標を $\left(\alpha,\beta\right)$ ( $\alpha,\beta$ は実数)とおく．すると，円 $C$ の方程式は，
$\left(x-\alpha\right)^2+\left(y-\beta\right)^2=4$
まず， $y$ 軸と接することから， $\alpha=\pm2$ ．
また，円 $C$ は直線 $l_a\colon y=2x$ と接することから，中心 $\left(\alpha,\beta\right)$ と直線 $l_a$ との距離は半径の長さ2と等しくなる．
$\therefore\frac{\left|2\cdot\alpha-\beta\right|}{\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2}}=2\Leftrightarrow\left|2\alpha-\beta\right|=2\sqrt5\Leftrightarrow2\alpha-\beta=\pm2\sqrt5\Leftrightarrow\beta=2\alpha\pm2\sqrt5$
よって，円の中心は $\left(-2,-4-2\sqrt5\right),\left(-2,-4+2\sqrt5\right),\left(2,4-2\sqrt5\right),\left(2,4+2\sqrt5\right)$ の4点．この4点からなる平行四辺形の面積が求める面積であり，
$4\cdot4\sqrt5=16\sqrt5$ ……(答)

(3)
円 $C_1$ の中心座標を $\left(1,\alpha\right)$ ( $\alpha$ は正の実数．また， $x$ 座標が1となることは，半径が1であることと $y$ 軸に接することから明らか)とおく．
すると，円 $C_1$ の方程式は，
$\left(x-1\right)^2+\left(y-\alpha\right)^2=1$
と書ける．これが直線 $l_a\colon y=\sqrt3x$ と接することから，中心 $\left(1,\alpha\right)$ と直線 $l_a$ との距離は半径の長さ1と等しくなる．
$\therefore\frac{\left|\sqrt3\cdot1-\alpha\right|}{\sqrt{\left(\sqrt3\right)^2+\left(-1\right)^2}}=1\Leftrightarrow\left|\sqrt3-\alpha\right|=2\Leftrightarrow\sqrt3-\alpha=\pm2\Leftrightarrow\alpha=\sqrt3\pm2$
$\alpha$ は正の実数であることより， $\alpha=\sqrt3+2$ が適当．
よって，円 $C_1$ の方程式は $\left(x-1\right)^2+\left(y-\sqrt3-2\right)^2=1$ であり，直線 $l_a\colon y=\sqrt3x$ との接点 $\mathrm{P}_1$ の座標を求めると $\left(\frac{2+\sqrt3}{2},\frac{3+2\sqrt3}{2}\right)$ と分かる．
下図のように考えると， $\mathrm{P}_2$ の座標は $\left(\frac{2+\sqrt3}{2}+2,\frac{3+2\sqrt3}{2}+2\sqrt3\right)=\left(\frac{6+\sqrt3}{2},\frac{3+6\sqrt3}{2}\right)$ と分かる．

円 $C_2$ の中心の座標を $\left(\beta,\gamma\right)$ ( $\beta,\gamma$ はともに正の実数)とすると， $y$ 軸と接することから円 $C_2$ の半径は $\beta$ となる．
また，中心 $\left(\beta,\gamma\right)$ は，点 $\mathrm{P}_2\left(\frac{6+\sqrt3}{2},\frac{3+6\sqrt3}{2}\right)$ を通る直線 $l_a\colon y=\sqrt3x$ の法線上にある．その法線の方程式は， $y=-\frac{1}{\sqrt3}x+2+4\sqrt3$ であるから， $\gamma=-\frac{1}{\sqrt3}\beta+2+4\sqrt3$ となる．
更に，中心 $\left(\beta,\gamma\right)$ と直線 $l_a\colon y=\sqrt3x$ との距離は半径 $\beta$ と等しくなるから，
$\frac{\left|\sqrt3\beta-\gamma\right|}{\sqrt{\left(\sqrt3\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\beta\Leftrightarrow\sqrt3\beta-\gamma=\pm2\beta$
$\gamma=-\frac{1}{\sqrt3}\beta+2+4\sqrt3$ と連立し，更に $\beta$ が正の実数であることを用いれば，
$\beta=9-4\sqrt3$ ……(答)