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2018年慶応義塾大学総合政策　数学|過去問徹底研究 大問6

2019.09.08

2018年慶應義塾大学総合政策|数学過去問徹底研究 大問6 方針の立て方 (1) 解答欄の形式から，を用いてはいけないため，とについての等式を立てれば良いと分かる．この内，についての等式は，立てるまでもなく(座標)であるため，本解では省略した． (2) 特筆事項なし． (3) 実際にぐらいまで考えて

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  • 2018年慶應義塾大学総合政策|数学過去問徹底研究 大問6

    方針の立て方

    (1)
    解答欄の形式から，p_iを用いてはいけないため，s_iとr_iについての等式を立てれば良いと分かる．この内，r_iについての等式は，立てるまでもなく(y座標)=r_iであるため，本解では省略した．

    (2)
    特筆事項なし．

    (3)
    実際に\left(r_4,s_4,p_4\right)ぐらいまで考えてみれば，解答が予測できる上に，何故そうなるのかの理由も分かる．

    (4)
    前問同様，最初の数回を具体的に考えれば解法を得られる．前問の試行で得られた知見を用いれば，比較的簡単に，期待値の評価ができる．

    解答例
    (63)(64)……01
    (65)(66)……02
    (67)(68)……01
    (69)(70)……00
    (71)(72)……06
    (73)(74)……02
    (75)(76)……06
    (77)(78)……06
    (79)(80)……12

    解説

    (1)
    y座標はr_iである．x座標をXとする．点と直線の距離の公式より，直線PR(y=\sqrt3x)と点J_iとの距離について，
    s_i=\frac{\left|r_i-\sqrt3X\right|}{2}
    となる．点J_iは，直線PRよりも下側にあるため，r_i-\sqrt3X\leqq0である．
    \therefore s_i=\frac{\sqrt3X-r_i}{2}\Leftrightarrow X=\frac{r_i+2s_i}{\sqrt3}
    \therefore\left(\frac{r_i+2s_i}{\sqrt3},r_i\right)……(答)

    (2)
    \left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(2,2,2\right)となる．
    \therefore\left(\frac{6}{\sqrt3},2\right)……(答)

    (3)
    \left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(4,2,0\right)となる．
    第３ラウンド以降は\left(r_i,s_i,p_i\right)は\left(4,2,0\right)か\left(6,0,0\right)のどちらかとなる．
    \left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(4,2,0\right)となる確率について考えると，第３ラウンド以降の14回の対戦全てが「R対Rが２組，S対Sが１組」という当たり方をせねばならない．これが起こる確率は，\left(\frac{1}{5}\right)^{14}である．よって，\left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(6,0,0\right)となる確率は1-\left(\frac{1}{5}\right)^{14}となり，明らかに，\left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(6,0,0\right)となる確率の方が大きい．
    よって，求める座標は\left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(6,0,0\right)から求められる点で，\left(\frac{6}{\sqrt3},6\right)……(答)

    (4)
    第１ラウンドが，
    (ⅰ)R対P，R対S，R対Sの場合(場合の数は6通り)
    →\left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(4,0,2\right)→E\left(P\right)>E\left(R\right)>E\left(S\right)となる．
    (ⅱ)R対P，R対R，S対Sの場合(場合の数は3通り)
    →\left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(2,2,2\right)→E\left(P\right)=E\left(R\right)=E\left(S\right)となる．
    (ⅲ)S対P，R対R，R対Sの場合(場合の数は6通り)
    →\left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(4,2,0\right)→E\left(R\right)>E\left(S\right)>E\left(P\right)となる．
    よって，E\left(R\right)>E\left(P\right)>E\left(S\right)となる．
    \therefore(12)……(答)

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    大問1

    大問2

    大問3

    大問4

    大問5

     

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2018年早稲田大学理工数学|過去問徹底研究 大問5

2019.09.06

早稲田大学理工過去問徹底研究　2018年 大問5 方針の立て方 (1)と(2)は実際に簡単な図を描くことで解答を得る． (3)前問(1)と(2)で見た通り頂点の選び方で共通部分が変わる．頂点の選び方は70通りあるが，回転での対称性を考慮すれば，考えるべきパターン数はもっと減るのではと考え，一先ず虱潰

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  • 早稲田大学理工過去問徹底研究　2018年 大問5

    方針の立て方

    (1)と(2)は実際に簡単な図を描くことで解答を得る．
    (3)前問(1)と(2)で見た通り頂点の選び方で共通部分が変わる．頂点の選び方は70通りあるが，回転での対称性を考慮すれば，考えるべきパターン数はもっと減るのではと考え，一先ず虱潰しで考えてみる．すると実際，考えるべきパターン数は多くならないため，数え上げる．

    解答例

    (1)
    立方体の各面の中心を頂点とする立体となる．
    よって，正八面体……(答)

    (2)
    \mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{7}と\mathrm{A}_\mathrm{4}\mathrm{A}_\mathrm{6}が立方体の中心で交わるのみ．
    よって，点……(答)

    (3)
    ４点の頂点の選び方は，全部で_{8}\mathrm{C}_{4}=70通り．
    以下では，１つの面に着目(図では面\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}\mathrm{A}_\mathrm{3}\mathrm{A}_\mathrm{4})し，その面から何個の頂点が選ばれているかで場合分けする．選ばれた頂点を●で表すことにする．
    (ⅰ)４個の場合

    上図のような場合，共通部分はない．
    ４つの●が集合する面の選び方を考えれば，回転して左図のパターンになるものは全部で６通りあることが分かる．
    (ⅱ)３点の場合
    (ⅱ―ⅰ)

    上図のような場合，共通部分はない．
    上図の\mathrm{A}_\mathrm{2}のように，隣り合うすべての頂点が選ばれている点の配置を考えれば，回転して上図のパターンになるものは全部で８通りあることが分かる．
    (ⅱ―ⅱ)

    上図のような場合，共通部分は１点となる．
    上図の\mathrm{A}_\mathrm{2}\mathrm{A}_\mathrm{3}or\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}のような線分の配置を考えれば，回転して上図のどちらかのパターンになるものは全部で24通りあることが分かる．
    (ⅱ―ⅲ)

    上図のような場合，共通部分は立体図形となる．
    上図の\mathrm{A}_\mathrm{8}のように，隣り合うすべての頂点が選ばれていない点の配置は８通りあり，３点が集合する面がどの配置にあるかで３通りあるため，回転して上図のパターンになるものは全部で24通りあることが分かる．
    (ⅲ)２点の場合
    (ⅲ―ⅰ)

    上図のような場合，共通部分は線分となる．
    回転して上図のパターンになるものは全部で6通りある．
    (ⅲ―ⅱ)

    上図のような場合，共通部分は立体図形となる．
    回転して上図のパターンになるものは全部で２通りある．
    以上より，
    \begin{cases} p=\frac{6+8}{70}=\frac{1}{5} \\ q_0=\frac{24}{70}=\frac{12}{35} \\ q_1=\frac{6}{70}=\frac{3}{35} \\ q_2=\frac{0}{70}=0 \\ q_3=\frac{24+2}{70}=\frac{13}{35} \end{cases}……(答)

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    大問2

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早稲田大学理工学部 数学|対策,勉強法, 過去問,入試頻出分野,合格する考え方とは？

2019.09.05

ページ目次早稲田大学理工学部の数学の対策早稲田理工の配点早稲田大学理工学部の問題形式早稲田大学理工学部頻出分野早稲田理工の数学のための勉強法早稲田理工過去問解説(随時更新)早稲田大学理工学部に圧倒的な実力で合格できる専門対策をします 早稲田大学理工学部の数学の対策 このブログでは、早稲田大学理工学部

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  • 早稲田大学理工学部の数学の対策

    このブログでは、早稲田大学理工学部の数学に関する入試対策（出題傾向と勉強法）をご紹介していきます。
    基礎知識0の状態から合格するためには何をどのようにしたら良いのかを参考書の使い方まで徹底解説！

    [toc]

    早稲田理工の配点

    外国語：120/360点　時間90分
    数学：120/360点
    理科(2科目)：120/360点　各60点

    [su_box title="早稲田大学理工学部 科目別対策" radius="1"]▶英語対策　　▶数学対策　　▶化学対策　　▶物理対策    ▶生物対策
    [/su_box]

    早稲田大学理工学部の問題形式

    大問は5題で、それぞれ小問に分かれています。前の小問の結果をふまえて次の小問を解くことが多く、小問同士を結びつける論理力が必要となっています。

    理工学部の数学は原則すべて記述式解答で、結果だけでなくそれに至るまでの過程を書く記述力が求められます。全て解き切るのは時間的に厳しいので、部分的にでも確実に答えられる問題を探して解いていくことが大切になります。

    早稲田大学理工学部頻出分野

    微積は毎年のように出題され、場合の数・確率、数列は隔年で出されています。
    また近年整数の出題も増えているので注意が必要です。
    簡単な年は典型問題が並びますが、難しい年になるとなかなか骨のある問題が並びます

    ＜微積＞2017年度の大問２は簡単でしたが、2016年度の大問５は2016年度のセットのなかでは一番難しく、絶対取るべきかどうかというのは判断しにくいです。
    しかし、誘導が丁寧なので難しくても（2）くらいまでは解き、半答は取りたいところです。
    難しそうだからといって避けずに、解けるところまで粘ってみましょう。

    ＜場合の数・確率＞数列と隔年で出題されていますが、さほど難しくないですし、特徴があるわけではないので、神経質になって対策する必要はありません。ｎ絡みの確率は漸化式、Σ、反復試行など多岐に渡りますから柔軟に対応できるようにしておくと本番も落ち着いて試験に挑めると思います。

    ＜立体＞2016、2017と二年連続で立体図形が出題されていて、来年度以降も大問で出る可能性は十分にあります。
    空間は苦手にしている人が多く、差がつきやすいため難関大では好まれます。
    空間は座標で押すoｒベクトルで攻めるの2つが大まかな方針ですから適宜図形的考察を加えたり、適切な断面で平面に落とし込んだりして、誘導をうまく汲み取って解答していきましょう。

    ＜複素平面＞こちらも課程が変わった年から連続して出題され、対策が必要不可欠な分野でしょう。難関大では複素平面の人気が高く、ほとんどの大学で出題されています。そのため他大学を受けるにおいても複素平面の学習はプラスに働くこと間違いなしでしょう。

    早稲田理工の数学のための勉強法

    どのようにしたら、早稲田理工学部の数学を解くことができるレベルに達するのかを具体的におつたえしていきます。そもそもの数学力が足りない人は、こちらの数学の勉強法概論をまずは読んだ方が良いでしょう。
    [nlink url="https://hiroacademia.jpn.com/blog/program/rikeisugaku-benkyo/"]

    典型問題を確実に解くことのできる練習を！

    易の年、難の年があるものの、大問５つのなかで見たことあるな〜という問題が２つくらいはあります。
    難の年は実質簡単な問題が解けるかどうかで数学で差がつくので、巷に出回っている問題集の典型的なレベルは確実に解けるようにしておきましょう。
    過去問演習する際、簡単な年なら3完２半、難しい年なら２完３半を最低ラインに据えると良いでしょう。

    自分なりの作戦を！

    大問が5題で120分であるので、1問あたりにかけられる時間は単純計算で24分です。
    問題を解く際に計算に必要な時間は多いため、落ち着いて計算を進めましょう。
    検算は必ず行い、計算ミスは確実に防ぎましょう。
    簡単な問題は15分程度で終わらせて、少し難し目の問題に傾斜的に時間を掛けるなど臨機応変に対応しましょう。
    問題が始まったらまず全体を俯瞰して自分なりの作戦を立ててから解き始めると、大きな失敗は免れますし、良い流れに乗れるのでオススメです！

    記述力をつける

    ただ解くのではなく、途中式や導出過程、細かい条件まで含めた解答を作りましょう。
    基本的な問題演習をしているうちから実際の入試を意識して解答を作ることで、記述力を早いうちから身につけることができます。
    特に証明問題や場合分けを要する問題では記述力が重要となります。

    証明問題で論理の飛躍があったり、場合分けを書き間違うとそれだけで減点されてしまいます。
    自己採点の際も、解答と照らし合わせながら細かいミスがないかどうかまで確認しましょう。
    また、図示問題に限らず関数や平面・立体図形が登場する問題もあるので、自分で分かりやすい図を描くことが大事になります。

    計算力をつける

    大問が5題で120分であるので、1問あたりにかけられる時間は単純計算で24分です。
    問題を解く際に計算に必要な時間は多いため、迅速かつ正確な計算力が必要となります。
    積分計算などはかなり時間を要することが多いため、繰り返し練習することで計算力を身につけましょう。

    実際の問題に慣れる

    問題演習に慣れてきたら、実際に過去問に取り組みましょう。この際、本番通りの時間で解くことが大切です。数学ではどの分野が何問目に出るかが分からないので、時間を測って問題演習をし、自分が解きやすいと思った問題から解き始めることが重要です。

    また、先述の通り大問1問あたりにかけられる時間は24分と限られているので、あまり1つの大問を完答することにこだわりすぎるとかえって点数が下がってしまいます。
    大問前半の比較的問題を確実に解答することで、得点を伸ばしていきましょう。

    ただし、時間内に解けなかった問題もその後に問題演習として解くことも大事です。時間内に解けなかった問題は必然的に苦手な問題であるため、苦手をつぶす意味でも解けなかった問題の復習をしましょう。

    早稲田理工過去問解説(随時更新)

    年度 難易度
    2019年 大問1
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    大問5
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    2015年 大問1
    大問2
    大問3
    大問4
    大問5

    圧勝している人はこう考える！

    実際に問題を見て、問題を解くことができる人はどのように考えているのかを確認してください。できない人は上記の法則を利用することができていません。実際に過去問を用意して考えてみましょう。2016年度 理工学部 数学 大問Ⅱからの出題です。

    正四角錐と、それに内接する球という立体図形の問題です。

    (1)立体図形のままだと分かりにくいので、断面図を描きましょう。（図１：全体図、図2：断面図）

    立体図断面図

     

    このような断面図にすると、内接する球の半径は、二等辺三角形△PMNに内接する円の半径と同じであることがわかります(Nは線分CDの中点)。ここで、直線と円の接点において、接点と円の中心を結ぶ線分は直線に垂直になります。よって、球の半径をrとすると、△PMNの面積は

    \frac{1}{2} \times 2a \times r + \frac{1}{2} \times b \times r = \big(a+b\big) \times r

    で表されます。また、△PMNはMNを底辺とする二等辺三角形であるので、MNを底辺とした時、高さは

    \sqrt{a ^{2}+ b^{2}}

    になります。よって、△PMNの面積は

    \frac{1}{2} \times 2a \times \sqrt{a ^{2}+ b^{2}} = a \sqrt{a ^{2}+ b^{2}}

    のようになります。この二通りで表された△PMNの面積は等しいので、

    \big(a+b\big) r = a \sqrt{b^{2} - a^{2}}

    の式が成り立ちます。よって、球の半径は

    r = \frac{{a \sqrt{b^{2} - a^{2}} }}{a+b}

    で表されます。

    (2)球の表面積は、半径をrとすると4 \pi r^{2}で表されます。また、正四角錐PABCDの表面積は、△PAB+△PBC+△PCD+△PDA+正方形ABCDの面積で表わされるので、

    \big( \frac{1}{2} \times 2a \times b\big) \times 4 +2a\times 2a =4ab +4a^{2}

    のようになります。よって、求める式は

    \frac{4 \pi r^{2}}{4ab+4a^{2}} = \frac{4 \pi}{4a(b+a)} \times \frac{a^{2} \big(b^{2}-a^{2}\big) }{ \big(a+b\big) ^{2} } \\= \frac{\pi a^{2} \big(b^{2}-a^{2}\big) }{ \big(a+b\big) ^{3} } \\ = \frac{\pi a^{2} \big(b-a\big) }{ a\big(a+b\big) ^{2} } \\= \frac{\pi \big( \frac{b}{a}-1 \big) }{ \big(1+ \frac{b}{a} \big) ^{2} }\\= \frac{\pi \big( x-1 \big) }{ \big(1+ x \big) ^{2} }

    のようになります。

    (3)(2)の式が最大値をとるとき、 f(x)=\frac{\pi \big( x-1 \big) }{ \big(1+ x \big) ^{2} }とすると、

    f^{'}(x)=\frac{\pi(3-x)}{(x+1)^{3}}

    のようになります。このとき、f^{'}(x)=0のときのxの値はx=3となります。よって、このときの正四角錐PABCDの体積は

    \frac{8 \sqrt{2} }{3} a^{3}

    のようになります。

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2017年早稲田大学理工|過去問徹底研究 大問1

2019.09.03

早稲田大学理工過去問徹底研究　2017年 大問1 方針の立て方 (1) 消すべき文字はであるが，はPQ上の点を代入することで消滅するため，実質消去すべき文字はのみである．そのため，二点を代入して，連立方程式として解けばよいことが分かる． (2) への変換であるため，をの式に書き直せばよい． (3)

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  • 早稲田大学理工過去問徹底研究　2017年 大問1

    方針の立て方

    (1)
    消すべき文字はz,\bar{z},\bar{\beta}であるが，z,\bar{z}はPQ上の点を代入することで消滅するため，実質消去すべき文字は\bar{\beta}のみである．そのため，二点を代入して，連立方程式として解けばよいことが分かる．

    (2)
    z\rightarrow wへの変換であるため，zをwの式に書き直せばよい．

    (3)
    \trianglePQRの内部を求める問題であるが，\trianglePQRの辺(領域の境界)について考え，その内部と考えればよい．複素共役は複素数平面では実軸対称性を持つことに注意すると，余計な計算をしないで済む．

    解答例

    (1)
    z=1を通るので，\beta+\bar{\beta}+1=0
    z=\alphaを通るので，\beta\alpha+\bar{\beta}\bar{\alpha}+1=0
    二式から\bar{\beta}を削除して，
    \beta=\frac{1-\bar{\alpha}}{\bar{\alpha}-\alpha}=\frac{1-\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{6}i\right)}{\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{6}i\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{6}i\right)}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i……(答)

    (2)
    z=\frac{1}{w}であるから，(1)のPQの式に代入して，
    \frac{\beta}{w}+\frac{\bar{\beta}}{\bar{w}}+1=0\Leftrightarrow\left(\bar{w}+\bar{\beta}\right)\left(w+\beta\right)=\beta\bar{\beta}\Leftrightarrow\left|w+\beta\right|^2=1\left(\because\beta\bar{\beta}=1\right)
    よって，-\betaを中心とする半径1の円……(答)

    (3)
    直線QRを表す式は，\frac{z+\bar{z}}{2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow z+\bar{z}=1である．
    z=\frac{1}{w}を代入すると，
    \frac{1}{w}+\frac{1}{\bar{w}}=1\Leftrightarrow\left(\bar{w}-1\right)\left(w-1\right)=1\Leftrightarrow\left|w-1\right|^2=1
    よって，直線QR上を点wが動くときの軌跡は，１を中心とする半径１の円．
    直線PR上を動くときは，直線PRが直線PQの複素共役であることを考えると，-\bar{\beta}を中心とする半径1の円．
    求める範囲は，(2)の円と，上記の２円の計３円で囲まれた領域であり，図示すると，

    また，面積については，

    上図のように考えれば，求める面積は，中心角\frac{2}{3}\piの扇形から，正三角形を取り除いた中心角\frac{1}{3}\piの扇形を２つ引いた面積と等しくなる(扇形の半径はどれも１)ため，
    \frac{1}{2}\cdot1^2\cdot\frac{2}{3}\pi-2\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot1^2\cdot\frac{1}{3}\pi-\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot\sin{\frac{\pi}{3}}\right)=\frac{\sqrt3}{2}……(答)

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    大問1

    大問2

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早稲田大学教育学部【数学】|本番で圧勝の徹底対策シリーズ

2019.07.29

早稲田大学教育学部 全体概観： 理系数学なので当たり前なのですが、数学Ⅲの微分積分をテーマとした問題が、毎年出題されています。 その他の分野では、数列、漸化式、確率、場合の数、といった分野も頻出となっています。 難易度は、バラバラで難しい問題もあれば、簡単めの問題も出題されています。難易度の差はあり

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  • 早稲田大学教育学部

    [toc]
    全体概観：
    理系数学なので当たり前なのですが、数学Ⅲの微分積分をテーマとした問題が、毎年出題されています。
    その他の分野では、数列、漸化式、確率、場合の数、といった分野も頻出となっています。
    難易度は、バラバラで難しい問題もあれば、簡単めの問題も出題されています。難易度の差はありますが、制限時間120分というのを考えると決してやさしくはありません。

    圧勝している人はこう考える

    ここでは過去問を使って、早慶の入試で圧勝をしている人はどのように考えているのかを示していきます。

    (1)は簡単ですが、少し実験して考えてみましょう。

    実験

    ここくらいまで考えれば、状況がつかめてきますね!

    ・n秒後に外の囲い(■)が点灯すること。

    ・3囲いずつ点灯と消灯をくり返すこと。(周期が3)

    ここまでつかめば、こっちのものです。

    記述するにおいて、上のように”・”をたくさん書くのは面倒ですし、厳密な答案を書く上で少し工夫してみましょう。

    n=1で点灯した電球を原点(0,0)として、電球を座標平面上の格子点に載せてみます。

    解　電球を座標平面上の格子点にのせて、最初に点灯した電球を原点(0,0)にもってくる。

    (1)n+1秒後に初めて点灯した電球はn秒後に点灯した電球と隣接しているから|P_{n+1}-P_n|=1or\sqrt2である。

    (P_kはk秒後にはじめて点灯した電球)(n≧1)

    ∴n秒後に初めて点灯する電球の個数a_nは|x|=n-1かつ|y|=n-1かつ|x|≦n-1,|y|≦n-1を満たす格子点の個数に一対一に対応する。

    a_n=4{2(n-1)+1}-4=8(n-1)(n≧1)

    以上からまとめるとa_1=1,a_n=8(n-1)(n≧2)…(答)

    (2)消える電球を無視して考えると、n秒後についている電球の個数S_nは1辺が(2n-1)の正方形の面積と対応するから、S_n=(2n-1)^2…①

    ここから、周期3ごとに消灯する電球を引いて考える。

    (ⅰ)n=3k+1(k≧1)のとき、b_n=S_n-(a_2+a_5+\ldots+a_{3k-1})=S_n-\displaystyle\sum_{l=1}^k 8\{(3l-1)-1\}=S_n-8(\frac{3}{2}k(k+1)-2k)=S_n-4(3k^2-k)=(2n-1)^2-4\{(n-1)\frac{n-1}{3}-\frac{n-1}{3}\}=(2n-1)^2-\frac{4}{3}(n-1)(n-2)=\frac{8n^2-5}{3}…(答)(n=1のときも成立)

    (ⅱ)n=3k+2(k≧2)

    b_n=S_n-(a_3+a_6+\ldots+a_{3k})=S_n-\displaystyle\sum_{l=1}^k 8(3l-1)=S_n-8\{\frac{3}{2}k(k+1)-k\}=S_n-4(3k^2+k)=(2n-1)^2-4\{(n-2)\frac{n-2}{3}+\frac{n-2}{3}\}=(2n-1)^2-\frac{4}{3}(n-1)(n-2)=\frac{8n^2-5}{3}…(答)(n=2のときも成り立つ。)

    (ⅲ)n=3(k+1)(k≧1)

    b_n=S_n-(a_1+a_4+\ldots+a_{3k+1})=S_n-\{1+\displaystyle\sum_{l=1}^k 8(3k+1-1)\}=S_n-(1+8\sum_{l=1}^k 3k)=S_n-{1+12k(k+1)}=S_n-\{1+4(n-3)\frac{n}{3}\}=(2n-1)^2-\frac{4}{3}n(n-3)-1=4n^2-\frac{4}{3}n^2=\frac{8}{3}n^2…(答)

    (3)(2)より

    (ⅰ)(ⅱ)のとき、\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{b_n}{n^2}=\frac{8}{3}-\frac{5}{n^2}=\frac{8}{3}

    (ⅲ)のとき、\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n^2}=\frac{8}{3}

    なので、\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n^2}=\frac{8}{3}…(答)

    ■(3)を少し考えてみましょう。

    S_n=(2n-1)^2とは(2)の通り左図の斜線の面積でn^2は、左図でいう約第一象限分の面積ですから、\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2}=4です。

    b_n=S_n-T_n(消灯分の面積)なので、\frac{b_n}{n^2}=\frac{S_n}{n^2}-\frac{T_n}{n^2}

    \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n^2}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2}-\lim_{n\to\infty}\frac{T_n}{n^2}

    \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{T_n}{n^2}をXとすると、

    \frac{8}{3}=4-X \rightleftharpoons X=\frac{4}{3}で

    \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{T_n}{n^2}=\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n^2}がわかります。

    原点に点がついたときは、点灯している面積のほうが断然大きくなりますが、nが十分大きくなると(消灯分の面積)：(点灯分の面積)＝1:2となっていくわけですね。

    一人ひとりの節電が地球を救います！Let’s省エネ！

    (問)nを2以上の自然数とし1からnまでの自然数の順列：a_1 a_2 \ldots a_nのうち条件(※)を満たす順列の個数をP_nとおく。

    条件(※)：a_k<a_{k+1}を満たさないようなkが順列中にただ1つ存在する。

    以下の問いに答えよ。

    (1)P_3を求めよ。

    (2)P_4を求めよ。

    (3)P_{n+1}をP_nを用いて表わせ。

    (4)P_nをnを用いて表わせ。　　　(2017早大教育1(2)改題)

    少し解きやすく改題してみました。早速やってみましょう。

    実験　　P_nに適する順列を(  ),適さないものを{  }で表します。

    （表）

    あとは各々の補題(ⅰ)(ⅱ)を示して(3)を先に解いてしまいます。

    [(ⅰ)の証明]

    nを大きな数とする。P_nのある順列について、(a_1,a_2,\ldots,a_i,a_{i+1}\ldots,a_n)が(※)と条件を満たすとする。(a_i>a_{i+1})

    ここに(n+1)を挿入することを考える。

    (Ⅰ)a_1,a_2,\ldots,a_iについて、a_j(1≦j≦i)はすべてn以下なので、この↑のうち1つに(n+1)を挿入するとa_k<a_{k+i}を満たさないところがこの順列だけで1か所存在してしまい、a_i>a_{i+1}と合わせて2か所存在するので、(※)に反する。

    (Ⅱ)いま、a_i<n+1かつa_{i+1}<n+1なので(※)を満たす順列が作れる。

    (Ⅲ)(Ⅰ)と同様に不適。

    (Ⅳ)a_n<n+1であるから(※)を満たす順列が作れる。

    以上、(Ⅰ)〜(Ⅳ)から(ⅰ)は示される。

    [(ⅱ)の証明]

    いま、↑のnコに(n+1)を挿入すれば、a_l>a_{l+1}を満たすところが1ヶ所だけ存在する。(nコのうしろに挿入すると、{1,2,…n,n+1}となり(※)に不適)

    (1,2,3,…n)の元の並びから、(ⅰ)と(ⅱ)は互いに排反である。

    以上から、P_{n+1}=2P_n+n…(答(3))が導けました。

    (P_3=4,P_4=2・4+3=11)

    (4)さて、P_{n+1}=2P_n+n…①を解いてみましょう。

    ①⇄P_{n+1}+n=2(P_n+n-1)+2

    a_n=P_n+(n-1)とおく。a_{n+1}=2a_n+2 \rightleftharpoons a_{n+1}+2=2(a_n+2) \rightleftharpoons a_n+2=2^{n-2}(a_2+2)

    (a_2=P_2+1=2)よりa_n=2^n-2

    ∴P_n=a_n-(n-1)=2^n-(n+1)…(答)となります。

    どうでしたか？実験の重要性をわかって頂けましたか？

    ただ覚えるだけの数学だけではなく、考えて数学を勉強していきましょうー！

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早慶への数学勉強法|最速最強数学理解|その1 数学の基礎概念の掴み方

2019.06.21

基礎 数学ができるようになるためには、ただ単に問題のパターンを覚えるというだけではできるようにはなりません。上記で見てもらったように、多くの数学ができてない学生というのは、表面上の数値のみを暗記しているために数学ができなくなってしまっています。 上記のようなことが発生しないようにするために、当塾では

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  • 基礎

    数学ができるようになるためには、ただ単に問題のパターンを覚えるというだけではできるようにはなりません。上記で見てもらったように、多くの数学ができてない学生というのは、表面上の数値のみを暗記しているために数学ができなくなってしまっています。

    上記のようなことが発生しないようにするために、当塾では、
    基礎概念を把握→高速化→運用というプロセスを行っております。
    下記ではそのプロセスを詳しく説明していきます。

    基礎の基礎<中学数学について>

    高校数学を行う前に中学数学が理解できているかどうかを確認しましょう。特にこれまでの指導の中だと帰国子女で数学を全く勉強してないのに、帰国子女枠でレベルの高い進学校に入ってしまった学生、医学部志望など社会人になって学生時代数学は得意ではなかったけれど、勉強しなくてはならなくなった人の場合は中学数学から確認する必要があるでしょう。
    中学数学の段階で公式の意味を理解していないで計算練習ばかり繰り返していてはできるようになりません。

    概念把握

    数学における概念把握とは、「座標軸上での状態」と「四則演算の行い方」があたります。それぞれの分野において、何も考えずにいきなり公式を覚えるのではいけません。新しい分野には入った場合には常に「座標軸上での状態」と「四則演算の行い方」を確認しながら理解していきましょう。
    その上で、各分野で出てくる公式の証明が行えるようになることがあるでしょう。公式の証明をできるようにしておくというのは、その公式をなぜその部分で使用するのか？の意味が理解できません。ですから、全ての公式についてすぐに導出できるようにしておくべきでしょう。ただし、勉強の初期段階で公式が出てきたら、毎回導出ができるようにしていくということを行っていくと進みも悪いため、やる気がおこならない可能性があります。そのため、勉強の初期段階では、この公式はどのように成り立っているのか？ということを考える癖はつけつつ、公式を使って問題を解いてみるというのが先で良いでしょう。

    下記では実際に公式の証明を使用して、公式をどのように覚えていったらよいのかをお伝えしていきます。

    積の微分公式  証明をしてみる

    f(x)とg(x)はそれぞれ微分可能であるとする。f(x)g(x)は導関数の定義より

    \big\{f(x)g(x)\big\} '=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}~~~~(1)

    ここで(1)は２つの関数が変化しているので１つの関数の微分を求めたように出来ません。
    そのため一つの関数の微分のように強引に以下の様に変形します。

    f(x+h)g(x+h)–f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)–f(x)g(x)　　　（２）

    下線部が強引に付け加えたところです。
    今回のように対称性が高い式をあえて崩すすことで証明しやすくするという方法はしばしば出てくるので覚えておいても損はありません。　　　　　以上

    \big(1\big)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f \big(x +h\big)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x) }{h}

    =\displaystyle\lim_{h\to 0}\big\{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}f(x+h) + \frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)\} ~~~~(3)

    =g' \big(x\big) f \big(x\big) + f' \big(x\big) g(x)

    =f' \big(x\big) g(x)+g' \big(x\big) f \big(x\big)

    以上より証明ができました。

    ベクトル　内積の公式を図形的に考える

    以下の様な図を考えたとき、

    ベクトルの証明

    △OABにおいて余弦定理より

    AB^{2}=OA^{2}+OB^{2}-2OAOB \theta

    = \big( x_{b} - x_{a} \big) ^{2} \big( y_{b} - y_{a} \big) ^{2}= \big( x_{a} ^{2} +y_{a} ^{2}\big) + \big(x_{b} ^{2} +y_{b} ^{2}\big) -2 \sqrt{x_{a} ^{2} +y_{a} ^{2}} \sqrt{x_{b} ^{2} +y_{b} ^{2}} cos \theta

    x _{b} ^{2} -2 x_{b}x_{a} + x _{a} ^{2} + y _{b} ^{2} -2 y_{b}y_{a} + y _{a} ^{2}=x _{a} ^{2} + y _{a} ^{2} + x _{b} ^{2}+ y _{b} ^{2}-2 \mid OA \mid \mid OB \mid cos \theta

    = x_{a} x_{b}+ y_{a} y_{b}= \mid \overrightarrow{a} \mid \mid \overrightarrow{b} \mid cos \theta

    ∴ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \mid \overrightarrow{a} \mid \mid \overrightarrow{b} \mid cos \theta

    記号を日本語で噛み砕く

    公式の意味を数学特有の記号Σ、∫、lim、fの操作の意味を日本語で理解しておくことは重要です。この辺りは英語の単語を覚えるのと同じです。単語の意味がわからないと英語の文章を読むことも書くこともできないのと同様に、記号の意味をわかっていなければ使うことはできません。私たちはdogと見た瞬間に、実際に人それぞれどのような犬を想像するかは違いますが「犬」を頭の中で想像します。数学の場合は、記号に対しての動作が決まっていますので、数学特有の記号を見た瞬間に皆同じことを考えることができるのです。
    ですが、数学ができない人は記号を見た瞬間に思考が停止してしまっています。

    たとえば、

    \sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}

    この数式の意味はkに１からnまでいれて、それぞれ足しなさいという意味です。

    つまり

    \sum_{k=1}^{n} k=1+2+3+4+5+6+ \cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}

    ということをΣを用いて書いているだけなのです。このような理解を記号を見た際にすぐにできているかどうか？というのが大事です。

    坂田アキラ先生のシリーズではそうした記号の使い方を様々な例を活用してわかりやすく説明しています。数学が苦手な方はまずはこちらのシリーズを読んでみると良いでしょう。

    ▶『坂田アキラの面白いほどわかる数学シリーズの使い方』の詳しい使い方こちら

    池田洋介先生のシリーズもイラストを使ってあるのでまったくの初学者でもわかりやすく解説してあります。数学2Bは苦手な学生が増える分野なので、苦手だ！と感じた瞬間に取り組むと良いでしょう。

    ▶『数学ⅡBが面白いほどわかる』の詳しい使い方はこちら

    学校で一度勉強をした範囲だけど公式が丸暗記になっていたり、問題は一度覚えてやってみたけど何かできないな。。という方は『元気が出る数学1A2B』を勉強すると良いでしょう。上記2冊はわかりやすさでも随一の教材ですが、

    ▶『元気が出る数学1A2B』の詳しい使い方はこちらから

     

早慶への数学勉強法|最速最強数学理解|その2　アウトプットの高速化

2019.06.21

計算練習で高速化 概念をつかみ、公式を理解できたら高速でその概念、公式を正確にかつ高速で使えるようにしていきます。このレベルまで来て役に立つのが計算練習になります。公式を実際に使って、四則演算、座標平面上の動きを理解していきながら、計算練習を積んでいきましょう。 ▶『合格る計算ⅠAⅡB

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  • 計算練習で高速化

    概念をつかみ、公式を理解できたら高速でその概念、公式を正確にかつ高速で使えるようにしていきます。このレベルまで来て役に立つのが計算練習になります。公式を実際に使って、四則演算、座標平面上の動きを理解していきながら、計算練習を積んでいきましょう。

    ▶『合格る計算ⅠAⅡB/Ⅲ』の詳しい使い方はこちらから

    運用力×高速化

    各分野での計算練習を積んで四則演算、座標平面上での動きの意味がわかったのであれば、実際に問題を解いていきましょう。このレベルで大事なのは、問題文の内容を読んでいる際に思考停止せず、数学的な理解ができているかどうか？ということです。

    上記概念理解や計算練習ができてない段階で問題を解くことを行ってもあまり意味がありません。標準問題精講シリーズは他のシリーズは難しいですが、数学1Aに関してはレベル感も偏差値50~55程度の学生でも理解できかつ、解説もわかりやすく、どのように問題を解いたらよいのか？の着眼点も用意されています。

    ▶『標準問題精講』の詳しい使い方はこちら

    『マセマ合格数学シリーズ』は着眼点、式の展開が丁寧なので独学でも問題なく勧めることができるでしょう。標準問題精講の2B3は難し目なので、合格シリーズがその代用になっていきます。入試レベルの典型的な問題が多いので、全ての問題に対して解法を自身の手で実際に最後まで導けるかどうか？という点が大事になってきます。

    ▶『マセマ合格数学』の詳しい使い方はこちらから

    入試準備のレベルの基礎レベルとしては、『1対1対応の数学』までできていれば、基本的な数学の入試問題は対応できます。1対1対応の数学はこれまでの教材と比べると、式の展開もわかりづらい可能性があります。また、1対1対応の数学独特の表現があったりもするので、その理解をするのが初学者にとっては難しいです。ですが、これまでの『マセマシリーズ』や『標準問題精講』がただの暗記でなく理解ができている上での運用ができているのであれば、問題なく理解ができてきます。このレベルをクリアできれば入試問題の理解ができるようになるのも後もう少しです！　頑張りましょう！

    ▶『1対1対応の数学』の詳しい使い方はこちらから

    問題を解くときのできる人とできない人の差とは？

    問題を理解している時に数学ができる人はどのように理解しているのか？、数学ができてない人はどのように理解しているのか？という差をご説明します。勉強している最中にできない思考に陥らないようにしましょう。

    [su_box title=" 早稲田大学2016年度 理工学部 数学 大問Ⅱ（１）" style="glass"]

    sokei

    [/su_box]

    できない人はこう考える!

    ■図を書かない(イメージできない)

    数学ができない人ほど、図を書かない人が多いです。図形問題の時は必ず図を書いて考えましょう。実際に図を書いていくことで、直感的にこの図形はこの硬式を使えばいいんだなというのが見えてきます。

    できる人はこう考える!

    ■図を書く

    図を書くのは当然として、立体の問題を解くときに、断面図まで書けるかが１つの差をつけるポイントです。

    立体図断面図

    図１：全体図、図2：断面図

    このような断面図にすると、内接する球の半径は、二等辺三角形△PMNに内接する円の半径と同じであることがわかります(Nは線分CDの中点)。ここで、直線と円の接点において、接点と円の中心を結ぶ線分は直線に垂直になります。よって、球の半径をrとすると、△PMNの面積は

    \frac{1}{2} \times 2a \times r + \frac{1}{2} \times b \times r = \big(a+b\big) \times r

    で表されます。また、△PMNはMNを底辺とする二等辺三角形であるので、MNを底辺とした時、高さは

    \sqrt{a ^{2}+ b^{2}}

    になります。よって、△PMNの面積は

    \frac{1}{2} \times 2a \times \sqrt{a ^{2}+ b^{2}} = a \sqrt{a ^{2}+ b^{2}}

    のようになります。この二通りで表された△PMNの面積は等しいので、

    \big(a+b\big) r = a \sqrt{b^{2} - a^{2}}

    の式が成り立ちます。よって、球の半径は

    r = \frac{{a \sqrt{b^{2} - a^{2}} }}{a+b}  』で表されます。』

慶應義塾大学医学部【数学】 |本番で圧勝の徹底対策シリーズ

2018.02.25

慶應義塾大学医学部   4.5 全体概観：配点150点　時間100分 例年大問が４題で、質量共に最高峰の入試が続いている。試験時間に対して量が膨大であるため、どれだけ取れるかが肝心となります。 また典型問題の暗記では太刀打ちできないのはもちろんのこと、すべての範囲において深い理解が求められる。 ペー

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  • 慶應義塾大学医学部

      4.5

    [toc]

    全体概観：配点150点　時間100分

    例年大問が４題で、質量共に最高峰の入試が続いている。試験時間に対して量が膨大であるため、どれだけ取れるかが肝心となります。
    また典型問題の暗記では太刀打ちできないのはもちろんのこと、すべての範囲において深い理解が求められる。

    出題範囲・頻出分野

    慶應医学部の数学は、数学Ⅰ・数学Ⅱ・数学Ⅲ・数学A・数学Bからの出題となります。
    大問１は小問集合で、大問２が確率、大問３がベクトル、座標、微積、大問４が微積という出題が続いていきます。
    記述量もバラバラであり、全体的に質が高く、穴埋めだからといって答えだけが簡単に出る出題もなく、高い数学力が求められています。

    日頃からどのように対策をしていくか

    中途半端な理解力では太刀打ちのできない慶應医学部の入試問題ですが、問題を解けている人も事実です。
    数学を圧倒的に得意科目にして慶應医学部で合格レベルの答案を書くために日頃どのような対策をしていけばよいのか、以下お伝えしていきます。

    基礎の深い理解を

    慶應医学部の数学は、チャートやfocus goldといった網羅系の問題集を暗記した付け焼き刃の数学力では太刀打ちできません。
    思考力、空間把握能力、幾何的センス、記述力など多方面の高度な数学力が要求されます。
    問題数をこなすことはもちろん大事ですが、そうしたことだけに固執するのではなく、自分の頭でじっくり考え抜き、しっかり理解することが肝心です。
    ＊上記、幾何的センスと述べていますが、センスは考えることで養われるものです。センス=生まれつき持ったものと考えずに自身の覚えた知識をもとに考える癖をつけましょう。

    強靭な計算力を養う

    すべての問題で高い計算力を求められる慶医数学において短時間で正確に答えを合わせる処理力は必須となります。
    計算問題を疎かにして、入試に望む人が非常に多いです。
    焦りが加わった土壇場で合否を分けるのは、思考力ではなく、計算力だということは頭に入れて下さい。
    おすすめとしては、一日15~30分でも十分です。その時間で積分の難しい計算を行ってみてください。

    おすすめの教材としては、『合格る計算Ⅲ』です。
    積分練習カードというランダムで積分ができるカードが付属しているので行ってみて下さい。

    合格る計算の詳しい使い方はコチラから

    頻出の分野は確実に得点していく

    慶医は大問１が比較的取り組みやすい小問集合、大問２が慶医花形の確率漸化式、大問３，４が微積、空間、座標などの医学部らしい系統の出題と傾向に変わりありません。
    大問３,４は難しい問題が多く、最後までたどり着くのは困難な問題が多いためそこまで差はつきません。

    大問１は確実に得点するとして、近年取り組みやすくなっている大問２の確率漸化式の出来は合否に大きく関わるので、完答しておきたいです。

    圧勝している人はこう考える！

    では、慶医の確率漸化の中でも簡単めの2016年の大問2を見てみましょう。

    「問題を貼る」

    まず、問題の操作がわかりにくいため、図におこしてみます(図1)

    このように操作が込み入っている問題では、状態を図にすると、すごく考えやすくなります。

    特に図2のように状態を点、操作を辺で表したグラフを状態偏移グラフといいます。

    さてさっそく問題を解いていきたいと思いますが、以下では記述にも対応できるように記述式で書いていきます。

    a_n=\frac{1}{2}a_{n-1}+c_{n-1}…①

    b_n=\frac{1}{2}a_{n-1}+\frac{1}{2}b_{n-1}…②

    c_n=\frac{1}{2}b_{n-1}…③

    …(答)

    またPはAorBorCのいずれかにいるのでa_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}=1…④(n≧2)も成り立ちます。

    (2)②より、b_n=\frac{1}{2}(a_{n-1}+b_{n-1})=\frac{1}{2}(1-c_{n-1})より、b_n=\frac{1}{2}(1-c_{n-1})…②’で③②から、b_n=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}b_{n-2})⇆b_n-\frac{2}{5}=-\frac{1}{4}(b_{n-2}-\frac{2}{5})

    b_n-\frac{2}{5}は1つおきに等比数列となりますから

    b_{2m-1}-\frac{2}{5}=(-\frac{1}{4})^{m-1}(b_1-\frac{2}{5})

    b_{2m}-\frac{2}{5}=(-\frac{1}{4})^m(b_0-\frac{2}{5})

    が分かり、a_0=1,b_0=0,c_0=0,a_1=\frac{1}{2},b_1=\frac{1}{2},c_1=0を代入して

    b_{2m-1}=\frac{2}{5}+\frac{1}{10}(-\frac{1}{4})^{m-1}

    b_{2m}=\frac{2}{5}+\frac{1}{10}(-\frac{1}{4})^{m-1}  …(答)となります。

    あとは②に代入すれば、a_{2m-1}=\frac{2}{5}+\frac{1}{10}(-\frac{1}{4})^{m-1}

    a_{2m}=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}(-\frac{1}{4})^m  …(答)も求まります。

    (3)いきなり、d_n:「操作Tをｎ回繰り返し終えたとき、初めてPがCにいる確率」とかいわれてもよく分からないので、こういうときはとりあえず実験あるのみです。

    実験・n=4ではA→A→A→B→C、A→A→B→B→C、A→B→B→B→C　の3通り。

    ・n=5ではA→A→A→A→B→C、A→A→A→B→B→C、A→A→B→B→B→C、A→B→B→B→B→C　の4通り。

    ここら辺で、”PはBに進むとAには戻れず、Bに留まるかCに進むかの2択”しかないことの意味が浮き彫りになってきます。

    A→B、B→B、B→Cの確率は全て\frac{1}{2}で、A→…A→B…→B→Cでn-1コの→のうち、どこでA→Bにきりかわるかで、(n-1)通りなので、d_n=(\frac{1}{2})^n(n-1)=\frac{n-1}{2^{n}} …(答)

    (4)e_n:(ⅰ)n回終えたときに点PがAorBにいる。(ⅱ)それまでに１回だけ頂点Cにいた。

    前問(3)に(ⅱ)の状況が似ていますから、(3)を利用してみます。今回はn回目にPがCにいないので、一般的に操作K回後にCがいたとします。その確率は(3)より\frac{K-1}{{2}^k}(2≦K≦n-1)です。

    ・f_nについて。K+1回の操作後から、Aにずっといるので、f_n=(\frac{1}{2})^{n-(K+1)}

    ・g_nについて。(3)の実験から分かるようにi回の操作Tをほどこして、Bにいる確率は\frac{i}{2^{i}}なので、g_n=(\frac{1}{2})^{n-(K+1)}{n-(k+1)}

    f_nとg_nは互いに排反なので、e_n=\sum_{K=2}^{n-1}\frac{K-1}{{2}^K}・1・{(\frac{1}{2})^{n-(K+1)}+\frac{n-(K+1)}{{2}^{n-(K+1)}}=\frac{1}{{2}^{n-1}}\sum_{K=2}^{n-1}(n-K)(K-1)=\frac{1}{{2}^{n-1}}\sum_{K-1}^{n}{(n+1)K-k^{2}-n}=\frac{1}{{2}^{n-1}}{\frac{n}{2}(n+1)^{2}-\frac{n}{6}(n+1)(2n+1)-n^{2}}=\frac{1}{3\cdot2^{n}}{3(n+1)^{2}-(n+1)(2n+1)-6n}}=\frac{1}{3\cdot2^{n}}(n^{2}-3n+2)=\frac{(n-2)(n-1)}{3\cdot2^{n}} …(答)が求まります。

    ■(4)の別解について、場合分けの基準は(4)に沿うものとします。B→C→Aは1かたまりで、Cをただの通過点とみなして、全事象を2^{n-1}としても一般性を失いません。

    (ⅰ)のとき、n-1回の移動のうちどこがA→B,B→Aになるかの組み合わせを考えると{}_{n-1}C_2通り

    (ⅱ)のとき、n-1回の移動のうち、どこがA→B、B→A、A→Bになるかの組み合わせを考えて、{}_{n-1}C_3通り

    (ⅰ)(ⅱ)よりe_{n}=\frac{{}_{n-1}C_2+_{n-1}C_3}{2^{n-1}}=\frac{n(n-1)(n-2)}{3\cdot2^n}…(答)としても求められますね！

    状態遷移グラフを用いた問題で、もう少し難し目の出題が2014年度の慶医にあるので是非自分で挑戦してみよう！

【一貫校中学３年】偏差値５１です。数学を極めたいです。

2017.12.04

この記事では、どのように勉強をすれば圧倒的に成績が上がるのか悩んで当塾のカウンセリングを受けた方に対して当塾がどのような解決策を出したのかをお伝えしていきます。（＊他の方にも役に立つためにもなるべく具体的に記述いたしますが、個人が特定されない程度に情報は伏せさせていただいています) 勉強の効率が2.

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  • この記事では、どのように勉強をすれば圧倒的に成績が上がるのか悩んで当塾のカウンセリングを受けた方に対して当塾がどのような解決策を出したのかをお伝えしていきます。（＊他の方にも役に立つためにもなるべく具体的に記述いたしますが、個人が特定されない程度に情報は伏せさせていただいています)
    勉強の効率が2.5倍上がるカウンセリングのお申込みはこちらから申し込みしております。初回無料で受け付けています。

    相談内容は以下の通りです

    理工学系の大学のどこか

    私立中高一貫中学三年

    ５１

    生物研究者

    理系に進みたいので数学をまず勉強したいと思っています。じっくり、数学を極めるためにまず何をやればいいのか全然わかりません。

    数学の勉強はじめの参考書、問題集などや勉強法を教えて欲しいです。

    ACADEMIA’S ANSWER

    早慶専門個別指導塾HIRO ACADEMIAの小野でございます。

    　まだまだ、受験までに３年以上と非常に長いため、焦らずじっくり数学を極めていくことが可能です。

    数学において、大事なことは何と言っても考えることです。
    公式の暗記ではありません。
    普段、学校の授業を受けているときどのように授業を受けていますか。

    とりあえず公式覚えて解いていませんか？
    まず、単元ごとに共通な勉強の仕方ですが、まずは公式の導出方法についての理解から始めます。ここで、理解できなくても構いません。
    公式の導出について考えたということが大事なのです。

    次に、公式を覚えるのですが、高校数学の公式の半分以上は似た公式からすぐに導けたり、図を書いて公式を使わず問題を解くことが可能です。
    ですが、少なからず絶対に暗記しないといけない公式もあります。そこは我慢して覚えましう。

    同時並行して、初歩的な計算問題を解いていきましょう。
    数学は思考する学問ではありますが、試験本番の時間は有限です。正確に素早く解けることは受験生への第一歩です。

    また、計算力を高めていくと同時に、何より思考力を鍛えないといけません。

    思考力を鍛える方法は簡単で、ただわからない問題やわからない問題に時間をかけるという方法です。
    拍子抜けするような方法ですが、これを出来ていない生徒は数学が苦手で、出来ている生徒は得意である傾向があります。
    わからない問題があれば、人に聞く前に一旦立ち止まって考え、補助線を引いたり図を書いたり、使えそうな公式を列挙したりしてみるのもいいかもしれません。

    解くべき問題が載っている参考書についてはこちらをご覧ください。

    少し余談になってしまいますが、学校の授業もしっかり聞きましょう。
    学校の授業で寝てしまって、家で勉強では二度手間となってしまいます。
    基礎基本をおろそかにしていては解ける応用問題も解けなくなってしまいます。それを防ぐためにもしっかり授業をきき、わからないところがあればわかる

    焦らず考えてやれば絶対最後には勝利します。頑張ってください！
    ご不明な点、体験授業を受講したいなどあればお気軽にご連絡ください。
    それでは引き続き勉強を頑張ってください。

    長文お読みいただきありがとうございました。

    いかがでしたでしょうか？　当塾では個人の現在の学力、成績に合わせて適切な指導を行っております。どんな学力であっても、こんなことできるの？というご相談でも構いません。当塾にお気軽にご相談、ご連絡下さい。
    東京での指導はもちろんのこと、インターネットを使用すれば日本全国、世界中どこからでも指導を受けることが可能です。

    まずはお気軽にカウンセリングを受けて下さい。カウンセリングのお申込みはこちらから

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