偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應経済2016

2016年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問4

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方

どれも基本問題であり,特筆事項なし.

解答例

真数条件より,0<tが必要.
(1)
2次方程式の実数解が存在しないためには,判別式が負であれば必要十分.
\therefore\left[-\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}\right]^2-1\cdot\left\{6\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}<0\Leftrightarrow\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4\right\}<0\Leftrightarrow \begin{cases} {\mathrm{log}}_2{t}\neq0 \\ \left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4<0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} t\neq1 \\ \frac{1}{4}<t<4 \end{cases}\Leftrightarrow\frac{1}{4}<t<1,1<t<4
これは真数条件を満たす.
\therefore\frac{1}{4}<t<1,1<t<4……(答)

(2)
2次方程式の実数解がただ1つ存在するためには,判別式が0であれば必要十分.
\therefore\left[-\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}\right]^2-1\cdot\left\{6\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}=0\Leftrightarrow\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4\right\}=0\Leftrightarrow{\mathrm{log}}_2{t}=0,\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{4},1,4
このもとで,2次方程式の解は,
x=f\left(t\right)=\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1
これより,f\left(t\right)の最小値はt=1で,最大値はt=\frac{1}{4},4でとる.
よって,f\left(t\right)の最小値はf\left(1\right)=1,最大値はf\left(\frac{1}{4}\right)=f\left(4\right)=5……(答)

(3)
1\leqq\log_4{t}\leqq\frac{3}{2}\Leftrightarrow2\leqq\log_2{t}\leqq3\Leftrightarrow4\leqq t\leqq8
よって,2次方程式は2つの相異なる実数解をもち,その解は,
x=\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\pm\sqrt{\left[-\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}\right]^2-1\cdot\left\{6\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}}=\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\pm\log_2{t}\sqrt{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4}
\therefore f\left(t\right)=\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1-\log_2{t}\sqrt{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4}
ここで{\mathrm{log}}_2{t}=yと置き換えると,
f\left(t\right)=y^2+1-y\sqrt{y^2-4} (2\leqq y\leqq3)
\frac{d}{dy}f\left(t\right)=2y-\frac{2y^2-4}{\sqrt{y^2-4}}
\frac{d}{dy}f\left(t\right)=0となるのは,
2y-\frac{2y^2-4}{\sqrt{y^2-4}}=0\Leftrightarrow y\sqrt{y^2-4}=y^2-2
両辺を2乗して計算すると0=4となり不適.つまり\frac{d}{dy}f\left(t\right)\neq0

y 2 \cdots 3
\frac{d}{dy}f\left(t\right) - - -
f\left(t\right) \searrow \searrow \searrow

よって,最小値はy=3のときで,3^2+1-3\sqrt{3^2-4}=10-3\sqrt5……(答)

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早慶専門個別指導塾HIRO ACADEMIA

偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。