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【物理】これで苦手克服！　単振動(その１)

2017.02.15

〇単振動とは？ 単振動は受験生が苦手とする人が多いですがコツさえつかめたら、むしろ簡単な部類に入ります。　 そのため、単振動とは単純な振動のことだという人もいるぐらいです。 皆さんもこれを機に単純な振動と思えるように頑張っていきましょう。 単振動で重要なことは復元力が働いているということです。 たと

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  • 〇単振動とは？

    単振動は受験生が苦手とする人が多いですがコツさえつかめたら、むしろ簡単な部類に入ります。　
    そのため、単振動とは単純な振動のことだという人もいるぐらいです。

    皆さんもこれを機に単純な振動と思えるように頑張っていきましょう。

    [toc]

    単振動で重要なことは復元力が働いているということです。

    たとえばばねが伸びようとすると縮もうとし、ばねが縮むと伸びようとします。
    これが復元力です。

    ところで伸びると縮むという逆の現象が起きています。
    つまり位置に関する情報と力の向きの情報が逆の関係になっています。

    これは数学的にはマイナスでつながる関係で書けることが定性的に考えられます。

    よってこれを数式で書くと（F：力、x：位置、）

    F = -Kx

    逆にこの式で書けるものは単振動を表すということがわかります。

    ばねの運動の場合も確かにこうなっていますね.。

    つぎに単振動の動きを実際に考えてみましょう。数式での定式化は次でやることにして、ここではイメージのみ考えてみます。

    まず振幅Aの単振動している物体（質量m）をかんがえます。

    そして、自然長の時の位置を座標の原点に置きます。
    ここでは位置、速度と加速度を考えてみます。

    ＊自然長のときとは？　
    バネに何も負荷がかかってない状態のときのことを指します

    〇位置

    当然伸びきったもしくは縮みこんだ両端で距離は最大になります。座標的には図でいうところの右側で最大、左側で最小です。

    〇速度

    伸びきったもしくは縮みこんだ瞬間は速度はゼロになります。そして力学的エネルギー保存則を考えると原点で最大になることがわかります。（原点で考えると\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}mv^{2},原点意外で考えると

    \frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}mv^{2} +\frac{1}{2}kx^{'2} となるためです）

    〇加速度

    原点では力が働かないため加速度はゼロです。一方力と加速度は比例するため、振動の両端では加速度の大きさは最大になります。図でいうと右側で最小（力の向きと加速度の向きが同じだからです。）で左側で最小になっています。

     

    ところで、ばねの動きは理想的な場合一度振動させたらずっと運動し続けます。

    その運動は周期的な運動をし、位置と加速度は両端で大きさは最大になりますが、大小はそれぞれ左右逆になっています。
    そして周期的な運動を表すときに非常に相性がいい関数があります。それは何でしょうか？

    答えは次回に譲るとします。

【物理】跳ね返り係数とは？（跳ね返り係数その1）

2017.02.14

跳ね返り係数とは 跳ね返り係数とは、物体が衝突して跳ね返ったあとに速度が元の何倍になって逆向きに運動するようになるかを表す値です。 このように定義されます。 ２つの物体の場合においてvｂ＝０とすると上の式がでてきます。 跳ね返り係数eは0≦e≦１の値を取り、 e=1のときは（完全）弾性衝突 ０＜e＜

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  • [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]跳ね返り係数の公式覚えづらいし、よくわからない。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]しっかり理解できればすぐ覚えられるよ！[/speech_bubble]

    跳ね返り係数とは

    跳ね返り係数とは、物体が衝突して跳ね返ったあとに速度が元の何倍になって逆向きに運動するようになるかを表す値です。

    このように定義されます。

    ２つの物体の場合においてvｂ＝０とすると上の式がでてきます。

    跳ね返り係数eは0≦e≦１の値を取り、

    e=1のときは（完全）弾性衝突

    ０＜e＜１のときは非弾性衝突

    e=0のときは完全弾性衝突　と分類されます。

    また、弾性衝突のときは跳ね返たあとも速度は同じということを意味するので、力学的エネルギーは保存されます。
    これ以外の場合では衝突する際にエネルギーを失うので力学的エネルギー保存則は成り立ちません。

    完全弾性衝突の場合は跳ね返らずに止まってしまいます。

【物理】力学的エネルギー保存則(仕事・エネルギーその3)

2017.02.11

力学的エネルギー保存則とは （運動エネルギー）＋（重力による位置エネルギー）＋（弾性エネルギー）＝（一定） という式で表される法則で、力学的エネルギーの総和は保存されるということを表しています。 例えば、高さｈから物体が自由落下したとします。 このとき、落下前の位置エネルギーはmgh、地面に到達した

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  • [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]力学的エネルギー保存則ってとても便利な法則だね。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]最初のエネルギーからその後の物体の速さとか求められるようになるしね！[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]そうそう！けど、成り立たない場合もあるらしいから注意しなきゃ。[/speech_bubble]

    力学的エネルギー保存則とは

    （運動エネルギー）＋（重力による位置エネルギー）＋（弾性エネルギー）＝（一定）

    という式で表される法則で、力学的エネルギーの総和は保存されるということを表しています。

    例えば、高さｈから物体が自由落下したとします。

    このとき、落下前の位置エネルギーはmgh、地面に到達したときの運動エネルギーは\frac{1}{2}mv^{2} となり、位置エネルギーが運動エネルギーへと変化します。

    力学的エネルギー保存則より、mgh＝\frac{1}{2}mv^{2} となり、ここから速さvを求めることが可能になります。

    しかし、摩擦力や、手で力を加えるなどの外力が働いたときにはこの法則は成り立たないので注意しましょう。

    摩擦力などの抵抗力が働くと、エネルギーは熱となって外へでていってしまいます。

    これは非常に多くの問題で使用する法則なのでしっかりと覚えましょう。

【物理】運動量保存則と具体例(運動量・力積その3)

2017.01.14

衝突前の速度から、衝突後の速度を求める問題は、運動量保存則というものを使って解くことができます。これは、「作用・反作用の力のみがはたらく物体の運動量の和は一定である」という法則です。まずは式でこの法則を導いてみましょう。 運動量保存則の導き方 質量がそれぞれの物体1,2が、それぞれ速度 (図右向きを

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  • [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]物体が衝突した後の速度って、どうしたら求められるんだろう。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]物体にはたらいた力が分からないから、よくわからないね。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]衝突した時間が分からないから、力積もわからないよね。[/speech_bubble]

    衝突前の速度から、衝突後の速度を求める問題は、運動量保存則というものを使って解くことができます。これは、「作用・反作用の力のみがはたらく物体の運動量の和は一定である」という法則です。まずは式でこの法則を導いてみましょう。

    運動量保存則の導き方

    質量がそれぞれm_{1},m_{2}の物体1,2が、それぞれ速度 v_{1},v_{2} (図右向きを正とする)で運動しているとします。この物体が衝突した後、それぞれの速度がv'_{1},v'_{2}になったとします。

    物体1,2のみを考えると、この2つの物体には衝突後の作用・反作用の力のみはたらいています。
    図は右向きが正となっているので、物体1にはたらく力を-F、物体2にはたらく力をFとします。

    また、衝突してから離れるまでにかかった時間をtとします。
    物体にはたらく力、および力がはたらく時間をおいたので、運動量と力積の式を立ててみます。物体1、2それぞれについての運動量と力積の式は

    -Ft=m_{1}v'_{1}-m_{1}v_{1}

    Ft=m_{2}v'_{2}-m_{2}v_{2}

    のようになります。この2式の辺々を足し合わせて整理すると

    m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v'_{1}+m_{2}v'_{2}

    のような等式が得られます。この式こそ、作用・反作用のみがはたらく物体の運動量の和が一定である、という運動量保存則の式なのです。

    この式は、力学的エネルギー保存則と似ていますが、適用できる条件が異なります。

    力学的エネルギー保存則は「摩擦や空気抵抗などで失われるエネルギーがない場合」、運動量保存則は「作用・反作用のみがはたらく場合」に適用できます。

    例えば「重力に引かれて落下する物体」を考えると、空気抵抗を考慮しない場合は位置エネルギーが運動エネルギーに変化しているので力学的エネルギー保存則は成り立ちます。

    ですが、作用・反作用以外の力がはたらいている(物体が地球を引く力は考慮していないため)ので、運動量保存則は成り立ちません。

    また、少し先の単元になりますが、「2つの物体が非弾性衝突した場合」を考えると、エネルギーが失われてしまうため力学的エネルギー保存則は成り立ちません。
    ですが、作用・反作用の力のみがはたらいているため運動量保存則は成り立ちます。

    衝突後の物体の速度を求める

    速度4.0m/sで運動する質量3.0kgの小球Xと、速度-2.0m/sで運動する質量2.0kgの小球Yが衝突しました。
    衝突後、小球Yの速度は2.5m/sでした。このとき、衝突後の小球Xの速度vを求めよ。

    物体同士の衝突では、作用･反作用の力のみがはたらきますので、運動量保存則を適用することができます。

    運動量保存則の式を立ててみましょう。

    3.0×4.0+(-2.0)×2.0=3.0×v+2.5×2.0

    この式を整理すると、速度v=1.0m/sとなります。

【物理】みんな困る！　等速円運動ってどう理解する（円運動その１）

2017.01.13

等速円運動は、イメージがしづらいためか苦手な人の多い分野です。ですがひとつづつ理解していけば、必ずできるようになるので、一つずつ内容を理解して下さい。 等速円運動の特徴とは？ 等速円運動の特徴としては ①物体が円軌道をえがく ②中心力が働き、加速度は円軌道の中心に働く です。まず①から見ていきましょ

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  • 等速円運動は、イメージがしづらいためか苦手な人の多い分野です。ですがひとつづつ理解していけば、必ずできるようになるので、一つずつ内容を理解して下さい。 [toc]

    等速円運動の特徴とは？

    等速円運動の特徴としては

    ①物体が円軌道をえがく

    ②中心力が働き、加速度は円軌道の中心に働く

    です。まず①から見ていきましょう。

    この運動の特徴としてまず“等速“とあるので”速さ”は同じですが“速度”は時々刻々と変化します。
    そして速度は円の接線方向を向きます。

    これはハンマー投げを想像するとなんとなくわかるのではないでしょうか？

    詳細な証明はこの段階では理解が難しいので省きます。まずはイメージしましょう。

    図1を見てください。

     

    図１

    速度が違うのは物体の速さが同じでも向きが違うためです。
    ここで力学の関係から以下のことがわかります。

    速度変化がある→加速度が生じている→力が働いている

    では、この力はどこに働いているのかを二通りで説明します

    (i)まず力の向きは円軌道の中心に働いています。
    これもハンマー投げで考えてみましょう。
    体を回転させると手とハンマーが糸の張力によってピーンと張ります。
    この張力ここでの力です。
    そして物体に働く力と加速度の方向は同じ方向を向くということから加速度も中心に働くことがわかります。

    (ii)速度変化を調べることからもわかります。図2を見てください。


    図２

    速度が時間秒後にに変化したとします。加速度は

    \vec{a} = \frac{\vec{v^{'}}- \vec{v} }{ \Delta t }

    となります。これは図２の赤い矢印に対応しています。
    このΔtを小さくしていく（図2の右側の図の青い点線の矢印に対応）と赤い矢印がどんどん水平になっていくことがわかります。

    加速度はΔt→0を考えることなので、加速度は円の中心に働くことがわかります。
    よって加速度の向きと力の方向は一緒なので、円軌道の中心に働くことがわかります。

    以上②を(i),(ii)と二通りの説明をしました。

    (i)は直感的な説明なのでまず物理の苦手な人はこのことから理解できたらと思います。

    最終的にはどちらでも理解できるようになりましょう。

【英語】無生物主語とは？使い方から上手な訳し方まで大紹介！

2017.01.13

無生物主語は生物じゃないものが主語になっているだけ。 このように考えてはいませんか？ 無生物主語は日本語にはない文法のためしっかりと理解する必要があります。 また訳し方もコツがいる少し難しいものです。 今回は無生物主語を使いこなせるようになって、ネイティブのような英語を使えるようになりましょう。 ペ

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  • 無生物主語は生物じゃないものが主語になっているだけ。

    このように考えてはいませんか？

    無生物主語は日本語にはない文法のためしっかりと理解する必要があります。

    また訳し方もコツがいる少し難しいものです。

    今回は無生物主語を使いこなせるようになって、ネイティブのような英語を使えるようになりましょう。

    [toc]

    無生物主語とは？

    無生物主語とは、その名の通り生物ではないものが主語となっているものです。

    無生物主語となる対象は天気やイベント、時間などなど。

    つまり無生物主語とは

    人間や動物以外のものと覚えましょう。

    例を見ると理解を深めることができるので、早速例を見ていきましょう。

    無生物主語を使った例文

    The weather is good. 良い天気です。

    主語はThe weather=天気ですね。

    もちろん生物ではないので、これは無生物主語です。

     

    This street will take you to the station.この道を行けば駅に着きます。

    主語はThis street。

    これもまた生き物ではないので無生物主語です。

    これは直訳すると「この道があなたを駅まで連れていきます」となってかなり不自然ですよね。

    無生物主語を訳すときにはちょっとしたコツがあります。

    もしも直訳すると減点対象になるので、後ほど紹介するコツをマスターしましょう。

     

    最後にもう1文だけ無生物主語の例文を見てみましょう。

    The good idea came to my mind.いい考えが思いついた。

    主語はThe good ideaです。

    「考え」は生きていないので無生物主語。

     

    この3文を見て気づいたことはありますか？

    無生物主語＋be動詞＋形容詞となれば、直訳しても不自然な日本語になりません。

    しかし、無生物主語＋動詞＋目的語となれば訳し方に注意が必要です。

     

    無生物主語とセットで使われやすい動詞

    実は無生物主語と共に使われやすい動詞というものがあります。

    それらの動詞を覚えることは無生物主語を攻略する大きな手助けとなります。

    では早速見ていきましょう。

    ・Remind 思い出させる

    remind A of Bで「AにBを思い出させる」という意味で有名ですよね。

    これは無生物を主語に迎えることが多い動詞です。

    The movie reminded me of my bittersweet first-love.その映画は私に甘酸っぱい初恋を思い出させた。

    主語には無生物のThe movieが使われていますよね。

    ・Make　～にする

    「作る」という意味で有名のmakeですが、「～にする」という意味も超重要。

    「～にする」という意味で使われると主語には無生物が使われることが多いです。

    Her smile makes me happy.　彼女の笑顔は私を幸せにした。

    主語は息をしないHer smileです。

    ・Keep・Prevent　～させない

    Keep / Prevent A from ~ingの形で頻出ですよね。

    意味は「Aに～させない」です。

    The worry keep/prevent him from sleeping. 心配事が彼を眠らせない

    他には・・・

    BringやTake、Causeなどあります。

    無生物主語とセットで使われる動詞は数が多すぎるので、全て覚えようとする必要はありません。

    無生物主語を理解する大きなポイントは、たくさん英文を読んで慣れることです。

    下記を読む前に名詞構文について書いた下記記事を参照下さい。

    参照: 名詞構文とは？学校では教えてくれない理解するときに役立つコツを大紹介！

    名詞構文と合わせてかんがえてみよう！

    名詞構文を訳す際の大きなコツは、

    脇役こそ主役ということです。

    このコツを深く掘っていきましょう。

    先ほど見たように無生物を主語とする動詞というものがありました。

    これらの動詞は他動詞と言われるもので、後ろに目的語を必要とする動詞です。

    例えば先ほども紹介したmake。

    Her smile makes me happy.

    主語はher smileで他動詞makeの後ろにはmeという目的語がありますよね。

    この文での主役＝主語は無生物のher smile、脇役は目的語のmeです。

    ではこの文を直訳してみましょう。

    「彼女の笑顔は私を幸せにした。」

    不自然ですよね？

    では先ほど紹介したコツに従って、脇役である目的語を主役にしてみるとどうでしょうか？

    「私は彼女の笑顔を見ると幸せな気持ちになった」

    こっちの方がずっと自然ですよね！

     

    続けてすでに紹介した例文を見て練習しましょう。

    The movie reminded me of my bittersweet first-love.

    脇役である目的語はmeですね。

    ではmeを主役に変えて訳してみましょう。

    「私はこの映画を見ると初恋を思い出した」

    いい感じですよね。

     

    では次はどうでしょうか。

    The worry keep/prevent him from sleeping.

    脇役であるhimを訳すときは主役にすると次のように訳せます。

    「彼は悩みごとのせいで眠れない」

    簡単ですよね？

     

    無生物主語の厄介なポイントは後ろに動詞が来た時だけです。
    でも動詞が来ても目的語を主役にして訳すと驚くほど自然になります。

    今回のコツを心がけて、たくさんの英文を読んでみてください。

    すると自然に無生物主語を完璧に理解できているはずです。

     

【英語】名詞の格とは何か？主格・目的格・所有格の使い分けをマスター！

2017.01.10

名詞の使い分けが難しい。 主格、目的格、所有格とか難しい言葉で言われても混乱しちゃう。 このように思っている方は少なくはありません。 しかし名詞の格を理解することは基本中の基本です。 今回は誰でもわかるように簡単に説明しますので、格の使い分けをマスターしましょう！ 名詞の格って何？ 名詞の格とは文中

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  • 名詞の使い分けが難しい。

    主格、目的格、所有格とか難しい言葉で言われても混乱しちゃう。

    このように思っている方は少なくはありません。

    しかし名詞の格を理解することは基本中の基本です。

    今回は誰でもわかるように簡単に説明しますので、格の使い分けをマスターしましょう！

    [toc]

    名詞の格って何？

    名詞の格とは文中で名詞がどのような働きをしているかによって決まります。

    文中で名詞は主人公の役割をしている？

    文中で名詞は何かの持ち物を表している？

    文中で名詞は他の単語から何か貰っている？

    名詞はatやin等の前置詞の後ろに来ている？

    これらの質問に答えることができると名詞の格をマスターしたと言っても過言ではありません。

     

    名詞の格は主格、所有格、目的格の3つに分けることができます。

    今回はこの3つの格を使い分けることができるようになりましょう。

    基本的に名詞は形が変わらない

    動詞は時制によって形が変わりますよね。

    例えば

    walk – walking – walked…

    talk – talking – talked…

    しかし名詞は基本的には形が変わるということはありません。

    例外は1つだけ。

    持ち物を表す所有格だけは名詞の後ろに’sがつきます。

    例えば

    Depp’s song is popular.　デップの歌は人気です。

    Depp’sと後ろに「‘ｓ」がついていますね。

    文の主人公となる主格

    主格とは簡単に言えば、

    文章の主人公のことです。

     

    まずは日本語で確認してみましょう。

    「ジョンはたくさん歌を歌います」

    この文章中での主人公＝主格は何でしょうか？

    「ジョン」ですよね。

     

    ではこの文を英語にしてみましょう。

    John sings many songs.

    主人公は「John」ですね。

    つまり主格は「John」です。

     

    もう1つ例を見てみましょう。

     

    Depp is a comedian. デップは芸人です

    この文の主人公は「Depp」ですよね。

    文中には「comedian」という名詞もあって迷いますが、「comedian」は「Depp」の職業を表していて主人公ではありません。

    このように主格の後ろにbe動詞+職業・名前などの主格を表現する名詞が来ると主格＝名詞となります。

    目的格

    目的格とは、「～を」、「～に」などの「～」の部分です。

    目的格を見つけるのは少し難しいかもしれませんが、慣れれば簡単です。

     

    Show him the book now. 彼に本を見せて

    目的格に当たるのはどれでしょうか？

    「彼に」に当たる「him」ですね。

     

    My sister bought the book. 妹は本を買った

    目的格は「book」です。

    コツを掴めば簡単ですよね。

     

    目的格を見分けるコツの１つは、

    動詞を見て「何を？」、「誰に？」と尋ねることです。

     

    My dad gave me the book. お父さんがボクに本をくれた。

    まずは動詞を見ましょう。

    動詞は「~を与える」という意味の「give」。

    では「何を・誰に与えた」のでしょうか？

    簡単ですね、「本」を「ボク」に与えたのです。

    この例文のように文中に目的格が2つくることがあります。

    「与えられる本」は直接目的語、本の受取人である「ボク」は間接目的語と言います。

     

    ここでまた1つコツを学びましょう。

    文中に目的格が2つある場合は「宅配便の関係」が成り立つということです。

     

    どういうことかというと、文の主人公である主格が「何か＝直接目的語」を「誰か＝間接目的語」に送っているのです。

    送り主は主格、送りものは直接目的語、受取人は間接目的語ですね。

     

    Mike threw his father the ball. マイクは父親にボールを投げた。

    宅配便の関係で格を見分けていきますよ。

    文の主人公である送り主はMikeです。

    Mikeは何を送ったのでしょうか？

    送りものである直接目的語はthe ball。

    the ballの受取人である間接目的語はhis fatherです。

     

    最後に覚えておきたい目的格のルールは、

    前置詞の後ろに来る名詞は目的格だということです。

     

    She eats with me.　彼女は私と一緒に食べた。

    前置詞であるwithの後ろに来ているmeが目的格です。

     

    すでに紹介したMy dad gave me the book.という例文は次のように書くことができます。

    My dad gave the book to me.　お父さんが本をくれた

    前置詞toの後ろに来ているmeが目的格ですね。

    所有格

    所有格とは「私の」や「あなたの」の「の」のことです。つまり人やモノの持ち物を表現するものです。

    英語ではアポストロフフィとsがついた「’ｓ」で示されます。

    もちろんそれだけではなくyour、my、his、her、their、そしてitsの代名詞も所有格です。

     

    Hanako’s cellphone is red. ハナコの携帯電話は赤いです。

    Hanako’sと所有格の形になっていますよね。

     

    最後にもう1つだけ例題を見ましょう。

    Taro’s shoes are white.　タロウの靴は白いです。

    所有格はTaro’sですね。

    名詞の格の表を覚えよう！

    上記のことを頭のなかに入れた上で、以下格の表を覚えましょう。何度も何度も口ずさむことで覚えることができます。最初のうちは大変ですが、、、頑張って覚えましょう。

【物理】エネルギー(仕事・エネルギーその2)

2017.01.07

エネルギーとは エネルギーとは、どれだけ仕事をできるかを表しています。 その単位は仕事と同じくJ（ジュール）です。 エネルギーは大きく、運動エネルギーと位置エネルギーに分類されます。 さらに位置エネルギーはバネによる弾性エネルギー、物体の高さによる重力による位置エネルギーなどに分けられます。 運動エ

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  • [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]仕事はわかったけど、エネルギーとどう違うの？単位も同じだし違いがわからない。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]エネルギーはどれだけ仕事をできるか、だから似たようで違うものだね。つまり仕事をするということは相手にエネルギーを与えることだよ。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]なるほど！[/speech_bubble]

    エネルギーとは

    エネルギーとは、どれだけ仕事をできるかを表しています。
    その単位は仕事と同じくJ（ジュール）です。

    エネルギーは大きく、運動エネルギーと位置エネルギーに分類されます。

    さらに位置エネルギーはバネによる弾性エネルギー、物体の高さによる重力による位置エネルギーなどに分けられます。

    運動エネルギー

    まず、運動エネルギーとは運動している物体がもつエネルギーのことで、

    質量m、速さv、で運動している物体の運動エネルギーは

    \frac{1}{2}mv^{2}

    で表されます。

    重力による位置エネルギー

    これは高さによるエネルギーです。高さｈにある質量ｍの物体のエネルギーはｍｇｈで表されます。
    ここで基準となる高さは自分で決定してよいので、わかりやすい高さを０にするようにしましょう。

    弾性エネルギー

    これはバネによるエネルギーです。

    自然長の位置を基準として、どれだけ変化したかをｘ，バネ定数をkとすると、

    \frac{1}{2}kx^{2} で表されます。

    仕事とエネルギー

    さらに、仕事とエネルギーの関係は以下の式であらわせます。

    （物体の運動エネルギーの変化）＝（物体に力がした仕事）

    例えば、速さｖで動いていた物体に力Fを加えた時、物体の速度がｖ’に変化したとします。

    このとき、動かした距離をxとすると、

    物体の運動エネルギーの変化　＝　\frac{1}{2}mv'^{2} - \frac{1}{2}mv^{2}

    物体に力がした仕事　＝　Fx　であり、

    \frac{1}{2}mv'^{2} - \frac{1}{2}mv^{2}　＝　Fx　が成り立ちます。

【物理】運動量と力積の関係の具体例(運動量・力積その2)

2017.01.07

前記事で運動量と力積の関係について示しましたが、具体例を挙げて考えてみましょう。 物体を止める力の大きさ まず例題を考えてみます。 (例題)質量30 kgの物体が右向きに速さ10 m/sで運動している。この物体に左向きに一定の力Fを6秒間加えると、物体は静止した。このとき、物体に加えた力F[N]を求

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  • 前記事で運動量と力積の関係について示しましたが、具体例を挙げて考えてみましょう。

    物体を止める力の大きさ

    まず例題を考えてみます。

    (例題)質量30 kgの物体が右向きに速さ10 m/sで運動している。この物体に左向きに一定の力Fを6秒間加えると、物体は静止した。このとき、物体に加えた力F[N]を求めよ。

    左向きの力Fを正とすると、物体が最初に運動していた向きは右向きであるので、負となります。よって、力を加える前の物体の運動量は

    30×(-10)=-300[kg・m/s]

    となります。よって、運動量と力積の関係式は

    0-(-300)=F×6

    となります。ここで、左辺は運動量の変化量、右辺は力積となります。この式より、物体にはたらいていた力FはF=50[N]となります。

    この問題では一定の力Fはどのような力か決められていませんでした。ですが、例えば動摩擦力は一定の力ですので、動摩擦力について考える場合はこの問題のように力積を用いて考えることができます。物体が止まるまでの時間が示されている時に物体にはたらいている動摩擦力を求めたり、逆に動摩擦係数が分かっている時、動摩擦力から止まるまでの時間を求めたり、といった問題を解けるようになります。

    壁で跳ね返った球

    質量m、速度v_{0}の球が壁で跳ね返り、速さが逆向きでvになったとします。このとき球が受けた力積を考えてみましょう。

    球にはたらいた力も時間も与えられていないので、直接力積を求めることはできません。
    この場合、運動量の変化を求めることで力積を間接的に求めることができます。

    球が受けた力積は、図で左向きの方向です。

    ですので、左向きを正として考えます。

    球が壁で跳ね返る前、球は右向きに運動しているので、運動量は-mv_{0}です。
    壁で跳ね返った後、球は左向きに運動しているので、運動量はmvです。よって、力積は

    mv-(-mv_{0})=m(v+v_{0})

    のように求められます。

    前の問題のように力積を先に求めることもありますが、この問題のように運動量の変化から力積を間接的に求める問題もあります。

    自由に使い分けられるようにしましょう。

【物理】運動量と力積とは？(運動量・力積その1)

2017.01.06

運動量と力積については、少しつかみどころがない分野なので、分かりにくい印象を持つ人も多いと思います。ですが、運動方程式や力学的エネルギーと同様に、物体の運動の考え方の1つですので、先にそれらを学んでおけばすんなりと頭に入ってくると思います。 例えば、2つの球が衝突するという状況を考えてみます。このと

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  • [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]運動量と力積って聞いたことあるけど、そもそも何なんだろう。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]運動量は「質量×速度」、力積は「力×時間」で表されるみたいね。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]全然違う量みたいだけど、何か関係があるのかな。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]運動量の変化を力積で表すことができるんだって。[/speech_bubble]

    運動量と力積については、少しつかみどころがない分野なので、分かりにくい印象を持つ人も多いと思います。ですが、運動方程式や力学的エネルギーと同様に、物体の運動の考え方の1つですので、先にそれらを学んでおけばすんなりと頭に入ってくると思います。

    例えば、2つの球が衝突するという状況を考えてみます。このとき、運動量と力積を使えば、物体にはたらいた力や物体の加速度を求めなくとも、衝突後の2つの球の速度を求めることができます。今まで運動方程式やエネルギーを用いて考えていた問題についても、運動量と力積の関係を使えばより簡単な式で解ける場合もあるため、重要な考え方となります。

    運動量と力積とは

    運動量は運動の激しさを表す量で、質量と速度の積で表されます。質量mの物体が速度vで動いている場合、運動量PはP=mvとなります。

    同じ速度であれば、質量が重い方が運動量が大きくなります。人間と車が同じ速度で運動している場合、車の方が運動量が大きくなります。また、同じ質量であれば、速度が大きい方が運動量が大きくなります。

    力積は、力と、その力がはたらいた時間の積で表されます。物体に力Fがt秒加わっていた場合、力積IはI=Ftとなります。

     

    運動量と力積の関係

    質量mの物体に、一定の力Fがt秒間はたらき、速度がvからv’に変化したとします。

    このとき、この物体にかかる加速度aはa=\frac{(v^{'}-v)}{t} となります。よって、物体の運動方程式は

    F=\frac{m(v^{'}-v)}{t}

    となります。

    この運動方程式を変形すると、Ft=mv’–mvという等式が得られます。この等式の左辺は力積、右辺は運動量の変化量です。つまりこの式は、「力積＝運動量の変化量」という関係を表しています。

    「運動量と力積は違う物理量なのに等式として扱っていいのか？」と思うかもしれません。ですので、運動量と力積の単位について考えてみます。運動量は質量[kg]と速度[m/s]の積ですので、単位は[kg・m/s]となります。また、力積は力[kg・m/ s^{2}]と時間[s]の積ですので、単位は[kg・m/s]となります。よって、運動量と力積の単位は同じとなるので、等式の上で扱っても大丈夫ということになります。

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