2017年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問2

方針の立て方

求めるものを未知数で置くという数学の基本解法に則り，まずは円Bの半径を $r$ と置こう．そして，「同じものを２通りの方法で表し，等式を作る」という方針を取る(この方針も数学では典型的な解法である)．
次に円Aに関する情報が与えられていることから，一つは円Aの半径(若しくは直径)を使う表現方法(本解答では， $4r+2$ という表現が該当する)を考える．もう一つは，残りの円である円B，円C，円Dを使うことを考える(本解答では， $\sqrt5r+2r$ という表現が該当する)．
数学では基本的には与えられた情報や設定は全部使うことを意識しよう．解法に詰まった時には，また使っていない情報を活用できないかを考えると打開策が見つかるかもしれない．

解答例

(9)(10)(11)(12)(13)(14)…… $04+02\sqrt{05}$
(15)(16)(17)(18)(19)(20)…… $18+08\sqrt{05}$

解説

円Hの中心(点 $\mathrm{H}^\prime$ )から点Eの中心(点 $\mathrm{E}^\prime$ )を通る半径を引く．点 $\mathrm{E}^\prime$ から上図のように半円Hの弦に向かって垂線を引き，垂線の足を点Gとする．円Bの半径を $r$ とすると，線分 $\mathrm{G}\mathrm{H}^\prime$ の長さは $r$ となる．また，円Eの半径が $2r$ となることから，線分 $\mathrm{E}^\prime\mathrm{G}$ の長さは $2r$ である．よって，三平方の定理から線分 $\mathrm{E}^\prime\mathrm{H}$ の長さは， $\sqrt5r$ となる．よって，円Hの半径は $\sqrt5r+2r$ と書ける．

また，上図の点線に着目すると，円Hの半径は $4r+2$ と書ける．
よって，円Hの半径についての等式，
$\sqrt5r+2r=4r+2$
が成り立ち，これを解くことで，
$r=4+2\sqrt5$ ……(答)
よって，円Hの半径は，
$4r+2=4\left(4+2\sqrt5\right)+2=18+8\sqrt5$ ……(答)