2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問2

方針の立て方

一文字固定法の典型的な問題である．
題意を満たす点の座標を求める問題のため，座標を文字でおくのが定石である．後は，２乗和を実際に計算し，一文字固定法の解法を取れば良い．(2)では，本当に「”三角形の各辺”からの距離」という題意を満たしているか(”直線との距離”と”三角形の各辺からの距離”は必ずしもイコールになるとは限らない)を確認せねばならないことに注意．

解答例
(19)(20)(21)(22)…… $\frac{11}{05}$
(23)(24)(25)(26)…… $\frac{27}{05}$
(27)(28)(29)(30)…… $\frac{01}{04}$
(31)(32)(33)(34)…… $\frac{51}{20}$

解説

(1)
$\begin{cases} x+2y-4=0 \\ 2x-y-2=0 \\ x-y+5=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} y=-\frac{1}{2}x+2 \\ y=2x-2 \\ y=x+5 \end{cases}$
交点を考えると，
$y=-\frac{1}{2}x+2$ と $y=2x-2$ の交点は， $\left(\frac{8}{5},\frac{6}{5}\right)$
$y=2x-2$ と $y=x+5$ の交点は， $\left(7,12\right)$
$y=x+5$ と $y=-\frac{1}{2}x+2$ の交点は， $\left(-2,3\right)$
図示すると，

$xy$ 平面上の点を $\left(x,y\right)$ とおく．この点と三角形の各頂点との距離の２乗和は，
$\left\{\left(\frac{8}{5}-x\right)^2+\left(\frac{6}{5}-y\right)^2\right\}+\left\{\left(-2-x\right)^2+\left(3-y\right)^2\right\}+\left\{\left(7-x\right)^2+\left(12-y\right)^2\right\}=3x^2+3y^2-\frac{66}{5}x-\frac{162}{5}y+210=3\left(x-\frac{11}{5}\right)^2+3\left(y-\frac{27}{5}\right)^2+108$
よって，２乗和が最小となるのは， $\left(x,y\right)=\left(\frac{11}{5},\frac{27}{5}\right)$ のとき……(答)

(2)
$xy$ 平面上の点を $\left(x,y\right)$ とおく．この点と三角形の各辺との距離の２乗和は，点と直線の距離の公式より，
$\frac{\left(x+2y-4\right)^2}{5}+\frac{\left(2x-y-2\right)^2}{5}+\frac{\left(x-y+5\right)^2}{2}=\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}y^2-xy+\frac{9}{5}x-\frac{37}{5}y+\frac{33}{2}=\frac{3}{2}\left(x-\frac{1}{3}y+\frac{3}{5}\right)^2+\frac{4}{3}\left(y-\frac{51}{20}\right)^2+\frac{729}{100}$
よって，２乗和が最小となるのは，
$\begin{cases} x=\frac{1}{3}y-\frac{3}{5} \\ y=\frac{51}{20} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{51}{20} \end{cases}$
のときである．これは三角形の内部の点であるから，この点から各直線に下した垂線の足は，三角形の辺上にあり，題意から外れない．
よって， $\left(\frac{1}{4},\frac{51}{20}\right)$ ……(答)