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2018年慶應大学商学部|過去問徹底研究大問1

2019.10.03

方針の立て方 (ⅰ) 3次元の図形は作図が難しく考えにくいため，適当な平面で切って2次元の問題に帰着する．(8)と(9)は(3)と(4)の問題を一般化したパターンである．そのため(3)と(4)の考え方を応用すればよい． (ⅱ) (10)～(20)までは基本問題であり特筆事項なし． (21)～(25)

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方針の立て方
(ⅰ)
3次元の図形は作図が難しく考えにくいため，適当な平面で切って2次元の問題に帰着する．(8)と(9)は(3)と(4)の問題を一般化したパターンである．そのため(3)と(4)の考え方を応用すればよい．

(ⅱ)
(10)～(20)までは基本問題であり特筆事項なし．
(21)～(25)について．「 $\vec{\mathrm{OA}}$ と $\vec{\mathrm{BD}}$ が平行である」という情報と「 $\vec{\mathrm{OB}}\bot\vec{\mathrm{OD}}$ 」という情報を数式化する．「2つのベクトルが平行である」という情報は「2つのベクトルが実数倍だけ違う」という情報に，「2つのベクトルが垂直である」という情報は「2つのベクトルの内積が0となる」という情報に言い換えると数式化できる．後は， $\vec{\mathrm{BD}}$ のみ始点が $\mathrm{O}$ でないため，始点を $\mathrm{O}$ に揃えるという変形が思いつく．
(26)～(29)について．これも始点がバラバラであるから，始点を $\mathrm{O}$ に揃えると解法を得られる．
(A)と(B)は，ベクトルによる三角形の面積公式を利用すれば良い．本解答では座標を用いた三角形の面積公式を応用している．

解答例
(ⅰ)
(1)(2) $15$
(3)(4) $10$
(5) $5$
(6)(7) $10$
(8)(9) $14$

(ⅱ)
(10) $6$
(11)(12) $24$
(13)(14) $-6$
(15)(16) $-3$
(17) $3$
(18)(19) $-3$
(20) $3$
(21) $4$
(22)(23) $\frac{1}{2}$
(24)(25) $\frac{1}{2}$
(26)(27) $\frac{1}{4}$
(28)(29) $\frac{1}{6}$
(A) $3\sqrt3$
(B) $24\sqrt3$

解説
(ⅰ)
〇 $r_1=\sqrt5$ のとき((1)と(2)について)
断面図を考えると，

$S_0$ と $S_1$ が交わってできる円の半径は上図の破線に当たる．
両円の中心と交点で作られる三角形は正三角形であるから，破線の長さは， $\sqrt5\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt{15}}{2}$ ．
よって，求める円周の長さは $2\pi\cdot\frac{\sqrt{15}}{2}=\sqrt{15}\pi$ ……(答)

〇 $S_0$ と $S_1$ が交わってできる円の円周の長さが最大となるとき((3)～(7)について)

上図のように， $S_0$ と $S_1$ が交わってできる円の半径が $S_0$ の半径と一致するとき，円周が最大となる．
三平方の定理より，
$r_1=\sqrt{\left(\sqrt5\right)^2+\left(\sqrt5\right)^2}=\sqrt{10}$ ……(答)
また，直線 $l$ と $S_0$ と $S_1$ の位置関係について作図すると，

上図(実際には $x$ 軸対称にもう1本直線 $l$ が存在するが，求める座標は同じになるため，上図の1本のみ考える)．直線 $l$ の方程式を $y=ax+b\left(0<a,b\right)$ とすると， $S_0$ と $S_1$ の接線であるから，
$\begin{cases} \frac{\left|-b\right|}{\sqrt{1+a^2}}=\sqrt{5} \\ \frac{\left|-5a-b\right|}{\sqrt{1+a^2}}=\sqrt{10} \end{cases}\Leftrightarrow \left(a,b\right)=\left(\sqrt{\frac{-1+\sqrt{2}}{2}},\sqrt{\frac{5\left(1+\sqrt{2}\right)}{2}}\right)$
よって，直線lの方程式は， $y=\sqrt{\frac{-1+\sqrt2}{2}}x+\sqrt{\frac{5\left(1+\sqrt2\right)}{2}}$ ．よって，求める座標の $x$ 座標は，
$0=\sqrt{\frac{-1+\sqrt2}{2}}x+\sqrt{\frac{5\left(1+\sqrt2\right)}{2}}\Leftrightarrow x=-\sqrt5-\sqrt{10}$
よって，求める座標は， $\left(-\sqrt5-\sqrt{10},0,0\right)$ ……(答)
〇 $r_k$ が $r_0$ の100倍以上となるとき((8)と(9)について)
(3)と(4)を考えたときと同様に考えると， $S_{k-1}$ と $S_k$ が交わってできる円の円周の長さが最大となるのは， $S_{k-1}$ と $S_k$ が交わってできる円の半径が $S_{k-1}$ の半径と一致するときである．
$\therefore r_k=\sqrt2r_{k-1}$
この漸化式を解くと，
$r_k=r_0\left(\sqrt2\right)^k\Leftrightarrow\frac{r_k}{r_0}=\left(\sqrt2\right)^k$
となる． $r_k$ が $r_0$ の100倍以上となるのは，
$100r_0\leqq r_k\Leftrightarrow100\leqq\frac{r_k}{r_0}\Leftrightarrow100\leqq\left(\sqrt2\right)^k$
が成り立つとき．この不等式が成り立つのは $14\leqq k$ のときである．……(答)

(ⅱ)
〇 $\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2,\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2,\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}$ の値((10)～(14)について)
$\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2=\left(-\sqrt3\right)^2+\left(\sqrt3\right)^2=6$ ……(答)
$\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2=\left(3+\sqrt3\right)^2+\left(3-\sqrt{3}\right)^2=24$ ……(答)
$\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=-\sqrt3\cdot\left(3+\sqrt3\right)+\sqrt3\cdot\left(3-\sqrt3\right)=-6$ ……(答)
〇点 $\mathrm{C}$ の座標((15)～(20)について)
$\vec{\mathrm{OC}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}=-2\cdot\left(-\sqrt3,\sqrt3\right)-\left(3+\sqrt3,3-\sqrt3\right)=\left(-3+\sqrt3,-3-\sqrt3\right)$
よって，点 $\mathrm{C}$ の座標は $\left(-3+\sqrt3,-3-\sqrt3\right)$ ……(答)
〇 $\left|\vec{\mathrm{BD}}\right|$ と $\vec{\mathrm{OA}}$ ((21)～(25)について)
$\vec{\mathrm{OA}}$ と $\vec{\mathrm{BD}}$ は平行であるから，実数 $k$ を用いて $\vec{\mathrm{BD}}=k\vec{\mathrm{OA}}$ と書ける．
$\vec{\mathrm{BD}}=\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OB}}$ であるから，
$\vec{\mathrm{OD}}=\vec{\mathrm{OB}}+k\vec{\mathrm{OA}}$
と書ける．
$\vec{\mathrm{OB}}\bot\vec{\mathrm{OD}}$ より，
$\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}=0\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OB}}\cdot\left(\vec{\mathrm{OB}}+k\vec{\mathrm{OA}}\right)=0\Leftrightarrow24-6k=0\Leftrightarrow k=4$
(※途中で(11)～(14)の結果を用いた)
よって， $\vec{\mathrm{BD}}=4\vec{\mathrm{OA}}$ であり，これより， $\left|\vec{\mathrm{BD}}\right|=4\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|$ ……(答)
また， $\vec{\mathrm{OD}}=\vec{\mathrm{OB}}+4\vec{\mathrm{OA}}$ であり， $\vec{\mathrm{OC}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OB}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OC}}$ であるから，連立すると，
$\vec{\mathrm{OD}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OC}}+4\vec{\mathrm{OA}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OA}}=\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OC}}+\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OD}}$ ……(答)

〇 $\frac{\left|\vec{\mathrm{OE}}\right|}{\left|\vec{\mathrm{BE}}\right|}$ の値((26)と(27)について)
点 $\mathrm{E}$ は直線 $\mathrm{OB}$ 上の点であるから， $\vec{\mathrm{OE}}=k\vec{\mathrm{OB}}$ ( $k$ は実数)と表せる．
また，点 $\mathrm{E}$ は直線 $\mathrm{CD}$ 上の点でもあるから， $\vec{\mathrm{OE}}=s\vec{\mathrm{OC}}+\left(1-s\right)\vec{\mathrm{OD}}$ ( $s$ は実数)とも表せる．
ここで，
$\vec{\mathrm{OB}}=\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{BD}}=\vec{\mathrm{OD}}-4\vec{\mathrm{OA}}=\vec{\mathrm{OD}}-4\left(\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OC}}+\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OD}}\right)=-2\vec{\mathrm{OC}}-\vec{\mathrm{OD}}$
より， $\vec{\mathrm{OE}}$ について等式を立てると，
$-2k\vec{\mathrm{OC}}-k\vec{\mathrm{OD}}=s\vec{\mathrm{OC}}+\left(1-s\right)\vec{\mathrm{OD}}$
両辺の係数比較をすると，
$\begin{cases} -2k=s \\ -k=1-s \end{cases}\Leftrightarrow\left(k,s\right)=\left(-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$
$\therefore\vec{\mathrm{OE}}=k\vec{\mathrm{OB}}=-\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OB}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OB}}=-3\vec{\mathrm{OE}}$
$\therefore\frac{\left|\vec{\mathrm{OE}}\right|}{\left|\vec{\mathrm{BE}}\right|}=\frac{\left|\vec{\mathrm{OE}}\right|}{\left|\vec{\mathrm{OE}}-\vec{\mathrm{OB}}\right|}=\frac{\left|\vec{\mathrm{OE}}\right|}{\left|\vec{\mathrm{OE}}-\left(-3\vec{\mathrm{OE}}\right)\right|}=\frac{1}{4}$ ……(答)
〇 $\vec{\mathrm{AE}}$ ((28)と(29)について)
$\vec{\mathrm{OB}}=-3\vec{\mathrm{OE}}$ より，
$\vec{\mathrm{AE}}=\vec{\mathrm{OE}}-\vec{\mathrm{OA}}=-\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OB}}$
一方， $\vec{\mathrm{OC}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}$ と $\vec{\mathrm{OD}}=\vec{\mathrm{OB}}+4\vec{\mathrm{OA}}$ より，
$\vec{\mathrm{DC}}=\vec{\mathrm{OC}}-\vec{\mathrm{OD}}=\left(-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}\right)-\left(\vec{\mathrm{OB}}+4\vec{\mathrm{OA}}\right)=-6\vec{\mathrm{OA}}-2\vec{\mathrm{OB}}=6\left(-\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OB}}\right)$
これらより，
$\vec{\mathrm{DC}}=6\vec{\mathrm{AE}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{AE}}=\frac{1}{6}\vec{\mathrm{DC}}$ ……(答)

〇 $\triangle\mathrm{OAC}$ と $\triangle\mathrm{BCD}$ の面積((A)と(B)について)
$\vec{\mathrm{OA}}=\left(-\sqrt3,\sqrt3\right),\vec{\mathrm{OC}}=\left(-3+\sqrt3,-3-\sqrt3\right)$ より，
$\triangle\mathrm{OAC}=\frac{1}{2}\left|-\sqrt3\left(-3-\sqrt3\right)-\sqrt3\left(-3+\sqrt3\right)\right|=3\sqrt3$ ……(答)
$\vec{\mathrm{BC}}=\vec{\mathrm{OC}}-\vec{\mathrm{OB}}=\left(-3+\sqrt3,-3-\sqrt3\right)-\left(3+\sqrt3,3-\sqrt3\right)=\left(-6,-6\right),\vec{\mathrm{BD}}=4\vec{\mathrm{OA}}=\left(-4\sqrt3,4\sqrt3\right)$ より，
$\triangle\mathrm{BCD}=\frac{1}{2}\left|-6\cdot4\sqrt3-\left(-6\right)\cdot\left(-4\sqrt3\right)\right|=24\sqrt3$ ……(答)

2017年慶應大学商学部|過去問徹底研究大問4

2019.10.02

方針の立て方 (ⅰ) 全体的に，実際に題意を満たす取り出し方を考えることで方針を得られる．数字によって，玉の個数に偏り(例えば数字5の書かれた玉は1個しかないが，数字2の書かれた玉は3個ある)があるため，場合分けは玉に書かれた数字で行うのが良いだろうと考える． (ⅱ) 今度は個数の問題になっているた

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方針の立て方
(ⅰ)
全体的に，実際に題意を満たす取り出し方を考えることで方針を得られる．数字によって，玉の個数に偏り(例えば数字5の書かれた玉は1個しかないが，数字2の書かれた玉は3個ある)があるため，場合分けは玉に書かれた数字で行うのが良いだろうと考える．

(ⅱ)
今度は個数の問題になっているため太郎が何個の玉を獲得するのかで場合分けを行う．

(ⅲ)
今度は色の問題になっているため，色で場合分けを行う．後半はやや解法が立てにくいが実際に題意を満たす場合を考えると，花子が4個獲得する必要があることや玉に書かれた数の和が15となるパターンが少ないことが分かり，虱潰し的に考えつくせば良いと判断できる．

解説
1回のゲームにおける玉の取り出し方の総数は， $12\times11=132$ 通り．
(ⅰ)
〇太郎が1個の玉を獲得する確率((40)～(42)について)
題意を満たすには，太郎と花子が同じ数の書かれた玉を取り出せば必要十分．
2人が1の書かれた玉を取り出し，題意を満たす場合の数は， $3\times2=6$ 通り．
2人が2の書かれた玉を取り出し，題意を満たす場合の数は， $3\times2=6$ 通り．
2人が3の書かれた玉を取り出し，題意を満たす場合の数は， $3\times2=6$ 通り．
2人が4の書かれた玉を取り出し，題意を満たす場合の数は， $2\times1=2$ 通り．
よって，題意を満たす場合の数は， $6+6+6+2=20$ 通り．
よって，太郎が1個の玉を獲得する確率は， $\frac{20}{132}=\frac{5}{33}$ ……(答)
〇花子が2個の玉を獲得する確率((43)～(46)について)
題意を満たすには，太郎の取り出した玉の数より，花子の取り出した玉の数が大きければ必要十分．
(Ⅰ)太郎が1の書かれた玉を取り出した場合(太郎がどの色を取り出すかで3通りある)
題意を満たす花子の玉の取り出し方の場合の数は，9通り．
(Ⅱ)太郎が2の書かれた玉を取り出した場合(太郎がどの色を取り出すかで3通りある)
題意を満たす花子の玉の取り出し方の場合の数は，6通り．
(Ⅲ)太郎が3の書かれた玉を取り出した場合(太郎がどの色を取り出すかで3通りある)
題意を満たす花子の玉の取り出し方の場合の数は，3通り．
(Ⅳ)太郎が4の書かれた玉を取り出した場合(太郎がどの色を取り出すかで2通りある)
題意を満たす花子の玉の取り出し方の場合の数は，1通り．
以上，(Ⅰ)～(Ⅳ)より，題意を満たす場合の数は， $3\times9+3\times6+3\times3+2\times1=56$ 通り．
よって，花子が2個の玉を獲得する確率は， $\frac{56}{132}=\frac{14}{33}$ ……(答)
〇 $\sum_{n=1}^{4}{np_n}$ ((47)～(51)について)
確率 $p_n$ は，「花子が2個の玉を獲得した」という条件のもとで，「玉に書かれた数の差の絶対値が $n$ である」という事象が起こる条件付き確率である．
(Ⅰ)花子が2個の玉を獲得し，かつ玉に書かれた数の差の絶対値が1である確率
太郎と花子の取り出した玉に書かれている数字が $\left(1,2\right),\left(2,3\right),\left(3,4\right),\left(4,5\right)$ のいずれかである場合の確率である．よって，確率は，
$\frac{3\times3+3\times3+3\times2+2\times1}{132}=\frac{13}{66}$
(Ⅱ)花子が2個の玉を獲得し，かつ玉に書かれた数の差の絶対値が2である確率
太郎と花子の取り出した玉に書かれている数字が $\left(1,3\right),\left(2,4\right),\left(3,5\right)$ のいずれかである場合の確率である．よって，確率は，
$\frac{3\times3+3\times2+3\times1}{132}=\frac{3}{22}$
(Ⅲ)花子が2個の玉を獲得し，かつ玉に書かれた数の差の絶対値が3である確率
太郎と花子の取り出した玉に書かれている数字が $\left(1,4\right),\left(2,5\right)$ のいずれかである場合の確率である．よって，確率は，
$\frac{3\times2+3\times1}{132}=\frac{3}{44}$
(Ⅳ)花子が2個の玉を獲得し，かつ玉に書かれた数の差の絶対値が4である確率
太郎と花子の取り出した玉に書かれている数字が $\left(1,5\right)$ である場合の確率である．よって，確率は，
$\frac{3\times1}{132}=\frac{1}{44}$
以上，(Ⅰ)～(Ⅳ)と，花子が2個の玉を獲得する確率は $\frac{14}{33}$ であることから，
$p_1=\frac{\frac{13}{66}}{\frac{14}{33}}=\frac{33}{14}\cdot\frac{13}{66},p_2=\frac{\frac{3}{22}}{\frac{14}{33}}=\frac{33}{14}\cdot\frac{3}{22},p_3=\frac{\frac{3}{44}}{\frac{14}{33}}=\frac{33}{14}\cdot\frac{3}{44},p_4=\frac{\frac{1}{44}}{\frac{14}{33}}=\frac{33}{14}\cdot\frac{1}{44}$
となる．
$\therefore\sum_{n=1}^{4}{np_n}=1\cdot\frac{33}{14}\cdot\frac{13}{66}+2\cdot\frac{33}{14}\cdot\frac{3}{22}+3\cdot\frac{33}{14}\cdot\frac{3}{44}+4\cdot\frac{33}{14}\cdot\frac{1}{44}=\frac{33}{14}\left(\frac{13}{66}+\frac{3}{11}+\frac{9}{44}+\frac{1}{11}\right)=\frac{101}{56}$ ……(答)

(ⅱ)
(Ⅰ)太郎が1個も玉を獲得しなかった場合
題意を満たす取り出し方は存在しない．
(Ⅱ)太郎が1個の玉を獲得した場合
題意を満たす取り出し方は，「太郎が赤の1,2,3,4の玉いずれかを取り出し，かつ花子が同じ数字の玉を取り出す」である．この取り出し方の場合の数は， $1\times2+1\times2+1\times2+1\times1=7$ 通り．
(Ⅲ)太郎が2個の玉を獲得した場合
題意を満たす取り出し方の場合の数について考える．
まず，色に関係なく太郎が2個の玉を獲得する場合の数は， $3\times3+3\times6+2\times9+1\times11=56$ 通り．
次に太郎が2個の玉を獲得し，かつその2個の玉に赤玉がない場合の数は， $2\times2+2\times4+1\times6=18$ 通り．
よって，太郎が2個の玉を獲得し，かつその中に少なくとも1個の赤玉が含まれている場合の数は， $56-18=38$ 通り．
以上，(Ⅰ)～(Ⅲ)より，題意を満たす場合の数は， $7+38=45$ 通り．
よって，求める確率は，
$\frac{45}{132}=\frac{15}{44}$ ……(答)

(ⅲ)
〇太郎が2回とも同色の玉を取り出す確率((56)～(59)について)
2回目に太郎が取り出しを行うと，太郎，花子合わせて3回取り出しを行ったことになる．この3回の玉の取り出し方の総数は $12\times11\times10$ 通り．
(Ⅰ)太郎が2回とも赤玉を取り出す場合の数
花子が赤玉を取り出さない場合，花子の取り出し方は7通りあるため， $5\times7\times4=140$ 通り．
花子が赤玉を取り出す場合， $5\times4\times3=60$ 通り．
$\therefore140+60=200$ 通り．
(Ⅱ)太郎が2回とも青玉を取り出す場合の数
花子が青玉を取り出さない場合，花子の取り出し方は8通りあるため， $4\times8\times3=96$ 通り．
花子が青玉を取り出す場合， $4\times3\times2=24$ 通り．
$\therefore96+24=120$ 通り．
(Ⅲ)太郎が2回とも白玉を取り出す場合の数
花子が白玉を取り出さない場合，花子の取り出し方は9通りあるため， $3\times9\times2=54$ 通り．
花子が白玉を取り出す場合， $3\times2\times1=6$ 通り．
$\therefore54+6=60$ 通り．
以上，(Ⅰ)～(Ⅲ)より，題意を満たす場合の数は， $200+120+60=380$ 通り．
よって，求める確率は， $\frac{380}{12\times11\times10}=\frac{19}{66}$ ……(答)

〇花子が2回のゲームを通じて獲得した玉に書かれた数の和が15となる確率((60)～(63)について)
2回のゲームにおける玉の取り出し方の総数は， $12\times11\times10\times9$ 通り．
題意を満たすには花子は4個の玉を獲得せねばならない．なぜなら，3個の玉の数の和が最大となるのは3個の玉に書かれた数字が5,4,4のときであるが，和を計算すると13となり，15には届かないからである．
4個の玉を獲得し，かつ4個の玉に書かれた数の和が15となるには，玉に書かれた数の組み合わせが $\left\{5,4,4,2\right\},\left\{5,4,3,3\right\}$ の2パターンに限られる．
(Ⅰ)玉に書かれた数の組み合わせが $\left\{5,4,4,2\right\}$ の場合
花子が4個の玉を獲得する取り出し方は，4,5,2,4か2,4,4,5の順番で玉が取り出されたとき．
$\therefore2\times1\times3\times1+3\times2\times1\times1=12$ 通り．
(Ⅱ)玉に書かれた数の組み合わせが $\left\{5,4,3,3\right\}$ の場合
花子が4個の玉を獲得する取り出し方は，3,4,3,5か3,5,3,4の順番で玉が取り出されたとき．
$\therefore3\times2\times2\times1+3\times1\times2\times2=24$ 通り．
以上，(Ⅰ)と(Ⅱ)より，題意を満たす取り出し方の総数は $12+24=36$ 通り．
よって，求める確率は， $\frac{36}{12\times11\times10\times9}=\frac{1}{330}$ ……(答)

2017年慶應大学商学部|過去問徹底研究大問3

2019.10.02

方針の立て方 (ⅰ)(ⅱ) 共通部分に関する問題であるから，「交わるならば連立」という基本事項に従い，共通部分に関する情報を求める． (ⅲ) 今度は共通部分が分かっていて，その元が分からない(求める)問題である．共通部分は直線(1次元)で，元の図形は平面(2次元)であるから，自由度を1増やせばよいと

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方針の立て方
(ⅰ)(ⅱ)
共通部分に関する問題であるから，「交わるならば連立」という基本事項に従い，共通部分に関する情報を求める．

(ⅲ)
今度は共通部分が分かっていて，その元が分からない(求める)問題である．共通部分は直線(1次元)で，元の図形は平面(2次元)であるから，自由度を1増やせばよいと考える．

解答例
(ⅰ)
(19) $4$
(20) $2$
(21) $8$
(22) $5$

(ⅱ)
(23) $0$
(24)(25) $-4$
(26)(27) $-3$
(28)(29) $-2$
(30)(31)(32) $-20$
(33)(34)(35) $-13$
(36) $2$
(37)(38) $12$
(39) $7$

(ⅲ)
(ウ) $5y-8z-4$
(エ) $5x-z-3$

解説
(ⅰ)
平面 $\pi_1$ と平面 $\pi_2$ の交線 $l$ は，実数パラメーター $t$ を用いると，
$\begin{cases} x-2y+3z+1=0 \\ 3x+4y-7z-5=0 \end{cases}\Leftrightarrow\left(x,y,z\right)=\left(t,8t-4,5t-3\right)$
と表せる．
よって，交線 $l$ は， $\left(1,4,2\right)$ を通り( $t=1$ を代入)，方向ベクトルは $\left(1,8,5\right)$ である直線．
$\therefore\begin{cases} \vec{p_0}=\left(1,4,2\right) \\ \vec{v}=\left(1,8,5\right) \end{cases}$ ……(答)

(ⅱ)
球面 $S$ の半径を $r$ とおく．すると，球面 $S$ の方程式は $\left(x-2\right)^2+\left(y+8\right)^2+\left(z-3\right)^2=r^2$ と表せる．
〇球面 $S$ と直線 $l$ が1点のみを共有するとき((23)～(27)について)
球面 $S\colon\left(x-2\right)^2+\left(y+8\right)^2+\left(z-3\right)^2=r^2$ と交線 $l\colon\left(x,y,z\right)=\left(t,8t-4,5t-3\right)$ の共有点が1つのみとなるには，以下の $t$ に関する2次方程式
$\left(t-2\right)^2+\left(8t-4+8\right)^2+\left(5t-3-3\right)^2=r^2\Leftrightarrow90t^2+56-r^2=0$
がただ一つの実数解(重解)となれば必要十分．
$\therefore56-r^2=0\Leftrightarrow r=2\sqrt{14}$
のときで，そのとき $t=0$ ．
よって，共有点の座標は， $\left(0,8\cdot0-4,5\cdot0-3\right)=\left(0,-4,-3\right)$ ……(答)
〇球面 $S$ と直線 $l$ が1点のみを共有するとき((23)～(27)について)
球面 $S\colon\left(x-2\right)^2+\left(y+8\right)^2+\left(z-3\right)^2=r^2$ と交線 $l\colon\left(x,y,z\right)=\left(t,8t-4,5t-3\right)$ の共有点が1つのみとなるには，以下の $t$ に関する2次方程式
$\left(t-2\right)^2+\left(8t-4+8\right)^2+\left(5t-3-3\right)^2=r^2\Leftrightarrow90t^2+56-r^2=0$
が相異なる2つの実数解を持てば必要十分．
$\therefore56-r^2<0\Leftrightarrow2\sqrt{14}<r$
のときで，そのとき $t=\pm\frac{1}{3}\sqrt{\frac{r^2-56}{10}}$ ．
よって，2つの共有点の座標は， $\left(\pm\frac{1}{3}\sqrt{\frac{r^2-56}{10}},\pm\frac{8}{3}\sqrt{\frac{r^2-56}{10}}-4,\pm\frac{5}{3}\sqrt{\frac{r^2-56}{10}}-3\right)$ である(複号同順)．
この2点の距離は，
$\sqrt{\left(\frac{2}{3}\sqrt{\frac{r^2-56}{10}}\right)^2+\left(\frac{16}{3}\sqrt{\frac{r^2-56}{10}}\right)^2+\left(\frac{10}{3}\sqrt{\frac{r^2-56}{10}}\right)^2}=2\sqrt{r^2-56}$
よって，点 $\mathrm{A}$ と直線 $l$ の距離は，三平方の定理より，
$\sqrt{r^2-\left(\sqrt{r^2-56}\right)^2}=2\sqrt{14}$
である．これより，2つの共有点と点 $\mathrm{A}$ を頂点とする三角形の面積は，
$\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{r^2-56}\cdot2\sqrt{14}=2\sqrt{14\left(r^2-56\right)}$
となる．これが $24\sqrt{35}$ であるとき，
$2\sqrt{14\left(r^2-56\right)}=24\sqrt{35}\Leftrightarrow\sqrt{r^2-56}=6\sqrt{10}$
となる．
$\therefore t=\pm\frac{1}{3}\cdot\frac{6\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=\pm2$
よって，求める共有点の座標は，
$\left(t,8t-4,5t-3\right)=\left(-2,-20,-13\right),\left(2,12,7\right)$ ……(答)

(ⅲ)
平面 $\pi_3$ は面内に直線 $l$ を含み，かつ $x$ 依存性がないため， $\left(y,z\right)=\left(8t-4,5t-3\right)\Leftrightarrow5y-8z-4=0$ ……(答)
同様に，平面 $\pi_4$ は面内に直線 $l$ を含み，かつ $y$ 依存性がないため， $\left(x,z\right)=\left(t,5t-3\right)\Leftrightarrow5x-z-3=0$ ……(答)

2017年慶應大学商学部|過去問徹底研究大問2

2019.10.02

方針の立て方 (ⅰ) 二次関数の最小問題であり，特筆事項なし． (ⅱ) 計算するだけ．特筆事項なし． (ⅲ) 不等式の証明は(大きい方)-(小さい方)が0より大きくなる(あるいは0以上となる)ことを示すという典型的な解法を取る．つまり，を考察する．これが0より大きくなれば証明終了であるから，を小さく

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方針の立て方
(ⅰ)
二次関数の最小問題であり，特筆事項なし．

(ⅱ)
計算するだけ．特筆事項なし．

(ⅲ)
不等式の証明は(大きい方)-(小さい方)が0より大きくなる(あるいは0以上となる)ことを示すという典型的な解法を取る．つまり， $c\left(x_1\right)+c\left(x_2\right)-c\left(x_1+x_2\right)$ を考察する．これが0より大きくなれば証明終了であるから， $c\left(x_1\right)+c\left(x_2\right)-c\left(x_1+x_2\right)$ を小さく評価していく． $a\left(x\right)$ の単調減少の性質を使うには， $c\left(x\right)$ の情報を $a\left(x\right)$ に変換する必要があるため， $a\left(x\right)=\frac{c\left(x\right)}{x}\Leftrightarrow c\left(x\right)=xa\left(x\right)$ を用いる．

(ⅳ)
「節約される費用」はどのようにして数式化すればいいかを考える．すると(買収前の製造費用)-(買収後の製造費用)で求められると分かり，これを用いて数式化すればよい．

解答例
(ⅰ)
(14) $4$
(15) $6$

(ⅱ)
(16)(17)(18) $\frac{76}{9}$

(ⅲ)
(ア)
$c\left(x_1\right)+c\left(x_2\right)-c\left(x_1+x_2\right)=x_1a\left(x_1\right)+x_2a\left(x_2\right)-\left(x_1+x_2\right)a\left(x_1+x_2\right)$
ここで， $0<x_1<x_1+x_2\leqq\bar{x}$ であるから， $a\left(x_1+x_2\right)<a\left(x_1\right)$ であり，同様に， $0<x_2<x_1+x_2\leqq\bar{x}$ であることから $a\left(x_1+x_2\right)<a\left(x_2\right)$ が言える．
$\therefore x_1a\left(x_1\right)+x_2a\left(x_2\right)-\left(x_1+x_2\right)a\left(x_1+x_2\right)>x_1a\left(x_1+x_2\right)+x_2a\left(x_1+x_2\right)-\left(x_1+x_2\right)a\left(x_1+x_2\right)=0$
よって，
$c\left(x_1\right)+c\left(x_2\right)-c\left(x_1+x_2\right)>0\Leftrightarrow c\left(x_1+x_2\right)<c\left(x_1\right)+c\left(x_2\right)$
証明終了．

(ⅳ)
(イ) $8-u_1-u_2$

解説
(ⅰ)
$m\left(x\right)=x^2-8x+17=\left(x-4\right)^2+1$
よって $m\left(x\right)$ を最小にする $x$ は $x=4$ ．
$\therefore x_m=4$ ……(答)
$c\left(x\right)$ は $m\left(x\right)$ の原始関数であるから，
$c\left(x\right)=\int m\left(x\right)dx=\frac{1}{3}x^3-4x^2+17x+C$ ( $C$ は積分定数)
となる． $c\left(0\right)=0$ より，積分定数は $C=0$ である．
$\therefore a\left(x\right)=\frac{\frac{1}{3}x^3-4x^2+17x}{x}=\frac{1}{3}x^2-4x+17=\frac{1}{3}\left(x-6\right)^2+5$
よって， $a\left(x\right)$ を最小にする $x$ は $x=6$ ．
$\therefore x_a=6$ ……(答)

(ⅱ)
$\int_{x_m}^{x_a+1}\left|m\left(x\right)-a\left(x\right)\right|dx=\int_{4}^{7}\left|x^2-8x+17-\left(\frac{1}{3}x^2-4x+17\right)\right|dx=\int_{4}^{7}\left|\frac{2}{3}x\left(x-6\right)\right|dx=\int_{4}^{6}\left\{-\frac{2}{3}x\left(x-6\right)\right\}dx+\int_{6}^{7}{\frac{2}{3}x\left(x-6\right)}dx=\left[2x^2-\frac{2}{9}x^3\right]_4^6+\left[\frac{2}{9}x^3-2x^2\right]_6^7=\frac{76}{9}$ ……(答)

(ⅳ)
式①が仮定されている場合， $c\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-4x^2+17x$ である．
買収前における，商品 $\mathrm{P}_\mathrm{A}$ の製造費用は $c\left(u_1\right)=\frac{1}{3}{u_1}^3-4{u_1}^2+17u_1$ であり，商品 $\mathrm{P}_\mathrm{B}$ の製造費用は $c\left(u_2\right)=\frac{1}{3}{u_2}^3-4{u_2}^2+17u_2$ である．よって，買収前での両社合わせた製造費用は $c\left(u_1\right)+c\left(u_2\right)=\frac{1}{3}{u_1}^3-4{u_1}^2+17u_1+\frac{1}{3}{u_2}^3-4{u_2}^2+17u_2$ となる．
製造後における，商品 $\mathrm{P}_\mathrm{A}$ の製造費用は，製造量が $u_1+u_2$ となることより $c\left(u_1+u_2\right)=\frac{1}{3}\left(u_1+u_2\right)^3-4\left(u_1+u_2\right)^2+17\left(u_1+u_2\right)$ となる．
よって，節約される費用は，
$c\left(u_1\right)+c\left(u_2\right)-c\left(u_1+u_2\right)=\frac{1}{3}{u_1}^3-4{u_1}^2+17u_1+\frac{1}{3}{u_2}^3-4{u_2}^2+17u_2-\left\{\frac{1}{3}\left(u_1+u_2\right)^3-4\left(u_1+u_2\right)^2+17\left(u_1+u_2\right)\right\}=u_1u_2\left(8-u_1-u_2\right)$ ……(答)

2017年慶應大学商学部|過去問徹底研究大問1

2019.10.02

方針の立て方 (ⅰ) にはとが混じっているため，これを一つの三角関数にまとめることを考える．すると，三角関数の合成という解法が立つ． (ⅱ) 実際にを求めてみて，その導出過程をで一般化すれば良い．数列の問題はいきなり抽象的なで計算するのではなく，最初はなどの小さい値でやってみると，解法が得やすい．漸

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方針の立て方
(ⅰ)
$f\left(x\right)$ には $\cos{x}$ と $\sin{x}$ が混じっているため，これを一つの三角関数にまとめることを考える．すると，三角関数の合成という解法が立つ．

(ⅱ)
実際に $a_2,a_3,\cdots\cdots$ を求めてみて，その導出過程を $n$ で一般化すれば良い．数列の問題はいきなり抽象的な $n$ で計算するのではなく，最初は $n=1,2$ などの小さい値でやってみると，解法が得やすい．漸化式が求まってしまえば，後は一般項に直して，問題文に沿って素直に不等式を立てれば良い．
(余談だが，この問題はニュートン法を題材にした問題である．)

解答例
(ⅰ)
(1)(2)(3) $\frac{11}{6}$
(4)(5) $13$
(6)(7) $\frac{5}{6}$
(8)(9) $-3$

(ⅱ)
(10)(11) $\frac{4}{5}$
(12)(13) $25$

解説
(ⅰ)
三角関数の合成公式を用いれば，
$f\left(x\right)=4\sqrt3\cos{x}-4\sin{x}+5=8\sin{\left(x+\frac{2}{3}\pi\right)}+5$
である． $0\leqq x <2\pi\Leftrightarrow\frac{2}{3}\pi\leqq x+\frac{2}{3}\pi<\frac{8}{3}\pi$ であるから， $x+\frac{2}{3}\pi=\frac{5}{2}\pi\Leftrightarrow x=\frac{11}{6}\pi$ で最大値 $8+5=13$ を取り， $x+\frac{2}{3}\pi=\frac{3}{2}\pi\Leftrightarrow x=\frac{5}{6}\pi$ で最小値 $-8+5=-3$ を取る．
まとめると，

(ⅱ)
$a_n$ は帰納的に正である．つまり， $0<a_n$ ．
$y^\prime=5x^4$ より，点 $\left(a_n,{a_n}^5\right)$ での接線の方程式は $y=5{a_n}^4x-4{a_n}^5$ となる．これと $x$ 軸( $y=0$ )との交点の $x$ 座標が $a_{n+1}$ のため，
$0=5{a_n}^4a_{n+1}-4{a_n}^5$
となる． $0<a_n$ に注意してこれを解くと，
$a_{n+1}=\frac{4}{5}a_n$ ……(答)
この漸化式を解く． $a_n$ は初項 $a_1=1$ ，公比 $\frac{4}{5}$ の等比数列であるから，一般項 $a_n$ は
$a_n=1\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}=\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}$
となる．
$\therefore a_n-a_{n+1}=\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}-\left(\frac{4}{5}\right)^n=\frac{1}{5}\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}$
よって， $a_n-a_{n+1}$ が $\frac{1}{1000}$ 以下であるには，
$\frac{1}{5}\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}\leqq\frac{1}{1000}\Leftrightarrow\log_{10}{\left\{\frac{1}{5}\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}\right\}}\leqq\log_{10}{\frac{1}{1000}}$ ……(＊)
であれば必要十分．
$\log_{10}{\left\{\frac{1}{5}\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}\right\}}=\log_{10}{\frac{1}{5}}+\log_{10}{\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}}=\log_{10}{\frac{2}{10}}+\left(n-1\right)\log_{10}{\frac{8}{10}}=\log_{10}{2}-1+\left(n-1\right)\left(3\log_{10}{2}-1\right)$
$\log_{10}{\frac{1}{1000}}=\log_{10}{{10}^{-3}}=-3$
より，(＊)は
$\log_{10}{2}-1+\left(n-1\right)\left(3\log_{10}{2}-1\right)\leqq-3\Leftrightarrow n\geqq\frac{2+\log_{10}{2}}{1-3\log_{10}{2}}+1=\frac{2+0.3010}{1-3\times0.3010}+1=24.7\cdots\cdots$
となる．よって，求める自然数 $n$ の最小値は， $n=25$ ……(答)

2016年早稲田大学商学部|過去問徹底研究大問3

2019.09.30

方針の立て方簡単にでも作図をすることで題意とつかめ，方針も得られる． (1) 基本問題であるため，特筆事項はない．角度に関する情報が何も問題文で与えられていないため，余弦定理を用いて角度の情報を得ることを考える． (2) 実際に作図することで，全ての三角形が合同であることが分かる．これを利用すると

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方針の立て方
簡単にでも作図をすることで題意とつかめ，方針も得られる．
(1)
基本問題であるため，特筆事項はない．角度に関する情報が何も問題文で与えられていないため，余弦定理を用いて角度の情報を得ることを考える．
(2)
実際に作図することで，全ての三角形が合同であることが分かる．これを利用すると， $\triangle\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}$ に着目するのが有効だと分かる．後は余弦定理を用いればよいので，余弦定理に必要な $\cos{\angle\mathrm{A}_\mathrm{2}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{0}}$ の情報を求める問題に帰着できる．(※ $\triangle\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}$ は二等辺三角形であるから，頂角の二等分線を引くことで求める解法も使える．)
(3)
これも試しに $\mathrm{A}_\mathrm{3}$ まで作図してみると，本解答の図のように，ジグザグになっていることが分かる．

解答例
(1)

左図のように，線分 $\mathrm{A}_0\mathrm{A}_1$ と直線 $\mathrm{C}_0\mathrm{B}_0$ の交点を $\mathrm{A}_\mathrm{H}と$ する．すると，
$\mathrm{A}_0\mathrm{A}_\mathrm{H}=\mathrm{A}_0\mathrm{C}_0\sin{\angle\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}$
である． $\mathrm{\triangle}\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}$ に余弦定理を用いると，
${\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}^2={{\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{A} }_\mathrm{0}}^2+{\mathrm{B}_\mathrm{0}\mathrm{C}_\mathrm{0}}^2-2\cdot{\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{A} }_\mathrm{0}\cdot{\mathrm{B}_\mathrm{0}\mathrm{C} }_\mathrm{0}\cos{\angle\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}\bigm\Leftrightarrow5^2=8^2+7^2-2\cdot8\cdot7\cos{\angle\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}\Leftrightarrow\cos{\angle\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}=\frac{11}{14}$
であるから， $\sin{\angle\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}=\frac{5\sqrt3}{14}$
$\therefore\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{H}=8\cdot\frac{5\sqrt3}{14}=\frac{20\sqrt3}{7}$
$\therefore\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{1}=2\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{H}=2\cdot\frac{20\sqrt3}{7}=\frac{40\sqrt3}{7}$ ……(答)

(2)

左図で全ての三角形は合同である．
よって， $\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{1}=\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}=\frac{40\sqrt3}{7}$ である．
また， $\angle\mathrm{B}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}=\angle\mathrm{B}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{0}$ より，
$\angle\mathrm{A}_\mathrm{2}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{0}=\angle\mathrm{B}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{B}_\mathrm{0}=2\angle\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{B}_\mathrm{0}=2\angle\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}$
である．よって，
$\cos{\angle\mathrm{A}_\mathrm{2}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{0}}=\cos{2\angle\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}=1-2{\mathrm{sin}}^2\angle\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}$
ここで， $\triangle\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}$ に正弦定理を用いると，
$\frac{\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}{\sin{\angle\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}}=\frac{\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}{\sin{\angle\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}}\Longleftrightarrow\frac{7}{\sin{\angle\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}}=\frac{5}{\frac{5\sqrt3}{14}}\Leftrightarrow\sin{\angle\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}=\frac{\sqrt3}{2}$
$\therefore\cos{\angle\mathrm{A}_\mathrm{2}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{0}}=1-2\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=-\frac{1}{2}$
よって， $\triangle\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}$ に余弦定理を用いると，
${\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{2}}^2={\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{2}}^2+{\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{2}}^2-2\cdot\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{2}\cdot\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{2}\cos{\angle\mathrm{A}_\mathrm{2}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{0}}\bigm\Leftrightarrow{\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{2}}^2=\left(\frac{40\sqrt3}{7}\right)^2+\left(\frac{40\sqrt3}{7}\right)^2-2\cdot\frac{40\sqrt3}{7}\cdot\frac{40\sqrt3}{7}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\Leftrightarrow\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{2}=\frac{120}{7}$ ……(答)

(3)
前問と同様に考えると，

上図のようになる．
$\therefore\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_{\mathrm{2016}}=\frac{2016}{2}\cdot\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{2}=17280$ ……(答)

2016年早稲田大学商学部|過去問徹底研究大問2

2019.09.30

方針の立て方実際に図形を描いて試してみると題意をつかみやすい．問題文の通りに考えると，「を決めると線分が決まり，を変数(はによって定まる)としてを考えることができる」ということである．を考えるときには，は定数扱いする． (1) はによって定まるので，は実質の一変数関数(2次関数)となる．後は2次関

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方針の立て方
実際に図形を描いて試してみると題意をつかみやすい．問題文の通りに考えると，「 $\alpha,\beta$ を決めると線分 $\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2$ が決まり， $a$ を変数( $b$ は $a$ によって定まる)として $S\left(a,b\right)$ を考えることができる」ということである． $S\left(a,b\right)$ を考えるときには， $\alpha,\beta$ は定数扱いする．
(1)
$b$ は $a$ によって定まるので， $S\left(a,b\right)$ は実質 $a$ の一変数関数(2次関数)となる．後は2次関数の最大値問題を解く解法を取ればよい．
※ $M\left(\alpha,\beta\right)$ は，引数からも分かるように $\alpha,\beta$ の関数である．よって， $M\left(\alpha,\beta\right)$ について考えるときには，変数は $\alpha,\beta$ である．
(2)
まずは指定されている条件を $\alpha,\beta$ の式で書き直すこと．そうすれば，以下では $\alpha,\beta$ を変数で扱うと都合がいいことが分かる(書き直した条件： $\beta=\alpha+1$ より，実質変数は $\alpha$ のみとなる)．後は，存在範囲を考えれば良い．典型的な一文字固定法の考え方で解こうとすると， $-1\leqq k\leqq0$ と $0\leqq k\leqq1$ のときで場合分けが必要になることが分かる．後は，それぞれで場合分けをして考えていく．図形で考えたときに $S\left(a,b\right)$ がどういう意味を持つのかを考えよう．

解答例
(1)
線分 $\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2:y=\left(\alpha+\beta\right)x-\alpha\beta$ ( $\alpha\leqq x\leqq\beta$ )
点 $\mathrm{P}\left(a,b\right)$ を代入して，
$b=\left(\alpha+\beta\right)a-\alpha\beta$ ( $\alpha\leqq a\leqq\beta$ )
$\therefore S\left(a,b\right)=b-a^2=\left(\alpha+\beta\right)a-\alpha\beta-a^2=-\left(a-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2+\frac{\left(\beta-\alpha\right)^2}{4}\leqq\frac{\left(\beta-\alpha\right)^2}{4}$
等号成立は $a=\frac{\alpha+\beta}{2}$ のときであり，これは $\mathrm{P}_1$ と $\mathrm{P}_2$ の中点であり，適当である．
$\therefore M\left(\alpha,\beta\right)=\frac{\left(\beta-\alpha\right)^2}{4}$ ……(答)

(2)
ⅰ)を満たすには，
$\frac{\left(\beta-\alpha\right)^2}{4}=\frac{1}{4}$
であれば必要十分． $\beta-\alpha>0$ に注意して解くと，
$\beta-\alpha=1\Leftrightarrow\beta=\alpha+1$
ⅱ)を満たすには，
$\left|\alpha+\beta\right|\leqq1$
これらを図示すると，

つまり，
$\begin{cases} \beta=\alpha+1 \\ -1\leqq\alpha\leqq0 \end{cases}$
さて，考えている存在範囲の $x$ 座標の範囲は $-1\leqq\alpha\leqq x\leqq\beta=\alpha+1\leqq1$ より， $-1\leqq x\leqq1$ である．そこで，考えている存在範囲の $x=k\left(-1\leqq k\leqq1\right)$ での $y$ 座標の最大値と最小値の差を求める．これを求めるには， $\alpha,\beta$ を変数として， $S\left(k,b\right)$ の最大値と最小値を考えれば良い．ここで，
$S\left(k,b\right)=\left(\alpha+\beta\right)k-\alpha\beta-k^2=\left(2\alpha+1\right)k-\alpha\left(\alpha+1\right)-k^2=-\left(\alpha-\frac{2k-1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}$
である．
・ $-1\leqq k\leqq0$ のとき
$-1\leqq\alpha\leqq k$ の範囲を考えれば必要十分．

※ $\frac{2k-1}{2}<k$ はいつでも成り立つ．
①の場合 $\left(\frac{2k-1}{2}\leqq-1\Leftrightarrow k\leqq-\frac{1}{2}\right)$
$0=\left.S\left(k,b\right)\right|_{\alpha=k}\leqq S\left(k,b\right)\leqq\left.S\left(a,b\right)\right|_{\alpha=-1}=-k^2-k$
②の場合 $\left(-1\leqq\frac{2k-1}{2}\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\leqq k\right)$
$0=\left.S\left(k,b\right)\right|_{\alpha=k}\leqq S\left(k,b\right)\leqq\left.S\left(a,b\right)\right|_{\alpha=\frac{2k-1}{2}}=\frac{1}{4}$
・ $0\leqq k\leqq1$ のとき，
$k\leqq\beta\leqq1\Leftrightarrow k-1\leqq\alpha\leqq0$ の範囲を考えれば必要十分．

※ $k-1<\frac{2k-1}{2}$ はいつでも成り立つ．
①の場合 $\left(0\leqq\frac{2k-1}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{2}\leqq k\right)$
$0=\left.S\left(k,b\right)\right|_{\alpha=k-1}\leqq S\left(k,b\right)\leqq\left.S\left(a,b\right)\right|_{\alpha=0}=-k^2+k$
②の場合 $\left(\frac{2k-1}{2}\leqq0\Leftrightarrow k\leqq\frac{1}{2}\right)$
$0=\left.S\left(k,b\right)\right|_{\alpha=k-1}\leqq S\left(k,b\right)\leqq\left.S\left(a,b\right)\right|_{\alpha=\frac{2k-1}{2}}=\frac{1}{4}$
以上より，求める面積は，
$\int_{-1}^{-\frac{1}{2}}\left(-k^2-k\right)dk+\int_{-\frac{1}{2}}^{0}\frac{1}{4}dk+\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}dk+\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(-k^2+k\right)dk=\left[-\frac{1}{3}k^3-\frac{1}{2}k^2\right]_{-1}^{-\frac{1}{2}}+\left[\frac{1}{4}k\right]_{-\frac{1}{2}}^0+\left[\frac{1}{4}k\right]_0^{\frac{1}{2}}+\left[-\frac{1}{3}k^3+\frac{1}{2}k^2\right]_{\frac{1}{2}}^1=\frac{5}{12}$ ……(答)

2016年早稲田大学商学部|過去問徹底研究大問1

2019.09.30

方針の立て方 (1) 典型問題であり，特筆事項なし． (2) 代数方程式の有理数解に着目していることから解法を得る． (3) 実際に考えてみることで解法を得る．ただし，を正2016角形で考えるのは難しいため，正4角形や，正5角形，正6角形などで考えてみる．そうすると，約数の問題であることに気付ける．

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方針の立て方
(1)
典型問題であり，特筆事項なし．

(2)
代数方程式の有理数解に着目していることから解法を得る．

(3)
実際に考えてみることで解法を得る．ただし， $P$ を正2016角形で考えるのは難しいため，正4角形や，正5角形，正6角形などで考えてみる．そうすると，約数の問題であることに気付ける．

(4)
最初の式のままでは考えづらいため，変形を試みる．そこで，積和の公式を使って，三角関数の積の形を和の形に直す．
本問に限らず，数学では，和から積への変形，積から和への変形をすることで解法が見えることが多いため，困ったときにはこのような変形をとりあえず試みることを心がけよう．

解答例
(1)ア： $1024$
(2)イ： $5$
(3)ウ： $3528$
(4)エ： $-1008$

解説
(1)
合同式の法は全部2016とする．
$2^{11}=2048\equiv32=2^5$
である．
$\therefore2^{100}=2\cdot\left(2^{11}\right)^9\equiv2\cdot\left(2^5\right)^9=2^2\cdot\left(2^{11}\right)^4≡22⋅254=2112≡252=1024$ ……(答)

(2)
有理数解は全て

の形で表せる．よって，1以上の有理数解の候補は， $1,\frac{3}{2},3$ である．
(ⅰ) $x=1$ が解になると仮定して，方程式に代入すると
$2\cdot1^3-a\cdot1^2+b\cdot1+3=0\Leftrightarrow a=5+b\geqq5+1=6$
(ⅱ) $x=\frac{3}{2}$ が解になると仮定して，方程式に代入すると
$2\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^3-a\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^2+b\cdot\frac{3}{2}+3=0\Leftrightarrow a=\frac{2b+13}{3}\geqq\frac{2\cdot1+13}{3}=5$
(ⅱ) $x=3$ が解になると仮定して，方程式に代入すると
$2\cdot3^3-a\cdot3^2+b\cdot3+3=0\Leftrightarrow a=\frac{b+19}{3}\geqq\frac{1+19}{3}=\frac{20}{3}$
以上(ⅰ)～(ⅲ)より，求める $a$ の最小値は，5……(答)

(3)
2016の任意の約数を $a$ とする．
$P$ の頂点を結ぶことで作ることができる正多角形は，正 $a$ 角形( $a=1,2$ を除く)のみである．
正 $a$ 角形の作り方は $\frac{2016}{a}$ 通りあるが， $\frac{2016}{a}$ も2016の約数となる．
よって，求める個数は，2016の約数の和から， $a=1,2$ のときの分 $\frac{2016}{a}=2016,1008$ を除いた個数となる． $2016=2^5\cdot3^2\cdot7$ より，2016の約数の和は，
$\sum_{z=0}^{1}\sum_{y=0}^{2}\sum_{x=0}^{5}{2^x\cdot3^y\cdot7^z}=\left(7^0+7^1\right)\left(3^0+3^1+3^2\right)\left(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5\right)=8\cdot13\cdot63=6552$
よって，求める個数は，
$6552-2016-1008=3528$ 個……(答)

(4)
$\left(\sum_{k=1}^{2016}{k\sin{\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2016}}}\right)\sin{\frac{\pi}{2016}}=\sum_{k=1}^{2016}\left\{k\sin{\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2016}}\sin{\frac{\pi}{2016}}\right\}$
ここで，積和の公式より，
$\sin{\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2016}}\sin{\frac{\pi}{2016}}=\frac{1}{2}\left\{\cos{\frac{\left(k-1\right)\pi}{1008}}-\cos{\frac{k\pi}{1008}}\right\}$
であるから，
$\sum_{k=1}^{2016}\left\{k\sin{\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2016}}\sin{\frac{\pi}{2016}}\right\}=\sum_{k=1}^{2016}\left\{\frac{k}{2}\cos{\frac{\left(k-1\right)\pi}{1008}}-\frac{k}{2}\cos{\frac{k\pi}{1008}}\right\}=\left(\frac{1}{2}\cos{\frac{0}{1008}}-\frac{1}{2}\cos{\frac{\pi}{1008}}\right)+\left(\frac{2}{2}\cos{\frac{\pi}{1008}}-\frac{2}{2}\cos{\frac{2\pi}{1008}}\right)+\left(\frac{3}{2}\cos{\frac{2\pi}{1008}}-\frac{3}{2}\cos{\frac{3\pi}{1008}}\right)+\cdots\cdots+\left(\frac{2016}{2}\cos{\frac{2015\pi}{1008}}-\frac{2016}{2}\cos{\frac{2016\pi}{1008}}\right)=\frac{1}{2}\left(\cos{\frac{0}{1008}}+\cos{\frac{\pi}{1008}}+\cos{\frac{2\pi}{1008}}+\cdots\cdots+\cos{\frac{2015\pi}{1008}}\right)-1008\cos{2\pi}$
$S=\cos{\frac{0}{1008}}+\cos{\frac{\pi}{1008}}+\cos{\frac{2\pi}{1008}}+\cdots\cdots+\cos{\frac{2015\pi}{1008}}$ とおくと，

上図のように，単位円上では左右対称であるため，項が全て相殺し，0となる．
$\therefore S=0$
よって，
$\sum_{k=1}^{2016}\left\{k\sin{\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2016}}\sin{\frac{\pi}{2016}}\right\}=-1008\cos{2\pi}=-1008$ ……(答)

2017年早稲田大学商学部|過去問徹底研究大問2

2019.09.27

方針の立て方 (1) ガウス記号に関する重要な性質：を使うだけ．ガウス記号は文系数学頻出のテーマのため，この重要な性質とともに覚えておこう． (2) 前問を一般化したもの(前問は本問ののパターンである)であることに気付きたい．入試数学では，まず具体的なパターンでやらせ，その次の問題で一般化するという

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方針の立て方

(1)
ガウス記号に関する重要な性質： $\left[x\right]=n\Leftrightarrow n\leqq x<n+1$ を使うだけ．ガウス記号は文系数学頻出のテーマのため，この重要な性質とともに覚えておこう．

(2)
前問を一般化したもの(前問は本問の $p_n=2$ のパターンである)であることに気付きたい．入試数学では，まず具体的なパターンでやらせ，その次の問題で一般化するという出題形式が多い．一般化されると途端に難しくなったと感じがちだが，前問と同じように処理していけばよい．つまり， $\left[x\right]=n\Leftrightarrow n\leqq x<n+1$ を使って変形し，その範囲で ${p_n}^2$ の倍数である $n$ を拾い上げていけばよい．ただし，前問では $n$ に制限がないが，本問では制限がついてしまっていることに注意．

(3)
前問の議論で， $p_n=1$ と $p_n=2,3$ と $4\leqq p_n\leqq99$ と $p_n=100$ で場合分けしたので，本問でもこれと同様に場合分けして考えればよい．

解答例

(1)
$\left[\sqrt[3]{n}\right]=2\Leftrightarrow2\leqq\sqrt[3]{n}<3\Leftrightarrow2^3\leqq n<3^3\Leftrightarrow8\leqq n<27$
である．この範囲で4の倍数となるものが答えである．
$\therefore n=8,12,16,20,24$ ……(答)

(2)
$n$ の値に制限がない場合，
$\left[\sqrt[3]{n}\right]=p_n\Leftrightarrow p_n\leqq\sqrt[3]{n}<p_n+1\Leftrightarrow{p_n}^3\leqq n<\left(p_n+1\right)^3\Leftrightarrow{p_n}^3\leqq n<{p_n}^3+3{p_n}^2+3p_n+1$
となる．この範囲に， ${p_n}^2$ の倍数である $n$ は，
$n={p_n}^3,{p_n}^3+{p_n}^2,{p_n}^3+2{p_n}^2,\cdots\cdots,{p_n}^3+k{p_n}^2$
の $k+1$ 個ある．ここで， $k$ は， ${p_n}^3+k{p_n}^2\leqq{p_n}^3+3{p_n}^2+3p_n\Leftrightarrow k\leqq3+\frac{3}{p_n}$ を満たす最大の自然数である．つまり， $p_n=1$ ならば $k=6,p_n=2,3$ ならば $k=4,p_n\geqq4$ ならば $k=3$ である．
今は $n\leqq{10}^6$ という制限があるが， ${p_n}^3+3{p_n}^2+3p_n+1\leqq{10}^6\Leftrightarrow\left(p_n+1\right)^3\leqq{10}^6\Leftrightarrow p_n\leqq99$ までは上記の議論が使える．
さて， $n\leqq{10}^6$ より $p_n\leqq\left[\sqrt[3]{{10}^6}\right]=\left[100\right]=100$ であるから， $p_n=100$ のときを別個で考えれば必要十分．
$p_n=100$ となる $n$ は $n={10}^6$ のみであるから， ${p_n}^2={100}^2$ の倍数である $n$ は $n={10}^6$ の1個のみ．
よって，求める個数は，
$\left(6+1\right)+\left(4+1\right)+\left(4+1\right)+\left(3+1\right)\cdot96+1=402$ 個……(答)

(3)
前問の議論より，
(Ⅰ) $p_n=1$ のとき
${p_n}^2=1$ の倍数である $n$ は，
$n={p_n}^3,{p_n}^3+{p_n}^2,{p_n}^3+2{p_n}^2,\cdots\cdots,{p_n}^3+6{p_n}^2=1,2,3,4,5,6,7$
である．これらを $p_n\left(p_n+1\right)=2$ で割った余りは，順番に $1,0,1,0,1,0,1$ である．
(Ⅱ) $p_n=2$ のとき
${p_n}^2=4$ の倍数である $n$ は，
$n={p_n}^3,{p_n}^3+{p_n}^2,{p_n}^3+2{p_n}^2,\cdots\cdots,{p_n}^3+4{p_n}^2=8,12,16,20,24$
である．これらを $p_n\left(p_n+1\right)=6$ で割った余りは，順番に $2,0,4,2,0$ である．
(Ⅲ) $p_n=3$ のとき
${p_n}^2=9$ の倍数である $n$ は，
$n={p_n}^3,{p_n}^3+{p_n}^2,{p_n}^3+2{p_n}^2,\cdots\cdots,{p_n}^3+4{p_n}^2=27,36,45,54,63$
である．これらを $p_n\left(p_n+1\right)=12$ で割った余りは，順番に $3,0,9,6,3$ である．
(Ⅳ) $4\leqq p_n\leqq99$ のとき
${p_n}^2$ の倍数である $n$ は，
$n={p_n}^3,{p_n}^3+{p_n}^2,{p_n}^3+2{p_n}^2,{p_n}^3+3{p_n}^2$
である．これらを $p_n\left(p_n+1\right)$ で割った余りは，順番に $p_n,0,{p_n}^2,{p_n}^2-p_n$ である．
(Ⅴ) $p_n=100$ のとき
${p_n}^2={100}^2$ の倍数である $n$ は，
$n={10}^6$
である．これを $p_n\left(p_n+1\right)=10100$ で割った余りは，100である．
以上，(Ⅰ)～(Ⅴ)より，
$S=\left(1+0+1+0+1+0+1\right)+\left(2+0+4+2+0\right)+\left(3+0+9+6+3\right)+\sum_{p_n=4}^{99}\left\{p_n+0+{p_n}^2+\left({p_n}^2-p_n\right)\right\}+100=656805$ ……(答)

2017年早稲田大学商学部|数学過去問徹底研究大問3

2019.09.27

方針の立て方これはチェビシェフ多項式を元に作られた問題である．チェビシェフ多項式は難関大学での三角関数の問題としてよく出される(高等的な数学の知識を必要とせず考察できる)題材であるため，各自調べて，典型問題化しておくと良いだろう． (1) の定義の仕方はでなされているため，をとを用いて表すことを

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方針の立て方

これはチェビシェフ多項式を元に作られた問題である．
チェビシェフ多項式は難関大学での三角関数の問題としてよく出される(高等的な数学の知識を必要とせず考察できる)題材であるため，各自調べて，典型問題化しておくと良いだろう．

(1)
$P_n\left(x\right)$ の定義の仕方は $P_n\left(\cos{\theta}\right)$ でなされているため， $P_{n+1}\left(\cos{\theta}\right)$ を $P_n\left(\cos{\theta}\right)$ と $P_{n-1}\left(\cos{\theta}\right)$ を用いて表すことを考える．すると， $\cos{\left(n+1\right)\theta}$ を $\cos{n\theta}$ と $\cos{\left(n-1\right)\theta}$ を用いて表すという問題に帰着する．ただし，最終的には $x$ に戻さねばならないため，他に使えるのは $\cos{\theta}$ のみである．そのため，途中で出てくる $\sin{n\theta}\sin{\theta}$ を $\cos{\theta}$ のみの式となるように変形する．

(2)
試しに小さい $n$ をいくつか考えてみるとよい．すると答えの予想がつく．後は前問で漸化式を求めさせていることと，自然数に関する議論であることから，数学的帰納法を用いて，予想が正しいことを示せばよい．

(3)
前問では $P_n\left(x\right)$ の $x^n$ のみを特別視して考えていたため，本問も $x^n$ のみを特別視して考えればよいのではと考える． $x^n$ 以外の項の解析は難しいが，問題で求められているのが一の位の数字のみであるため，十の位以降に押しやられるのでは直観し，それを示していけばよい．

解答例

(1)
加法定理より， $\cos{\left(n+1\right)\theta}=\cos{n\theta}\cos{\theta}-\sin{n\theta}\sin{\theta}$
和積の公式より，
$\sin{n\theta}\sin{\theta}=\frac{1}{2}\left\{\cos{\left(n-1\right)\theta}-\cos{\left(n+1\right)\theta}\right\}$
$\therefore\cos{\left(n+1\right)\theta}=\cos{\theta}\cos{n\theta}-\frac{1}{2}\left\{\cos{\left(n-1\right)\theta}-\cos{\left(n+1\right)\theta}\right\}$
整理すると，
$\cos{\left(n+1\right)\theta}=2\cos{\theta}\cos{n\theta}-\cos{\left(n-1\right)\theta}$
$\cos{\left(n+1\right)\theta}=P_{n+1}\left(\cos{\theta}\right),\cos{n\theta}=P_n\left(\cos{\theta}\right),\cos{\left(n-1\right)\theta}=P_{n-1}\left(\cos{\theta}\right)$ であるから， $\cos{\theta}=x$ とすることで，
$P_{n+1}\left(x\right)=2xP_n\left(x\right)-P_{n-1}\left(x\right)$ ……(答)

(2)
$P_n\left(x\right)$ の $x^n$ の係数が $2^{n-1}$ である(以下ではこの命題を(＊)と表す)ことを数学的帰納法で示す．
$n=1$ のとき， $P_1\left(\cos{\theta}\right)=\cos{\theta}$ より $P_n\left(x\right)=x$ であるから，(＊)は成り立っている．
$n=2$ のとき， $P_2\left(\cos{\theta}\right)=\cos{2\theta}=2\cos^2{\theta}-1$ より $P_2\left(x\right)=2x^2-1$ であるから，(＊)は成り立っている．
ここで， $n=k,k+1$ のときの(＊)の成立を仮定する．つまり，適当な $k-1$ 次以下の多項式 $Q\left(x\right)$ と， $k$ 次以下の多項式 $R\left(x\right)$ とを用いて，
$P_k\left(x\right)=2^{k-1}x^k+Q\left(x\right)$
$P_{k+1}\left(x\right)=2^kx^{k+1}+R\left(x\right)$
と書けると仮定する．
すると，
$P_{k+2}\left(x\right)=2xP_{k+1}\left(x\right)-P_k\left(x\right)=2x\left\{2^kx^{k+1}+R\left(x\right)\right\}-\left\{2^{k-1}x^k+Q\left(x\right)\right\}=2^{k+1}x^{k+2}+\left\{2xR\left(x\right)-2^{k-1}x^k-Q\left(x\right)\right\}$
となる(第一のイコールで(1)で求めた漸化式を，第二のイコールで帰納法の仮定をそれぞれ用いた)．
$2xR\left(x\right)-2^{k-1}x^k-Q\left(x\right)$ は， $Q\left(x\right)$ が高々 $k-1$ 次， $R\left(x\right)$ が高々 $k$ 次であるから，高々 $k+1$ 次である．
よって， $P_{k+2}\left(x\right)$ の $x^{k+2}$ の係数は $2^{\left(k+2\right)-1}$ であると言える．これは，(＊)の $n=k+2$ での成立に他ならない．
以上，数学的帰納法により(＊)が示された．　証明終了．
以上より，求める係数は $2^{n-1}$ ……(答)

(3)
前問の結果より，
$P_{500}\left(\mathrm{cos}{\theta}\right)=\cos{500\theta}$ の $\cos^{500}{\theta}$ の係数は $2^{499}$ ．
よって， $\cos{\theta}$ の499次以下の多項式 $S\left(\cos{\theta}\right)$ を用いて， $\cos{500\theta}=2^{499}\cos^{500}{\theta}+S\left(\cos{\theta}\right)$ と表せる．
よって， $\cos{\theta}$ の999次以下の多項式 $T\left(\cos{\theta}\right)$ を用いれば， $\cos^2{\left(500\theta\right)}=2^{998}\cos^{1000}{\theta}+T\left(\cos{\theta}\right)$ と表せる．
$\therefore{10}^{1000}\cos^2{\left(500\theta\right)}={10}^{1000}\cdot2^{998}\cos^{1000}{\theta}+{10}^{1000}T\left(\cos{\theta}\right)$
ここで， ${10}^{1000}\cos^{999}{\theta}={10}^{1000}\left(\frac{1}{10}\right)^{999}=10$ であるから， $\cos{\theta}$ の高々999次の多項式である $T\left(\cos{\theta}\right)$ に ${10}^{1000}$ をかけた ${10}^{1000}T\left(\cos{\theta}\right)$ は一の位の数に寄与しない．
よって， ${10}^{1000}\cos^2{\left(500\theta\right)}$ の一の位の数は ${10}^{1000}\cdot2^{998}\cos^{1000}{\theta}={10}^{1000}\cdot2^{998}\left(\frac{1}{10}\right)^{1000}=2^{998}$ と等しくなる．