2017年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問5

方針の立て方

前半はあまりに平易な問題のため特筆事項なし．
後半は，実際に具体的なトーナメント表で考える．すると，選手Hの位置と，選手Hがいつ負けるのかがカギになると分かる．例によって，大まかな場合分け→細かい場合分け→さらに細かい計算というように，最初は大雑把に分けて考えていき細かいことは後回しとすると，全体の見通しが良くなる．対称性を見抜けるかで処理のスピードに差が出た問題である．入試数学は基本的には時間が足りなくなるのが常なので，小さな対称性でも，気付いてどんどん利用したい．

解答例

(43)(44)(45)(46)(47)(48)…… $\frac{001}{008}$
(49)(50)(51)(52)(53)(54)…… $\frac{019}{189}$

解説

〇すべての選手が互角であったときの確率((43)～(48))について
選手Aが３連勝すれば必要十分．
$\therefore\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$ ……(答)

〇選手Hだけが他の選手より優れていたときの確率((49)～(54))について
選手Aと選手Hのトーナメント表での位置関係で場合分けする．このとき，選手Aは下図のように左端に固定して考えて一般性を失わない．

更に対称性から，②と② $'$ ，③と③ $'$ と③ $''$ と③ $'''$ を考えることは対等であるので，①，②，③のみを考える．
①の位置に選手Hがいる場合
選手Aが優勝するには１回戦で選手Hに勝ち，後の２回を勝てば必要十分．
$\therefore\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$
②か② $'$ の位置に選手Hがいる場合
２回戦で選手Hと戦うか，戦わないかで場合分けする．
２回戦で選手Hと戦って，選手Aが優勝するには，選手Aと選手Hがともに１回戦を勝ち，２回戦で選手Aが選手Hに勝ち，３回戦で選手Aが勝てば必要十分．
$\therefore\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{18}$
２回戦で選手Hと戦わず，選手Aが優勝するには，１回戦で選手Aが勝ち，選手Hが負け，後の２回を選手Aが勝てば必要十分．
$\therefore\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{24}$
$\therefore\frac{1}{18}+\frac{1}{24}=\frac{7}{72}$
③か③ $'$ か③ $''$ か③ $'''$ の位置に選手Hがいる場合
選手Hが何回戦で負けるかで場合分けする．
選手Hが１回戦で負けて，選手Aが優勝するには，１回戦で選手Aが勝ち，選手Hが負け，後の２回を選手Aが勝てば必要十分．
$\therefore\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{24}$
選手Hが２回戦で負けて，選手Aが優勝するには，選手Aと選手Hがともに１回戦を勝ち，２回戦で選手Aが勝ち，選手Hが負け，３回戦で選手Aが勝てば必要十分．
$\therefore\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{36}$
選手Hが３回戦で負けて，選手Aが優勝するには，選手Aと選手Hがともに１回戦と２回戦を勝ち，３回戦で選手Aが勝てば必要十分．
$\therefore\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{27}$
$\therefore\frac{1}{24}+\frac{1}{36}+\frac{1}{27}=\frac{23}{216}$
さらに，抽選で選手Hが①の位置にくる確率は $\frac{1}{7}$ ，②か② $'$ の位置にくる確率は $\frac{2}{7}$ ，③か③ $'$ か③ $''$ か③ $'''$ の位置にくる確率は $\frac{4}{7}$ であるから，求める確率は，
$\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{12}+\frac{2}{7}\cdot\frac{7}{72}+\frac{4}{7}\cdot\frac{23}{216}=\frac{19}{189}$ ……(答)