2018年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問4

方針の立て方

(1)
解に関する情報が与えられているので，解を文字で置くという解法を取ろう．
問題文では $a$ と $b$ が問われているため，解と係数の関係を用いて， $a$ と $b$ を引っ張り出すのが都合がいいと考えると方針を得られる． $\alpha,\beta,\gamma,a,b$ の未知数５つに対して，解と係数の関係で得られる方程式は５つあるため，この方程式を解きさえすれば答えが得られると判断し，後はひたすらに計算をする．

(2)
未知数が $a$ の一文字だけなので，一先ずは３次方程式をなんとか解けないかと考える．すると，２次方程式の問題に帰着させられる．
２次方程式に帰着させた後は，問題文で解のことが問われていることから，解の公式を使って，強引に解を表現することを試みる．後は必要条件で答えの候補を炙り出し，個々について十分性を検証することで，真の答えを絞り込んでいく．

解答例
(31)(32)(33)(34)…… $\frac{13}{04}$
(35)(36)(37)(38)…… $\frac{-3}{04}$
(39)(40)…… $04$
(41)(42)(43)(44)…… $\frac{02}{03}$

解説

(1)
共通解を $\alpha,\beta$ として，３次方程式のもう一つの解を $\gamma$ とする．解と係数の関係から，
$\begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=5 \\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=a \\ \alpha\beta\gamma=-3 \end{cases}$
$\begin{cases} \alpha+\beta=1 \\ \alpha\beta=b \end{cases}$
これを解くと，
$\begin{cases} a=\frac{13}{4} \\ b=-\frac{3}{4} \end{cases}$ ……(答)

(2)
$3x^3-\left(a+1\right)x^2-4x+a=0\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left\{3x^2-\left(a+4\right)x+a\right\}=0$
$3x^2-\left(a+4\right)x+a=0$ の解は，
$x=\frac{a+4\pm\sqrt{\left(a+4\right)^2-12a}}{6}=\frac{a+4\pm\sqrt{a^2-4a+16}}{6}=\frac{a+4\pm\sqrt{\left(a-2\right)^2+12}}{6}$
よって，題意を満たすには， $\left(a-2\right)^2+12=n^2$ ( $n$ は４以上の自然数)が必要．
$\left(a-2\right)^2+12=n^2\Leftrightarrow\left(n-a+2\right)\left(n+a-2\right)=12$
$n-a+2とn+a-2$ はともに整数で， $n+a-2\geqq3$ であるから，上式を満たす可能性があるのは，
$\begin{cases} n-a+2=4 \\ n+a-2=3 \end{cases},\begin{cases} n-a+2=3 \\ n+a-2=4 \end{cases},\begin{cases} n-a+2=2 \\ n+a-2=6 \end{cases},\begin{cases} n-a+2=1 n+a-2=12 \end{cases}$
の４つである．これらを解くと，順番に，
$\begin{cases} n=\frac{7}{2} \\ a=\frac{3}{2} \end{cases},\begin{cases} n=\frac{7}{2} \\ a=\frac{5}{2} \end{cases},\begin{cases} n=4 \\ a=4 \end{cases},\begin{cases} n=\frac{13}{2} \\ a=\frac{15}{2} \end{cases}$
$n,a$ はともに整数であるから，適当なのは， $\begin{cases} n=4 \\ a=4 \end{cases}$ のみ．これより，答えは， $a=4$ のときで，整数ではない有理数解は $\frac{2}{3}$ ……(答)