数学 | 【慶應早稲田専門対策】個別指導塾ヒロアカ

【使い方】数学上級問題精講|圧倒的に成績を伸ばす方法

2017.09.18

参考書の特色対象者難関大学の数学で得点を稼げるようになりたい方(偏差値65以上の方) 「基礎」「標準」「上級」とある精講シリーズの一つで、「1対1」「青チャート」のような網羅系の問題が解けている人向けの問題集です。難関大学で解いておきたいレベルの問題集であり、これを仕上げることができればほとんど

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参考書の特色

対象者

難関大学の数学で得点を稼げるようになりたい方(偏差値65以上の方)

「基礎」「標準」「上級」とある精講シリーズの一つで、「1対1」「青チャート」のような網羅系の問題が解けている人向けの問題集です。難関大学で解いておきたいレベルの問題集であり、これを仕上げることができればほとんどの大学の過去問に手を付けられる力がついていると思います。ですが、大学によってはオーバーワークとなってしまったり、他の科目に時間を割いた方がいい場合もあるので、受験までの時間や他の科目の出来具合を考慮する必要があります。

数学Ⅰ+A＋Ⅱ＋Bで116問+類題31問、数学Ⅲで113問+類題25問で構成されています。それぞれの問題の解説はシリーズの例に漏れず詳しくなっていて、解法をおさえる上でのポイントがしっかり解説されています。

使い方

おすすめ使用期間

2ヶ月半～3ヶ月

難関大学のための仕上げを行うための問題集です。解く際はある程度時間を決めてから解くようにしましょう。この問題集を使用するレベルであれば全く手を付けられない問題は少ないかと思いますので、ある程度までは自分で考えてみましょう。

解き終わったら、解答で答えあわせをするとともに解説を読み込みましょう。「精講」の部分で解答の指針が示されているので、確認をしてから解答を読むようにします。解答の中には解答のポイントや別解も示されているため、自分の解法と比べてみましょう。

1ランク成績を上げるための使い方

2周目以降は、自分で解くべき問題を考えて解くようにします。特に、「解けそうだったけど解けなかった問題」「解くのに時間がかかった問題」等を解くようにしましょう。この問題集は全ての問題を網羅するべき問題集ではなく、むしろ問題を解くための思考力を養う問題集であるため、しっかりと考えて解くようにしましょう。

この参考書によくある質問集

ここではこの参考書によく当塾に寄せられる質問をQ＆A形式でお答えします。
解答はプラトン先生にお答えいただきます。

[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom1.gif" name="質問1"]全体として、数学Ⅲの問題が多いように感じます。[/speech_bubble]
[speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="platon1.jpg" name="プラトン先生"]難関大学で得点を稼げるようになるレベルの問題集ですので、数学Ⅲの比重は必然的に大きくなっています。ですので、しっかりと解けるようになった方がいいでしょう。[/speech_bubble]
[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitow1.gif" name="質問2"]「やさしい理系数学」とどちらがおすすめですか？[/speech_bubble]
[speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="platon1.jpg" name="プラトン先生"]どちらも過去問前の仕上げの段階で解く問題集で同じくらいの難易度だと思います。ですので、解説等を読んでみて自分に合う方を選ぶのがいいかと思います。[/speech_bubble]

【高校3年】数学ができないけど慶應義塾大学に行きたい

2017.06.01

この記事では、どのように勉強をすれば圧倒的に成績が上がるのか悩んで当塾のカウンセリングを受けた方に対して当塾がどのような解決策を出したのかをお伝えしていきます。（＊他の方にも役に立つためにもなるべく具体的に記述いたしますが、個人が特定されない程度に情報は伏せさせていただいています) 勉強の効率が2.

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この記事では、どのように勉強をすれば圧倒的に成績が上がるのか悩んで当塾のカウンセリングを受けた方に対して当塾がどのような解決策を出したのかをお伝えしていきます。（＊他の方にも役に立つためにもなるべく具体的に記述いたしますが、個人が特定されない程度に情報は伏せさせていただいています)
勉強の効率が2.5倍上がるカウンセリングのお申込みはこちらから申し込みしております。初回無料で受け付けています。

相談内容は以下の通りです

慶應義塾大学

3年

58

まだ決まっていません。

今通っている塾:河合塾
使っている教材:数学チャート式黄色。
1Aは3周し2Bは1週です。しかし成績が伸びず悩んでいます。数学の勉強法を知りたいです。

今までで日本史や世界史などの暗記科目では学校で上位の成績をとっており、暗記は得意です。

ACADEMIA’s Answer

暗記が得意で、文系の質問者様。回答者の私も文系で数学をやっていたのでよくわかります。僕も数学の学習法に迷っていました。

～徹底的に暗記するパターン数学学習法～

数学の問題をひたすら解きまくり、パターンを覚えるという学習法です。
入試問題と言えども使い回しはあります。慶應で出た問題が数年後で早稲田で出るということもあります。とにかく問題を解きまくれば数字が変わっただけという全く同じ解き方の問題に出くわすことはあります。
(ちなみに回答者の僕は模試の前日に解いた全く同じ問題が模試で出て逆に焦った経験があります)

ただし、この学習法には限界があります。原理原則を問うた問題には太刀打ちできないこと。
そして、初見の問題はほぼ解けなくなってしまうことです。

ですので、本当におすすめなのは原理原則をしっかりと押さえて学習を進めることです。

かといって、最初から原理原則を進めることもできないので、まずはひたすら解きまくること。
そして、できる限り答案をしっかりとノートに書いて誰にでも見せられる状態にしておくことです。

そうすれば、少なくとも模試で答案の書き方がわからないという事態には陥りません。そして少しずつ成績も上昇してきます。

まとめ

数学の学習法にもいろいろありますが、今回はとても地味ながら確実に実力が付く方法を紹介しました。
文系で数学を使う皆さんは是非試してみてください。

いかがでしたでしょうか？　当塾では個人の現在の学力、成績に合わせて適切な指導を行っております。どんな学力であっても、こんなことできるの？というご相談でも構いません。当塾にお気軽にご相談、ご連絡下さい。
東京での指導はもちろんのこと、インターネットを使用すれば日本全国、世界中どこからでも指導を受けることが可能です。

まずはお気軽にカウンセリングを受けて下さい。カウンセリングのお申込みはこちらから

【使い方】やさしい中学数学|圧倒的に成績を伸ばす方法

2017.04.10

ページ目次参考書の特色使い方1ランク成績を上げるための使い方この参考書によくある質問集参考書の特色対象者基礎の基礎レベルから数学を始めたい方イラストや対話形式のテキストにより、数学が苦手な方でも学ぶことができるように書かれた参考書です。数学の問題を、テキスト上で図と文章に落とし込んで解説して

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参考書の特色

対象者

基礎の基礎レベルから数学を始めたい方

イラストや対話形式のテキストにより、数学が苦手な方でも学ぶことができるように書かれた参考書です。数学の問題を、テキスト上で図と文章に落とし込んで解説してあるため、しっかりと分かりやすく理解することができます。

ほとんどの単元で、例題についての解説という形で説明を行っています。
そのため、「この単元がわかっているか、何がわかっていないのか」を明確にしながら学習できるため、理解しやすくなっています。

使い方

おすすめ使用期間

1ヶ月～2ヶ月

例題について、まずは解説を見ずに考えてみましょう。
ただし、とっかかりも分からなければ2～3分ほどで解説を見て大丈夫です。
基本的な部分が分かっていない状態で考えても答えにたどり着くことはできません。

例題は、例題を通じて分からない問題を見つけ、「何が分かれば解けるのか」という観点で数学を理解するためにあります。
ですので、分からなければ「何が分かれば解けるのか」という観点に切り替えて解説を読みましょう。
特に「要チェック」「Point」の部分は理解のために重要な部分なので、しっかり確認しましょう。
1つの単元が終わったら、最後に「CHECK」の問題を解いて理解度を確認してみましょう。

1ランク成績を上げるための使い方

理解できたと思った単元は、時間をおいてから巻末の問題冊子を使って「CHECK」を解説なしで解いてみましょう。
解けていればその単元はおおよそ理解できていると思いますが、解けなかった場合は解説に戻っての理解が必要です。
基本的な部分ですので、理解できていない所をなくすよう頑張りましょう。

この参考書によくある質問集

ここではこの参考書によく当塾に寄せられる質問をQ＆A形式でお答えします。
解答はプラトン先生にお答えいただきます。

[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom1.gif" name="質問1"]大学受験に数学が必要ですが、この教材は必要ですか？[/speech_bubble]
[speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="platon1.jpg" name="プラトン先生"]高校の数学は中学の数学であやふやな部分でつまづくことも多いです。そのため、中学数学で理解できていない部分があれば部分的にでもこの教材を使うのもいいと思います。[/speech_bubble]
[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitow1.gif" name="質問2"]数学が本当に苦手なのですが、この教材で理解できますか？[/speech_bubble]
[speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="platon1.jpg" name="プラトン先生"]説明部分で数式をなるべく使わない説明を心がけているため、数学が苦手な人でも安心して取り組めるようになっています。レベルとしても、基本的な部分から問題を解けるようになるまで、しっかりステップアップして理解できるようになっています。[/speech_bubble]

【使い方】ハッとめざめる確率|圧倒的に成績を伸ばす方法

2017.04.04

ページ目次参考書の特色使い方1ランク成績を上げるための使い方この参考書によくある質問集参考書の特色対象者既習者で確率分野に苦手意識、不安がある人確率分野は数学の中でも独立した分野で、元々得意な人もいれば、逆に他の分野ができていても確率だけ苦手という人もいます。 nCrやnPrのような公式がど

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参考書の特色

対象者

既習者で確率分野に苦手意識、不安がある人

確率分野は数学の中でも独立した分野で、元々得意な人もいれば、逆に他の分野ができていても確率だけ苦手という人もいます。
nCrやnPrのような公式がどのような意味なのか、いつ使えばいいのか、ということが分からない人も多いはずです。

この参考書ではむやみに公式を使おうとせず、ある程度場合の数を書き並べる所から始め、本質的に確率を理解することを目指しています。
レベルとしては既習者で確率が苦手な人でも使うことができますが、問題自体は難しいものも含まれるため難関国立・私立大を目指す人にもオススメです。

場合の数、確率、期待値・分散・二項定理、ハイレベル演習の4部構成です。
苦手な人は特に場合の数と確率の部分でしっかりと取り組みましょう。

使い方

おすすめ使用期間

1ヶ月～1ヶ月半

解説を読みながら、例題を解いてみましょう。
解説はまず問題文のとらえ方から始まり、樹形図のような基本的な部分を含めて解説しているため、苦手意識のある人でも理解しやすいはずです。
特に苦手意識のある人は初めて知る考え方なども含まれると思うので、しっかりと意識して読むようにします。

また、解説部分では別解も豊富なため、他の問題にも応用がきくような多彩な考え方が学べます。
気をつけたいのは、分からない点は1回で全部を理解しようとしないことです。
本書にも書いてありますが、ある程度読んでも理解しにくい点は印をつけ、とばして先に進みましょう。

ある程度進んでから読み直して分かる、ということもあります。
期待値・分散・二項定理の部分は特に難しいので、何度も繰り返したり、時間をおいて読み直すようにしましょう。

1ランク成績を上げるための使い方

この参考書を使用しているということは、他の参考書で確率分野を勉強したけど理解できなかった、という場合が多いかと思います。
「ハッとめざめる確率」をある程度理解できたら、他の参考書の確率分野で問題演習に取り組んでみましょう。
理解のきっかけがつかめているため、より効果が上がっているかと思います。
しっかり活用して、確実に得点源にできるようにしましょう。

この参考書によくある質問集

ここではこの参考書によく当塾に寄せられる質問をQ＆A形式でお答えします。
解答はプラトン先生にお答えいただきます。
[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom1.gif" name="質問1"]「ハイレベル演習」まで全てできるようになる必要はありますか？[/speech_bubble]
[speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="platon1.jpg" name="プラトン先生"]難関大学で確率を得点源にしたい場合は取り組んでもいいと思いますが、基本的には場合の数・確率の基本を学ぶためのものであるため、「ハイレベル演習」は必要ない場合も多いです。場合の数と確率の基本を学んだら、他の参考書の確率分野で演習を重ねましょう。[/speech_bubble]
[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitow1.gif" name="質問2"]別解も含めてできるようになる必要はありますか？[/speech_bubble]
[speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="platon1.jpg" name="プラトン先生"]いきなり別解の考え方も含めて理解する必要はありません。ですが、もし例題が簡単に解けた場合は、他の問題へ応用することも考えて別解の考え方を読んでみるといいでしょう。[/speech_bubble]

【数学】”円”の周辺

2017.04.03

今回は座標での”円”について考えてみたいと思います。教科書に、「中心（a,b）、半径rの円の方程式はと表せる。」なんて天下り的に書かれていますが…はじめて目にした人はwhy?と思うでしょう。皆さんには小学校のころ、円を書くのに、コンパスという道具を使ったことがありますね。これは、針と芯のキョリ

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今回は座標での”円”について考えてみたいと思います。
教科書に、「中心（a,b）、半径rの円の方程式は

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

と表せる。」なんて天下り的に書かれていますが…はじめて目にした人はwhy?と思うでしょう。

皆さんには小学校のころ、円を書くのに、コンパスという道具を使ったことがありますね。これは、針と芯のキョリを２cmとか３cmとか決めて円を書いたのを覚えているでしょう。針（a,b）、芯（x,y）、キョリ（d）とすればコンパスは $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=d^{2}$ の円を描いたというわけです。

また、（＊）は、r＞0なので、

$r= \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}$

を変形すると、この√の中身に見覚えがありませんか？

そう！２点間のキョリです。つまり、（a,b）と（x,y）のキョリが一定値ｒに保たれるというわけです。

このように考えると、（＊）の意味がしっくりくるのではないでしょうか？

早速、円の様々な問題にあたっていきましょう。

■問１

a,bは実数でa>0とする。

$x^{2}+y^{2}=1$ と放物線 $y=ax^{2}+b$ の共有点の個数をｍとする。

m=2,3,4となるためのa,bの必要十分条件を求めよ。　（2015・大阪市立・理・後期）

さて、解く前に以下考えてみましょう

$x^{2}+y^{2}=1$ と $y=px+q (p>0)$ の交点は、

$x^{2}=px+q \rightleftharpoons x^{2}-px-q=0$ の解の個数を一致しました。

異なる２つの実数解をもつとき、共有点２コ

重解（解が１つ）のとき、共有点１コ

解なしのとき、共有点０コ　　　でしたね。

いま、「実数係数多項式： $f(x)= a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_{0}=0$

の実数解の個数は高々nコ」という有名事実が本問では大事です。また、２次関数と直線では問題になりませんでしたが、２次関数と円ではどのような位置関係があるのかも含めて考察していきましょう。皆さん紙とペンを用意して、位置関係を紙にできるだけたくさん書いてみましょう。

なんとなくb>0のときは素直そうだけど、b=-1らへんがゴチャゴチャするな〜くらいのイメージが湧けばOKです。

$x^{2}+y^{2}=1$ ・・・①と $y=ax^{2}+b$ ・・・②から $x^{2}$ を消去して、

$\frac{y-b}{a}+y^{2}=1\rightleftharpoons y^{2}+\frac{1}{a}y-(1+\frac{b}{a})=0$ ・・・③（左辺をf(y)）

③は①と②の共有点に関する条件。
- |y|>1のとき解なし
- |y|=±1のとき解１コ
- |y|<1のとき解２コ　　　　です。
最後のは、③での解が１つ決まれば、①、②はxについての２次式なので、xの解が±で２つでてくるということに注意です。

（③の左辺の判別式） $\rightleftharpoons(\frac{1}{a})^{2}+4(1+\frac{b}{a})$ （=Dとする。）

ここまで準備すれば、あとは解いていくだけです。

［m=2のとき］

m=2 $\rightleftharpoons$

「|y|<1に③の解が１つ」or 「|y|<1に③が重解をもつ」

（イ）　（上の(ⅲ)）　　　（ロ）　（上の(ⅶ)）

（イ）のとき、必要十分条件は下図より、 $f(1)・f(-1)<0\rightleftharpoons -1<b<1$

（ロ）のとき、必要十分条件は、D=0かつ、 $-1<-\frac{1}{2a}<1$ （軸の位置）

$\rightleftharpoons 4a^{2}+4ab+1=0$ かつ $a>\frac{1}{2}$

よって、求める条件は、「-1<b<1」or「 $4a^{2}+4ab+1=0$ かつ $a>\frac{1}{2}$ 」・・・（答）

[m=3のとき]

y=±1で共有点1コ、|y|<1に解1つで共有点２コなので、

m=3 $\rightleftharpoons$ 「③がy=±1と|y|<1に解1つをもつ」

③について解と係数の関係より、α+β=（α、βは③の解）で、α=1とすると、β= $-\frac{1}{a}-1$ だが、a>0より、β<-1で、βは-1<y<1の間に存在せず不適。（これは(ⅰ)〜(ⅶ)からも納得）

よって、α=-1で、 $β=1-\frac{1}{a}$ が-1<β<1に存在するので、 $-1<1-\frac{1}{a}<1\rightleftharpoons a>\frac{1}{2}$

また、解と係数の関係より、 $(-1)(1-\frac{1}{a})=-(1+\frac{b}{a})\rightleftharpoons b=-1$

求める必要十分条件は、 $a>\frac{1}{2}$ かつb=-1・・・（答）

[m=4のとき]

m=4 $\rightleftharpoons$ 「③が|y|<1に２つ解をもつ」

$\rightleftharpoons$ 「D>0 かつf(1)>0かつf(-1)>0かつ $-1<-\frac{1}{2a}<1$ 」

$\rightleftharpoons 4a^{2}+4ab+1>0$ かつb<1かつb<-1かつ $a>\frac{1}{2}$

$\rightleftharpoons4a^{2}+4ab+1>0$ かつb<-1かつ $a>\frac{1}{2}$ ・・・（答）

■なんとなく答えが図の通りになりましたね。
また、今回は③をx消去したましたが、yを消去して、

$x^{2}+(ax^{2}+b)^{2}=1 \rightleftharpoons ax^{2}+(2ab+1)x^{2}+b^{2}-1=0$ で、

$x=t^{2}$ などとおいて、 $at^{2}+(2ab+1)t+(b^{2}-1)=0$ と2次方程式に帰着することもできます。

少し難しい問題だったかもしれませんが、実は、円の２次関数の位置関係は頻出で、毎年どこかの大学で出題されています。

このレベルくらいは処理できるようにしておくとよいのかなと思います。
先程は、代数的要素が強かったですが、今度は図形的は問題を扱って見たいとおもいます。

▶問２

座標平面において、円C1 $x^{2}+y^{2}=16$ 、円C2 $(x-a)^{2}+y^{2}=9$ （a>0）の共通接線の本数をmとおく。次の問に答えよ。

（1）m=1,2,3,4となるaの条件を求めよ。
（2）m=3のとき、その共通接線の方程式をすべて求めよ。　（2014・立命館大・理系・)（3）省略）

まず、2円の位置関係を考えてみましょう。

半径Rの円C1、半径rの円C2、C1C2の中心間キョリをdとします。

・2円が互いに外側にある⇆d>R +r…（イ）

・2円が外接する　　　　⇆d=R+r…（ロ）

・2円が内接する　　　　⇆d=｜R-r｜…（ハ）

・一方が他方の内側にある⇆d<｜R-r｜…（二）

・2円が2点で交わる　　⇆｜R-r｜<d<R+r…（ホ）

は有名でご存知の方も多いと思います。

本問はこの知識と共通接線を結びつけて考えていくことになります。
解（1）

円が一方の外にあると少なくとも2本の接線が引けるので、m=1のとき、円が内包されていないといけない。

円C1: $x^{2}+y^{2}=4^{2}$

円C2: $(x-a)^{2}+y^{2}=3^{2}$

[m=1のとき]

m=1⇆（ハ）

a=|4-3|⇆a=1

[m=2のとき]

m=2⇆（ホ）

⇆1<a<7

[m=3のとき]

m=3⇆（ロ）

⇆a=7

[m=4のとき]

m=4⇆（イ）

⇆7<a

解　（2）

l1はx軸に垂直なので、x=4

いま、 $x^{2}+y^{2}=4$ の(x,y)=(4cosθ,4sinθ)における接線は

(4cosθ)x+(4sinθ)y=16

⇆cosθx+sinθy=4…①で、①と(7,0)の距離が3であるから、

$\frac{|7cosθ-4|}{\sqrt{cosθ^{2}+sinθ^{2}}}$ =3

⇆cosθ= $\frac{4\pm3}{7}$

・cosθ=1のときsinθ=0でlに一致。

・cosθ= $\frac{1}{7}$ のときsinθ=± $\frac{4\sqrt{3}}{7}$ で接線は $\frac{1}{7}$ x± $\frac{4\sqrt{3}}{7}$ y=4

以上から、x-4=0,x± $4\sqrt{3}$ y-28=0…（答）

■半径 $x^{2}$ + $y^{2}$ = $r^{2}$ 上の点を文字でおくとき、(x,y)=(rcosθ,rsinθ)と設定するのは有名です。 $sinθ^{2}$ + $cosθ^{2}$ =1を使えたり、三角関数とうまく適応できるので便利です。

■ $(x-a)^{2}$ + $(y-b)^{2}$ = $r^{2}$ 上の点(X,Y)での接線は(X-a)(x-a)+(Y-b)(y-b)= $r^{2}$ となります。

法線ベクトルを用いて証明できますから、証明は各々にゆだねます。

円の問題はとてもバラエティに富んでいるので、色々取り組んで円のセンスを磨いてみて下さいね。

早稲田大学政治経済学部【数学】|　本番で圧勝の徹底対策シリーズ

2017.04.01

注意！早稲田大学政治経済学部の入試は２０２０年度より数学は共通テストを利用することになりました。そのため、本ブログ記事は以後は参考になりませんので、ご注意ください。ページ目次早稲田大学政治経済学部全体概観：配点７０点出題概要対策1：証明問題の対策はどうすればよいのか？対策2：応用問題はどう対

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注意！
早稲田大学政治経済学部の入試は２０２０年度より数学は共通テストを利用することになりました。
そのため、本ブログ記事は以後は参考になりませんので、ご注意ください。

早稲田大学政治経済学部

早稲田大学政治経済部の数学は全分野からまんべんなく出題されています。出題形式も空所補充、記述式など様々です。
難易度は標準的ですが、証明問題や図示せよとった問題も出題され、正確かつ手際よく問題を解いていくことが必要です。
また本学部は社会科目との選択なため、理系の受験者も多く、数学選択者の数学力は他の文系数学の受験より高く、高得点勝負になります。
[toc]

全体概観：配点７０点

教科書レベルの基礎知識は必ず身につけておきましょう。
これをベースに理解力・応用力が試されます。
その上でそれらを総合的に考える力が求められます。そのため、系統的な基本的な知識の習得が必要です。
早稲田大学全般で言えることですが、解答時間があまりないので、ある程度のところで見切りをつけて違う問題を解いていき時間を無駄に使うことのないようにしましょう。

出題概要

数学I、II、A、Bにすべての範囲からまんべんなく出題されます。数列、ベクトル、整数問題、確率が頻出問題にとなっています。

対策1：証明問題の対策はどうすればよいのか？

まずは教科書に載っているような公式の証明などをやってみましょう。証明問題の答案作成は時間をかけなければ身につきません。
また証明の際には筋の通った答案が書けなければなりません。そのため証明問題を解いたら先生などに見てもらって添削してもらいましょう。
論理の穴をなくすには同値性、必要十分性に気を配ると論理的欠陥は少なくなっていくと思います。
また自分で自明だと思っていることは必ずしも普遍的心真理とは限らないので、記述は丁寧めに書いていきましょう。

対策2：応用問題はどう対策すればいいのか？

まず応用問題を解くにしても基本が大切です。そのため教科書の節末、章末問題は理解した上で解く必要があります。標準的な問題をたくさん解いて解法に慣れましょう。いわゆる応用問題もほとんどの場合、基本的な知識の組み合わせでしかありません。また応用問題と言っても必ずしも合否に関わるとは限りません。
１問だけ難問で他の問題が超基本だったら、その１題で差が付きますが、それだと試験として機能しないので、多くは基本、標準、応用とバランスよく配置されます。本番では基本、標準は正確に処理しておきましょう。
そのうえで応用問題にも喰らいついて得点を伸ばしていけると良いですね。
理系の生徒をはじめ、数学が得意な生徒は全ての問題に正解できるようにしたいところでしょう。

対策３：時間内に解ききるにはどう対策すればいいのか？

６０分という時間に割りに問題が多いので、①解答のまとめ方や、②計算力の向上が求められます。
①については、実際に過去問を解いたりしてこうやればいいんだというのを身体でつかみましょう。
②については普段から計算の訓練をして、計算過程を疎かにせず、正確な計算を心がけましょう。

また試験が始まったら、全体を俯瞰し、解ける問題から確実にとっていきましょう。１つ完答すると安心しますし、自分のペースがつかめると思うのでまずは１完を目指しましょう。本番はいつも通りの力を発揮できるように焦らず、問題文をよく読んで落ち着いて挑みましょう。

実際の問題を見てみましょう！

▶2014年大問３（１）、（２）

（１)は教科書の例題として載っているレベルの問題です。そのためここは絶対に落とせません。

(２)(i)も基本的な問題ですが、ここでは計算が楽になる方法を紹介します

（解）与えられている放物線 $C_{1}, C_{2}$ を以下のように変形します。

$a_{1} x^{2}+ b_{1}x-y=0, a_{2} x^{2}+ b_{2}x-y=0$

そして、以下のような式を立てます。（この考え方を束と言います。普段は円で使うことが多いですがこの場合も適用できます。）

$a_{1} x^{2}+ b_{1}x-y- k\big( a_{2} x^{2}+ b_{2}x-y\big) =0~~~~(1)$

束の考え方よりこの図形は $C_{1}, C_{2}$ のグラフの交点を通る。

今回、直線が通るということより $k= \frac{a _{1} }{ a_{2} }$ である。

（今回考えるのは直線なので、xの二次の係数が０になるようにkを選びます。）

この結果を(1)に代入すると、

$a_{1} x^{2}+ b_{1}x-y- \frac{a _{1} }{ a_{2} }\big( a_{2} x^{2}+ b_{2}x-y\big) =0$

$a_{1} x^{2}+ b_{1}x-y- \frac{a _{1} }{ a_{2} } a_{2}x^{2}- \frac{a _{1} }{ a_{2} }b_{2}x+\frac{a _{1} }{ a_{2} }y=0$

∴ $b_{1}x-y- \frac{a _{1} }{ a_{2} }b_{2}x+\frac{a _{1} }{ a_{2} }y=0$

∴ $\frac{a _{2} - a_{1} }{ a_{2} } y= \big( b_{1}- \frac{a _{1}b_{2} }{ a_{2}} \big) x$

∴ $\frac{a _{2} - a_{1} }{ a_{2} } y= \frac{a _{2} b_{1} -a _{1} b_{2}}{ a_{2} }x$

∴ $y= \frac{a _{2} b_{1} -a _{1} b_{2}}{ {a _{2} - a_{1} } }x$

∴ $m= \frac{a _{2} b_{1} -a _{1} b_{2}}{ {a _{2} - a_{1} } }$

今回の問題は（２）は答えのみなのですが、記述の練習も兼ねて答案作成してみましょう。書いてみたら、ぜひ先生に添削してもらいましょう。

▶2016年　大問4

(2)(ⅱ)が最大の山場で、1つ飛ばしの $a_k=a_{k+2}$ に気付けるかどうかが肝心です。計算はそこまで重くないので、丁寧に考えていきましょう。

解

(1)長方形の内角は90°で、対角線ACは中心Oを通るので、長方形ABCDの面積をTとして、T=2( $\frac{1}{2}$ ・AB・BC)=2( $\frac{1}{2}$ 2cosx・2sinx)=2sin2x…(ア)

0<x< $\frac{\pi}{2}$ ⇄0<2x<πより2x= $\frac{\pi}{2}$ ⇄x= $\frac{\pi}{4}$ で最大値2をとる。…(イ)(ウ)

(2)(ⅰ) $|OA_k|=|OA_{k+1}|$ =1より△ $OA_k A_{k+1}$ は二等辺三角形である。よって∠ $OA_{k+1}A_k=\theta_k$ であるから $a_k=1({\pi}-2\theta_k$ )=π-2 $\theta_k$ …(答)

$\theta_k+\theta_{k+1}=\alpha$ で、 $a_k$ と同様に、

$a_{k+1}$ = $1(\pi-2\theta_{k+1})=\pi-2(\alpha-\theta_k)$ …(答)

∴ $a_k+a_{k+1}=2(\pi-\alpha)$ …(答)

(ⅱ)(ⅰ)より、 $a_k+a_{k+1}=a_{k+1}+a_{k+2}<a href="=2(π-α)">/latex</a>⇄[latex]a_k=a_{k+2}$ …①である。

・n=2m+1のとき(m≧1)

①より $a_1=a_3=\ldots=a_{2m+1}$

$a_2=a_4=\ldots=a_2m=a_{2m+2}$

$A_{n+1}=A_1$ から、 $a_1=a_{2m+2}$ であるからすべての円弧が等しい。

∴nが奇数のとき、n角形 $A_1 A_2\ldots A_n$ が正n角形になることが示された。(q.e.d)

(ⅲ)・n=2m(m≧2)のとき、①より

$a_1=a_3=\ldots=a_{2m+1}$

$a_2=a_4=\ldots=a_{2m}$

であるから $\theta_1=\theta_3=\ldots=\theta_{2m-1}$ ⇄ $\theta_1=\theta_3=\ldots=\theta_{n-1}$ が成り立つことが示された。(q.e.d)

右図の斜線部の面積を $S_1$ とすると、

$S_1=\frac{1}{2}\cdot1^2\cdot\sin(\pi-2\theta)+\frac{1}{2}\cdot1^2\cdot\sin\{\pi-2(\alpha-\theta)\}$ とかけ、 $S_n(\theta)$ は $S_1$ の $\frac{n}{2}$ 倍であるから、 $S_n(\theta)=\frac{n}{2}\langle\frac{1}{2}\sin2\theta+\frac{1}{2}\sin\{2(\alpha-\theta)\}\rangle=\frac{n}{4}\langle\sin2\theta+\sin\{2(\alpha-\theta)\}\rangle$ …(答)

(ⅳ)正n角形の内角の和は(n-2)πであるから、nα=(n-2)π⇄ $\alpha=\frac{n-2}{n}\pi$ …②

$S_n(\theta)=\frac{n}{4}\langle\sin2\theta+\sin\{2(\alpha-\theta)\}\rangle=\frac{n}{4}\cdot2\sin\{\frac{2\theta+(2\alpha-2\theta)}{2}\}\cdot\cos\{\frac{2\theta-(2\alpha-2\theta)}{2}\}=\frac{n}{2}\cdot\sin\alpha\cdot\cos(2\theta-\alpha)$

②より、αはnの関数でθは含まないので、cos(2θ-α)のとりうる最大値を考えれば十分。

0<2θ<πより-α<2θ<π-α

よって、cos(2θ-α)は2θ-α=0⇄ $\theta=\frac{n-2}{2n}\pi$ のとき、最大となり、その最大値は $\frac{n}{2}\cdot\sin(\frac{n-2}{n}\pi)$

[解説]

A

(1)は問題ないでしょう。

(2)のn角形は少し珍しかったかもしれません。多くの人は、正n角形が円に内接する問題に出会ったことがあると思いますが、本問は正多角形とは限りません。もしかしたら、正n角形として議論してしまった人もいるかもしれないので、まず定義を確認します。

定義：全ての辺の長さが等しい(イ)かつ全ての内角の大きさが等しい(ロ)とき、その多角形を正多角形という。

本問は、(ロ)のみ与えられていたので、正n角形とは限らないということですね。

では(ロ)のみならどのような反例が存在するのか考えてみると右図のような1つ飛ばしで合同な図形が挙げられます。このとき、 $\theta_1+\theta_2=\alpha$ となり、条件を満たします。

では逆に(イ)のみならどうなるでしょうか？

右図のようにハチャメチャなものもありえてしまいますね？

以上の考察から(イ)(ロ)が正n角形の必要十分条件であることがわかります。

B

(ⅱ)で導いた $a_k=a_{k+2}$ を幾何的に考えてみます。

まず、 $\angle OA_1A_2=\angle OA_2A_1=\theta_1$ となるように円周上に点 $A_1A_2$ を決めます。[ステップ1]

次に、 $\angle A_1A_2A_3=\alpha_2$ となるように円周上に点 $A_3$ を定めます。[ステップ2]

$\theta_1+\theta_2=\alpha$ で、次は $\theta_2+\theta_3=\alpha$ になるように $A_4$ を定めたいのですが、そうするには、0<α<πより、 $\theta_3=\theta_1$ しかありえません。[ステップ3]

∴帰納的に $\theta_k=\theta_{k+2}$ となることが分かります。こうやって、順々に考えていくと、①の結果にも納得がいきますし、この発想をしっかりと厳密に記述すれば答案としても成り立ちます。

C

さて、Bから相似な三角形が1つ飛ばしに並んでいくことが分かりました。

(Ⅰ)nが奇数のとき、 $A_2 A_3 \ldots A_n$ と定めていくと、△ $OA_1A_2$ は $\triangle{OA_nA_1}\equiv\triangle{OA_1A_2}$ となります。

このとき、 $\theta_1+\theta_2=\alpha$

$\theta_1+\theta_1=\frac{\alpha}{2}$ ですから、

$\theta_1=\theta_2=\frac{\alpha}{2}$ で、 $\triangle{OA_1A_2}\equiv\triangle{OA_2A_3}\ldots\equiv\triangle{OA_nA_1}$ となり、正n角形となるしかないことが分かります。

(Ⅱ)nが奇数のとき $\triangle{OA_nA_1}\equiv\triangle{OA_2A_3}$ となるので正n角形に限らないことも分かりますね。

D

$S_n(\theta)=\frac{n}{4}\langle\sin2\theta+\sin\{2(\alpha-\theta)\}\rangle=\frac{n}{4}\cdot2\sin\{\frac{2\theta+(2\alpha-2\theta)}{2}\}\cdot\cos\{\frac{2\theta-(2\alpha-2\theta)}{2}\}$ と変形しましたが、和積公式を用いました。

和積について少し述べておきます。

加法定理より、

$\sin{(x+y)}=\sin{x}\cos{y}+\cos{x}\sin{y}$ ・・・（ハ）

$\sin{(x-y)}=\sin{x}\cos{y}-\cos{x}\sin{y}$ ・・・（二）

（ハ）＋（二）より、 ${\sin{(x+y)}+\sin{(x-y)}}=2\sin{x}\cos{y}$ ・・・（＊）です。

これは、x,yを別々に含んだ関数の和と積に、積を和にすることができるので、大変重宝します。本問では、 $\sin{2\theta}$ 、 $\sin{2(\alpha-\theta)}$ と変数 $\theta$ を別々に含んでいるため、最大値の $\theta$ の挙動がわかりません。そういうときは、２つの $\theta$ の三角関数を１つの関数で表せば、終えることがわかりますね。

今回は、 $\begin{cases}x+y=2\theta \\ x-y=2(\alpha - \theta )\end{cases}$

を連立して解くことで、

$x=\frac{2\theta+2(\alpha-\theta)}{2},y=\frac{2\theta+2(\alpha-\theta)}{2}$

が求まります。

和積の公式は他にもありますが、加法定理からいずれも導くことができます。一度は自分の手で導いてみましょう。

E

さて、結局答えが $2\theta=\alpha$

（正n角形）となりましたが、これは前もって予想することができます。（１）のとき、n=4を借りてかんがえてみます。

（ $A_{k},A_{k+1},A_{k+2}$ において、 $A_{k},A_{k+2}$ を固定して $A_{k+1}$ の位置を考えればよいので、 $|\overline{A_{k},A_{k+2}} |$ が円の半径になるn=4で簡単に考える。）

いま、 $A_{1},A_{3}$ を図のように固定して、 $|\overline{A_{1},A_{3}} |$ を底辺、 $A_{2}$ から $A_{1}A_{3}$ に降ろした垂線の長さを（h）とすると、 $|\overline{A_{1}A_{3}} |$ が定数なので、hが最大になるのは $\widehat{A_{1}A_{3}}$ の中心になるときです。

これを答案にしても最後の（ⅵ）は埋まります。このような予想ができるので（２）は（ⅱ）（ⅲ）が解けなくても、（ⅳ）が穴埋めなので、（ⅳ）は得点できます。こうやって答えを予想できることも多々あるので、普段から多角的に考えるようにしましょう。

［総括］

2016年度のセットの中で一番難しい問題を扱ったが、難易度は標準＋αくらいだろう。（１）、（２）（ⅰ）くらいは最低限確保したい。論証も特にやっかいなところはないので、心配しなくともよい。
予備校の評価が”難しい”とかかれているが、はったりである。
３０分程度で完答できればOK！

自分だけで学習するのは大変ですので、指導者に相談することをお勧めします。
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【使い方】入試数学の掌握｜圧倒的に成績を伸ばす方法

2017.03.15

参考書の特色対象者入試数学の標準問題は解けるようになったけど…応用問題になると手が止まってしまう…という人向け。巷に出回っている参考書では解答がいきなり書かれているもの(青チャートなど)、別解ばかりが乱雑的に並んでいるもの(やさ理、ハイ理)、解法がエレガントでついていけないもの(大学への数学)

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参考書の特色

対象者

入試数学の標準問題は解けるようになったけど…応用問題になると手が止まってしまう…という人向け。
巷に出回っている参考書では解答がいきなり書かれているもの(青チャートなど)、別解ばかりが乱雑的に並んでいるもの(やさ理、ハイ理)、解法がエレガントでついていけないもの(大学への数学)などバラエティー豊富ですが、、、いずれもなぜその解法が思いついたのか、思考の過程が詳しく書かれていないものが多いのも現状です。

元々ある程度数学に精通していれば、考える力もあり、解答だけ書いてあっても理解できるのですが、万人がそうであるとは限りません。

数学の問題を解く時の思考の仕方を系統的に並べ、分野を単元ごとの縦で分割するのではなく、すべての分野を再構築し、横に並べたのが本書です。
はしがきには、理三、京医、阪医を目指す人向けと書いてありますが、数学で本番絶対的なアドバンテージを得たい人は一読の価値があると思います。

使い方

使用時期:受験期の夏(７〜９月の前半)

使用期間：１〜２ヶ月

本書は全部で３冊であり、分野ごと並べると、

＊総論編…
①全称命題の扱い
②存在命題の扱い

＊各論錬磨編…
③通過領域の極意
④論証武器の選択
⑤一意性の示し方

＊各論実践編…
⑥解析武器の選択
⑦ものさしの定め方
⑧誘導の意義を考える。

から成ります。
分野の名前からもなんとなく察しがつきますが、論証に重きが置かれています。
証明がわからんという人や通過領域をしっかり学びたい人など自分の弱点や目標が明確な人はやる価値は十分にあります。
また全分野をやる必要は必ずしもありません。

さて本書の進め方ですが、問題をしっかりと解いてももちろんよいのですが、本書は考え方を学ぶ本なのでしっかりと答案を作るより、頭のなかで例題の解法をイメージする→解説を熟読する→check問題をその考え方を使って考え抜くの最後に重きを置くと効率的に進みます。

使用時期が夏なのも、夏の冠模試の前後で少なからず志望校の問題には目を通すと思うのでそれに合わせて解法の幅を広げたり、弱点補強に努めることで、秋からの演習にスムーズに移行できます。

本書をやった後には、やさ理、ハイ理などの別解が多く載っている問題集や志望校の過去問で演習をすることで、掌握での知識も確固たるものになりますし、別解の思考法も掴めるようになり、解答の幅がさらに広がります。

使用上の注意

本書は俗にいう横割り本なため、数学の勉強において必要十分かといわれるとそうではありません。
志望校の出題形式にもよります、旧帝大のように難しい問題を記述式で出す論証力を重んじる大学と、早慶のように標準レベルの問題を決まった時間内に解く処理力重視の試験では使う力は違います。
難易度が高いからという理由で手を出す単細胞人間がいますが、志望校や自分のレベルに合っているのか、今の自分に必要なのかをしっかり吟味してから使うようにしましょう。
個人的にこの本は誘導がほとんどない問題を出す京大を志望校に据える受験生が取り組むと最大限に力を発揮すると思います。

数学で成績が出なくてお悩みのそこのあなた！

当塾では偏差値30からの早慶専門塾として、勉強してどうして成績が出ないのか？を完全に理解しています。数学には勉強のコツがあります。
どのようにして数学の成果を上げるのか？の対策の一部をこちらのページでご紹介しています。まずはこちらをご覧になってください。
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【使い方】文系数学/理系数学の良問プラチカ|圧倒的に成績を伸ばす方法

2017.02.04

ページ目次参考書の特色使い方1ランク成績を上げるための使い方この参考書によくある質問集参考書の特色対象者入試数学で得点を稼げるようになりたい方(偏差値65前後の方) 「1対1」や「青チャート」のような解法暗記型の問題集が解けている状態の人向けの問題集です。難関大学で解いておきたいレベルの問題

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参考書の特色

対象者 入試数学で得点を稼げるようになりたい方(偏差値65前後の方)

「1対1」や「青チャート」のような解法暗記型の問題集が解けている状態の人向けの問題集です。
難関大学で解いておきたいレベルの問題集となっており、過去問に取り組む前の仕上げの問題集としても使えるレベルです。この問題集を仕上げられれば過去問に取り組むのに十分な力がついていると思います。

ですが、もし入試までに時間がなく、他の科目が十分でない場合は他の科目に時間を使う方が有効な場合もあります。
受験は全科目の総合力が必要となるので、受験までの期間と自分の不足している部分とを見極める必要があります。
文系Ⅰ・A・Ⅱ・Bが142題、理系Ⅰ・A・Ⅱ・Bが153題、理系Ⅲが76題と、多すぎず少なすぎない問題数となっています。
解答解説は解法のポイントが簡潔にまとまっており、自分の理解度を確かめるのにも役立ちます。

使い方

おすすめ使用期間 2ヵ月～3ヶ月

この問題集を使用している時期ですと、入試本番を意識した問題演習が必要となってくるはずですので、1問1問で解答時間の上限を決めて取り組みましょう。
1問あたり20~25分程度、長くても30分程度がいいかと思います。ある程度考えて解けない場合は解答を見て理解するのも大事です。
ですが、その場合もインプット型問題集のように「分からなければすぐに解答を見る」のではなく、10～15分程度考えてみましょう。
今まで身につけた解法の組み合わせで解けるような問題が多いので、ある程度考えて試行錯誤するような時間をとることが大事です。
また、特に文系数学Ⅰ・A・Ⅱ・B版と理系数学Ⅲ版はレベルが高い問題が多いため、全ての問題を完璧にしなければいけない訳ではありません。
特にレベルの高い応用問題にはマークがついているので、まずはマークがついていない問題についてしっかり身につけることが大事です。
もちろん、入試までに期間の余裕があれば応用問題も含めて繰り返すことができればなおよいです。

1ランク成績を上げるための使い方

2周目以降を解くのであれば、初見でできた問題は飛ばす等、自分で復習すべきと思った問題を中心に解くようにしましょう。
1周目で解けなかった場合でも、解答を理解でき、2周目で解答を再現できたのであれば、それ以降は解答の流れを確認するだけでも大丈夫かと思います。
入試直前期となるので、自分の解くべき問題を絞って効率的な学習を心がけましょう。

この参考書によくある質問集

ここではこの参考書によく当塾に寄せられる質問をQ＆A形式でお答えします。
解答はプラトン先生にお答えいただきます。

[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom1.gif" name="質問1"]文系、理系共に「数学Ⅰ・A・Ⅱ・B」版がありますが、違いはありますか？[/speech_bubble]
[speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="platon1.jpg" name="プラトン先生"]理系版は入試標準レベルの問題が多く、文系版は難関大学の入試で出るようなレベルの問題が載っています。ですが、基本的には自分が文系か理系かによってどちらを使用するかを決めるのがいいでしょう。[/speech_bubble]
[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitow1.gif" name="質問2"]解答・解説が簡潔なため、よく理解できません。[/speech_bubble]
[speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="platon1.jpg" name="プラトン先生"]この問題集は基本的に解法暗記型の参考書の後に取り組むものですので、解説が理解できない場合はそのような参考書での解法が身についていないかもしれません。理解できていない場合は、解法暗記型の問題集でどのようなパターンにあたるか、ということを確認するようにしましょう。[/speech_bubble]

【数学】不等式とは？これを知らないと数学人生が大きく変わる!

2016.12.04

不等式とは左辺と右辺の大小関係を示している式です。不等式で使われる記号は５つあります。このような記号を不等号といいます。ｘ＞ｙ：ｘがｙより大きいｘ＜ｙ：ｙがｘより大きいｘ≧ｙ：ｘがｙ以上（ｘがｙより大きい、又はｘとｙは等しい）ｘ≦ｙ：ｙがｘ以上ｘ＝ｙ：ｘとｙが等しい 5つあるといっても、

…続きを読む
[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]等式はわかるんだけど、不等式ってその反対って意味？[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]左辺と右辺、どっちが大きいとか小さいとかそういうやつよ。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]あーなるほど！以上とか未満とかよくわからないなー[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]確かに、不等式って等式よりもなんだか難しい。。[/speech_bubble]
不等式とは左辺と右辺の大小関係を示している式です。
不等式で使われる記号は５つあります。このような記号を不等号といいます。

ｘ＞ｙ：ｘがｙより大きい

ｘ＜ｙ：ｙがｘより大きい

ｘ≧ｙ：ｘがｙ以上（ｘがｙより大きい、又はｘとｙは等しい）

ｘ≦ｙ：ｙがｘ以上

ｘ＝ｙ：ｘとｙが等しい

5つあるといっても、不等号の口の開いている向きが反対なだけで、覚えることは全然ありませんね。
口の開いている方が大きい値、イコールが入ってるか入ってないかに気をつける。
これだけ意識しておけば問題ありません！

解くのもほぼ等式と同じように行うことができます。

”ほぼ”というように違うところもあるのでちゃんと読んでくださいね！

不等式の解き方

不等式も等式と同じように展開、移項、かけ算割り算を繰り返すことで
未知の文字について解くことができます。

注意が必要なのが不等式は等式と違って、負の数を両辺にかけたり割ったりする場合には不等号の向きを反転させる必要があるってことです。

これ、重要でしかも忘れちゃう人が非常に多いので頭に叩き込んでくださいね！

これはなぜかと言うと、
イメージ的には、負の数は数字自体が大きければ大きいほど値としては小さくなっていくというところと関係があります。
例えば、-2と-5という数字は数字が大きれば大きいほど小さくなりますね。
これはプラスの場合が大きい数字であればあるほど数が大きくなるプラスの場合とは、逆の関係ですね。

→上記のように、学校ではただルールとして教わっていることのなぜ？を考えることが数学や理科系の成績を上昇させるためのポイントです。
積極的になぜを考えるようにしていきましょう。

もうひとつ注意する点としては、不等号の種類や向きを勝手に変えないことです。

こちらも実際にやってみないと実感がわかないと思いますのでやってみます。

不等式の例題

問題：２ｘ＋８＞３ｘー３

答え：２ｘ−３ｘ＞−３−８　　　　←左側をｘだけにする

ーｘ＞−１１　　　　　　　　　　←ｘにマイナスがついてる！！

ｘ＜１１　　　　　　　　　　　　←不等号の向きを逆にする！

答えはｘ＜１１です。

不等号の向きを逆にするとはこういうことです。
マイナスをかける瞬間に一緒に逆にしなきゃってことです。

ちなみに移項をする操作では、マイナスがついてても不等号の向きを逆転させる必要はありませんよ。
これも間違う人が多いので注意です

基本の操作は方程式、連立方程式と同じです。そろそろ慣れてきましたか？

気をつけるのは不等号を逆転させる所だけですから、早めにマスターしてしまいましょう！

不等式は数学の基本ですが、不等式と同じくらい重要な概念に方程式もあります。方程式についてはこちらの記事をどうぞ！

[nlink url="https://hiroacademia.jpn.com/blog/5minutes/5minmt/hoteishiki/"]

【数学】連立方程式とは？| 5分でわかる受験のキソノキソ

2016.11.30

このように連立方程式を苦手としている人は多いのではないでしょうか。そもそも連立方程式とは、何本かの方程式がセットになって全部成り立っているやつのことで、方程式の本数分だけ、未知数（xとかyとか）の値を求める事ができます。つまり、方程式2本なら文字2つ（x、y）方程式が3本なら文字3つ（x、y、

…続きを読む
[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]連立方程式、いまいちどうしたら楽に解けるのかわからない…[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]連立方程式ってどんなのだっけ？[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]ほら、二本の方程式があるやつだよ[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]あれかあ…。どっちの式を何倍とかややこしいわよね(ToT)[/speech_bubble]
このように連立方程式を苦手としている人は多いのではないでしょうか。

そもそも連立方程式とは、何本かの方程式がセットになって全部成り立っているやつのことで、方程式の本数分だけ、未知数（xとかyとか）の値を求める事ができます。

つまり、方程式2本なら文字2つ（x、y）
方程式が3本なら文字3つ（x、y、z）まで求まるんです。

ここでは連立方程式として最もよく出題される「二元連立一次方程式」（2つの文字を含む連立された一次の方程式）の解き方をやっていきたいと思います！

連立方程式の解き方

連立方程式を解くには、主に2つの方法があります。

まず、代入法と呼ばれる方法です。
片方の式をx= や y= の形に変えて、それをもう片方の式に代入することで文字を１つ減らし、答えをもとめる方法です。

もう一つは加減法と呼ばれる方法です。
まず、式を何倍かすることで１つの文字について係数を合わせます。そこから、２つの式を足し引きすることでその文字を消去し、答えを求める方法です。

両方とも同じ答えがでるのでどちらで解いてもいいですが、
両方使えるようになってより早い方法を選べるようになっておくのが理想です！

では例題を見てみましょう。

連立方程式の例題

問題：ｘ＋ｙ＝３　ー（１）

２ｘ＋５ｙ＝９　ー（２）　　の連立方程式を解け。

答え：代入法で行う場合

ｘ＋ｙ＝３　を、ｘ＝ーｙ＋３に変形します。

これをもう片方の式に代入して、　２（ーｙ＋３）＋５ｙ＝９　　　←普通の1次方程式！

これを解くと、ｙ＝１

ｘ＝ーｙ＋３より、ｙの値を代入してｘ＝２

加減法で行う場合

ｘの係数を合わせることにします。
（１）式を２倍して、２ｘ＋２ｙ＝６

（２）ー（１）を行うと、３ｙ＝３　よってｙ＝１

（１）にこの結果を代入すると、ｘ＝２

以上が2つの解き方です。
当然ですが同じ答えにちゃんとなってますね！

この問題なら代入法と加減法、どちらのほうが良いと思いましたか？

この問題の場合、どちらでやっても手間はほとんど変わりません。
しかし、問題によっては代入法で解くのが面倒になってしまうものもあります。
例）連立方程式
3x+5y=13
2x-3y=-4　　　　　　を解け。

これを代入法、加減法でそれぞれ解いてみてください。
加減法が面倒な場合も多い、ということがわかると思います。

もし分からなかったら、あなたはこれから代入法愛用者になっても構いません☆
自分の好きな方法で解きましょう！

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参考書の特色

使い方

1ランク成績を上げるための使い方

この参考書によくある質問集

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