2018年慶応義塾大学環境情報数学|過去問徹底研究大問5

方針の立て方

(1)
まずは三角形を作図する．その後は内接円の半径を求める問題であるため，面積についての等式を立てる方針で考える．そのため，三角形の面積を求めることになるが，その過程で直角三角形であることに気付くと，中心の座標を求めやすい．

(2)
前問とほとんど同じ解法であり，特筆事項なし．

解答例

(85)(86)…… $03$
(87)(88)…… $-1$
(89)(90)…… $05$
(91)(92)…… $10$
(93)(94)…… $-1$
(95)(96)…… $02$
(97)(98)…… $-1$
(99)(100)…… $02$
(101)(102)…… $02$
(103)(104)…… $05$
(105)(106)…… $25$
(107)(108)(109)(110)…… $\frac{03}{05}$

解説

(1)
三角形の頂点は， $\left(0,-1\right),\left(2\sqrt2,2\sqrt2-1\right),\left(\sqrt2,3\sqrt2-1\right)$ である．よって，長さは， $2,2,2\sqrt5$ となり， $4^2+2^2=\left(2\sqrt5\right)^2$ が成り立つため，この三角形は長さ $2\sqrt5$ の辺を斜辺とする直角三角形である．

求める内接円の半径を $r$ とすると，三角形の面積について等式が立てられて，
$\frac{1}{2}r\left(4+2+2\sqrt5\right)=\frac{1}{2}\cdot4\cdot2\Leftrightarrow r=3-\sqrt5$ ……(答)
次に中心を求める．ベクトルを利用する．
$\left(\sqrt2,3\sqrt2-1\right)-\left(2\sqrt2,2\sqrt2-1\right)=\left(-\sqrt2,\sqrt2\right)$
$\left|\left(-\sqrt2,\sqrt2\right)\right|=2$
$\left(0,-1\right)-\left(2\sqrt2,2\sqrt2-1\right)=\left(-2\sqrt2,-2\sqrt2\right)$
$\left|\left(-2\sqrt2,-2\sqrt2\right)\right|=4$
より，
$\left(2\sqrt2,2\sqrt2-1\right)+\left(3-\sqrt5\right)\cdot\frac{\left(-\sqrt2,\sqrt2\right)}{2}+\left(3-\sqrt5\right)\cdot\frac{\left(-2\sqrt2,-2\sqrt2\right)}{4}=\left(\sqrt{10}-\sqrt2,2\sqrt2-1\right)$ ……(答)

(2)
$\triangle\mathrm{OAB}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot3=3$ より，体積は， $\frac{1}{3}\cdot3\cdot5=5$ ……(答)
次に表面積を求める．
$\triangle\mathrm{OAB}=3$ ， $\triangle\mathrm{OAC}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot5=5，\triangle\mathrm{OBC}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot5=\frac{15}{2}，\triangle\mathrm{CAB}=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{\mathrm{CA}}\right|^2\left|\vec{\mathrm{CB}}\right|^2-\left(\vec{\mathrm{CA}}\cdot\vec{\mathrm{CB}}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{29\cdot34-{25}^2}=\frac{19}{2}$ より，
$3+5+\frac{15}{2}+\frac{19}{2}=25$ ……(答)
求める内接球の半径を $r$ とすると，四面体の体積についての等式が立てられて，
$\frac{1}{3}\cdot r\cdot25=5\Leftrightarrow r=\frac{3}{5}$ ……(答)