注意！
早稲田大学政治経済学部 早稲田大学政治経済部の数学は全分野からまんべんなく出題されています。出題形式も空所補充、記述式など様々です。
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全体概観：配点７０ 点
教科書レベルの基礎知識は必ず身につけておきましょう。
出題概要 数学I、II、A、Bにすべての範囲からまんべんなく出題されます。数列、ベクトル、整数問題、確率が頻出問題にとなっています。
対策1：証明問題の対策はどうすればよいのか？ まずは教科書に載っているような公式の証明などをやってみましょう。証明問題の答案作成は時間をかけなければ身につきません。
対策2：応用問題はどう対策すればいいのか？ まず応用問題を解くにしても基本が大切です。そのため教科書の節末、章末問題は理解した上で解く必要があります。標準的な問題をたくさん解いて解法に慣れましょう。いわゆる応用問題もほとんどの場合、基本的な知識の組み合わせでしかありません。また応用問題と言っても必ずしも合否に関わるとは限りません。
対策３：時間内に解ききるにはどう対策すればいいのか？ ６０分という時間に割りに問題が多いので、①解答のまとめ方や、②計算力の向上が求められます。
また試験が始まったら、全体を俯瞰し、解ける問題から確実にとっていきましょう。１つ完答すると安心しますし、自分のペースがつかめると思うのでまずは１完を目指しましょう。本番はいつも通りの力を発揮できるように焦らず、問題文をよく読んで落ち着いて挑みましょう。
実際の問題を見てみましょう！
▶2014年大問３（１）、（２）
（１)は教科書の例題として載っているレベルの問題です。そのためここは絶対に落とせません。
(２)(i)も基本的な問題ですが、ここでは計算が楽になる方法を紹介します
（解）与えられている放物線
そして、以下のような式を立てます。（この考え方を束と言います。普段は円で使うことが多いですがこの場合も適用できます。）
束の考え方よりこの図形は
今回、直線が通るということより
（今回考えるのは直線なので、x の二次の係数が０になるようにk を選びます。）
この結果を(1)に代入すると、
∴
∴
∴
∴
∴
今回の問題は（２）は答えのみなのですが、記述の練習も兼ねて答案作成してみましょう。書いてみたら、ぜひ先生に添削してもらいましょう。
▶2016年 大問4
(2)(ⅱ)が最大の山場で、1つ飛ばしの
解
(1)長方形の内角は90°で、対角線ACは中心Oを通るので、長方形ABCDの面積をTとして、T=2(
0<x<
(2)(ⅰ)
∴
(ⅱ)(ⅰ)より、
・n=2m+1のとき(m≧1)
①より
∴nが奇数のとき、n角形
(ⅲ)・n=2m(m≧2)のとき、①より
であるから
右図の斜線部の面積を
(ⅳ)正n角形の内角の和は(n-2)πであるから、nα=(n-2)π⇄
②より、αはnの関数でθは含まないので、cos(2θ-α)のとりうる最大値を考えれば十分。
0<2θ<πより-α<2θ<π-α
よって、cos(2θ-α)は2θ-α=0⇄
[解説]
A
(1)は問題ないでしょう。
(2)のn角形は少し珍しかったかもしれません。多くの人は、正n角形が円に内接する問題に出会ったことがあると思いますが、本問は正多角形とは限りません。もしかしたら、正n角形として議論してしまった人もいるかもしれないので、まず定義を確認します。
定義：全ての辺の長さが等しい(イ)かつ全ての内角の大きさが等しい(ロ)とき、その多角形を正多角形という。
本問は、(ロ)のみ与えられていたので、正n角形とは限らないということですね。
では(ロ)のみならどのような反例が存在するのか考えてみると右図のような1つ飛ばしで合同な図形が挙げられます。このとき、
では逆に(イ)のみならどうなるでしょうか？
右図のようにハチャメチャなものもありえてしまいますね？
以上の考察から(イ)(ロ)が正n角形の必要十分条件であることがわかります。
B
(ⅱ)で導いた
まず、
次に、
∴帰納的に
C
さて、Bから相似な三角形が1つ飛ばしに並んでいくことが分かりました。
(Ⅰ)nが奇数のとき、
このとき、
(Ⅱ)nが奇数のとき
D
和積について少し述べておきます。
加法定理より、
（ハ）＋（二）より、
これは、x,yを別々に含んだ関数の和と積に、積を和にすることができるので、大変重宝します。本問では、
今回は、
を連立して解くことで、
が求まります。
和積の公式は他にもありますが、加法定理からいずれも導くことができます。一度は自分の手で導いてみましょう。
E
さて、結局答えが
（正n角形）となりましたが、これは前もって予想することができます。（１）のとき、n=4を借りてかんがえてみます。
（
いま、
これを答案にしても最後の（ⅵ）は埋まります。このような予想ができるので（２）は（ⅱ）（ⅲ）が解けなくても、（ⅳ）が穴埋めなので、（ⅳ）は得点できます。こうやって答えを予想できることも多々あるので、普段から多角的に考えるようにしましょう。
［総括］
2016年度のセットの中で一番難しい問題を扱ったが、難易度は標準＋αくらいだろう。（１）、（２）（ⅰ）くらいは最低限確保したい。論証も特にやっかいなところはないので、心配しなくともよい。
自分だけで学習するのは大変ですので、指導者に相談することをお勧めします。カウンセリングはこちらからどうぞ！
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を以下のように変形します。
である。
に気付けるかどうかが肝心です。計算はそこまで重くないので、丁寧に考えていきましょう。
・AB・BC)=2(
⇄0<2x<πより2x=
で最大値2をとる。…(イ)(ウ)
=1より△
は二等辺三角形である。よって∠
であるから
)=π-2
…(答)
で、
と同様に、
=
…(答)
…(答)![a_k+a_{k+1}=a_{k+1}+a_{k+2}<a href="=2(π-α)">/latex</a>⇄[latex]a_k=a_{k+2}](https://hiroacademia.jpn.com/wp/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-603f4c82d9e0f3fbc6251f6082c918ec_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
…①である。
から、
であるからすべての円弧が等しい。
が正n角形になることが示された。(q.e.d)
⇄
が成り立つことが示された。(q.e.d)
とすると、
とかけ、
は
倍であるから、
…(答)
…②
のとき、最大となり、その最大値は
となり、条件を満たします。
となるように円周上に点
を決めます。[ステップ1]
となるように円周上に点
を定めます。[ステップ2]
になるように
を定めたいのですが、そうするには、0<α<πより、
しかありえません。[ステップ3]
となることが分かります。こうやって、順々に考えていくと、①の結果にも納得がいきますし、この発想をしっかりと厳密に記述すれば答案としても成り立ちます。
と定めていくと、△
は
となります。
ですから、
で、
となり、正n角形となるしかないことが分かります。
となるので正n角形に限らないことも分かりますね。
と変形しましたが、和積公式を用いました。
・・・（ハ）
・・・（二）
・・・（＊）です。
、
と変数
を別々に含んでいるため、最大値の
において、
を固定して
の位置を考えればよいので、
が円の半径になるn=4で簡単に考える。）
を図のように固定して、
を底辺、
から
に降ろした垂線の長さを（h）とすると、
が定数なので、hが最大になるのは 
の中心になるときです。
3.0