5分でわかる受験のキソのキソ | 【慶應早稲田専門対策】個別指導塾ヒロアカ

【数学】素因数分解の真髄

2017.04.04

まず、N＝24について考えてみます。 N＝24＝で、約数をすべて列挙すると、{1,2,3,4,6,8,12,24}で約数の個数は、8コで約数すべての和は60です。次に、N＝24・3＝72について考えてみます。 N＝で、約数をすべて列挙すると、{1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,7

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まず、N＝24について考えてみます。
N＝24＝ $2^3\cdot3^1$ で、約数をすべて列挙すると、{1,2,3,4,6,8,12,24}で約数の個数は、8コで約数すべての和は60です。

次に、N＝24・3＝72について考えてみます。

N＝ $2^3\cdot3^2$ で、約数をすべて列挙すると、{1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72}で約数の個数は、12コで、約数のすべての和は195です。

これら3つから、約数の個数と約数のすべての和について考えてみます。

・N＝24のとき、{1,2,3, $2^2$ , $2\cdot3$ , $2^3$ , $2^2\cdot3$ , $2^3\cdot3$ }で、

$2^0$ は、1,3

$2^1$ は2, $2\cdot3$

$2^2$ は $2^2$ , $2^2\cdot3$

$2^3$ は $2^3$ , $2^3\cdot3$ に含まれていることが分かります。

つまり、 $2^k$ (0≦k≦3)は3の約数(1,3)とすべてかけられています。

逆に、 $3^0$ は1,2, $2^2$ , $2^3$

$3^1$ は3, $2\cdot3$ , $2^2\cdot3$ , $2^3\cdot3$ に含まれていますから、 $3^l$ (0≦l≦1)は2の約数(1,2, $2^2$ , $2^3$ )とすべてかけられています。

以上から約数の個数はN= $2^3\cdot3^1$ のべき乗部分に注目して、(1+3)(1+1)=4・2=8コと求められます。

和は、 $(2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1)=15\cdot4=60$ となります。

・N=72= $2^3\cdot3^2$ のとき、{1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72}

つまり、{1,2,3, $2^2,2\cdot3,2^3,\underline{3^2},2^2\cdot3,\underline{2\cdot3^2},2^3\cdot3,\underline{2^2\cdot3^2},\underline{2^3\cdot3^2}$ }

＿(傍線部)はN=24に含まれなかった約数です。＿(傍線部)も $2^0,2^1,2^2,2^3$
すべてかけられているので先程と同様に考えると、(1+3)(1+1+1)=(1+3)(1+2)=4・3=12コで、和は $(2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)=15\cdot13=195$ です。

■JMO(日本数学オリンピック)の予選の問題ですが、約数の個数という面で楽しんで頂けないでしょうか？

結局、 $(1+q_1)(1+q_2)\dots(1+q_n)$ をm=10, $q_i=1$ (1≦i≦m)として、重複を2で割ったのが本問でした。

ここまでくれば、アルゴリズムが見えてきますね。

$P_k$ (1≦k≦m)を素数として、 $N=P_1^{q_1}\cdot P_2^{q_2}\dots P_m^{q_m}$ と表されたNの約数の個数は、 $(1+q_1)(1+q_2)\dots(1+q_m)$

約数の総和は、 $(1+P_1+\dots+P_1^{q_1})(1+P_2+\dots+P_2^{q_2})\dots(1+P_m+\dots+P_m^{q_m})$ と一般化できます。

さて、小手調べに以下の問題にとりくんでみよう！

問1

ある整数の約数をすべて足すと168になり、約数の逆数をすべて足すと、2.8になる整数を求めよ。(有名問題)

解　 $N=P_1^{q_1}\cdot P_2^{q_2}\dots P_m^{q_m}$ とする。

$S=(1+P_1+\dots +P_1^{q_1})(1+P_2+\dots +P_2^{q_2})\dots (1+P_m+\dots +P_m^{q_m})=168$

$T=1+\frac{1}{P_1}+\frac{1}{q_1}+\dots +\frac{1}{P_1^{q_1}\cdot P_2^{q_2}\dots P_m^{q_m}}=2.8\rightleftharpoons \frac{P_1^{q_1}\cdot P_2^{q_2}\dots P_m^{q_m}+\dots +1}{P_1^{q_1}\cdot P_2^{q_2}\dots P_m^{q_m}}=2.8 \rightleftharpoons\frac{S}{N}=2.8 \rightleftharpoons N=\frac{168}{2.8}=\frac{1680}{28}=60$

∴N=60…(答え)

■多項式と関係が深いです

ただの丸暗記だと、上の式変形は難しいかもしれませんが、この記事を読んだ皆さんなら、簡単に解けたのではないでしょうか？

問2
正の整数の組み(a,b)であって、a<b,ab=29!を満たし、かつaとbが互いに素であるようなものはいくつあるか。(2017JMO 予選2)

解　29以下の素数は、{1,2,3,5,7,11,13,17,23,29}の10コである。

まず、a=bと仮定すると,ab=29!⇄ $a^2$ =29!=28!・29で、29の要素は1つしかなく、平方数にならない。よって、a≠bである。

29!= $P_1^{q_1}\cdot P_2^{q_2}\cdot P_3^{q_3}\dots P_{10}^{q_{10}}$ とする。

$q_i$ =x+y(1≦i≦10)、(1≦x≦ $q_i-1$ )として、たとえばaが $P_i^x$ 、bが $P_i^y$ を因数にもって、aとbが互いに素に矛盾するから、aとbは一方が $P_i^{q_i}$ をもつかどうかしかありえず、これは2通りである。

各 $P_i$ (1≦i≦10)について同じことがいえるので、 $2^{10}$ 通りだが、これにはa>bも含まれている。

対称性(aとbをいれかえても変わらない)より、a<bとa>bの個数は同じだから求める個数は $\frac{2^{10}}{2}=2^9=512$ 通り…(答)

【数学】微分とは？

2017.04.04

「はpを限りなくqに近づけるということで、p=qではありません。」が収束するとき、f(x)はx=aで微分可能であるといいます。ここで、と書きます。また、関数f(x)がx=aで連続であるというのはが成り立つことです。なんか難しくて、よくわかんね？と思う方も少なくないでしょうが、イメージ的には

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「はpを限りなくqに近づけるということで、p=qではありません。」
$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ が収束するとき、f(x)はx=aで微分可能であるといいます。ここで、 $f'(x)= \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h-f(a))}{h}$ と書きます。

また、関数f(x)がx=aで連続であるというのは $\displaystyle\lim_{x \rightarrow a}f(x)=f(a)$ が成り立つことです。

なんか難しくて、よくわかんね？と思う方も少なくないでしょうが、イメージ的には

（ⅰ）微分可能→接線がひける

（ⅱ）連続である→つながっている

ということです。

（ⅰ）を少し考えてみましょう。

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{f(a+h)-f(a)}{a+h - a}$

これなんか見覚えありませんか？そう。”直線の傾き”です。

$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ とは、hをどんどん小さくしていくということですから、図のようにx=aでのf(x)の接線の傾きを求めることに対応します。

つまり、 $\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ とは、x=aでのf(x)の接線を求める行為というわけです。

$f(x)=x^{3}$ のとき、 $f'(x)=3x^{2}$ となるのはみなさんご存知でしょう。これを微分の定義にしたがって求めてみます。

$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}(3x^{2}+3xh+h^{2})=3x^{2}$

となり、確かに一致しますね。
- 連続出ない例：y=tanx
- 連続だが、微分可能でない例：y=|x|
y=|x-a|はx=aで微分可能ではありません。

x<0で、y=-xなので、

$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{-x-0}{x-0}=-1$

x>0で、y=xなので、

$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{x-0}{x-0}=1$ で両者は一致しません。

つまり、x=0で、（傾き）=±1で2つ存在するので微分不可能です。
先ほどのf(x)でなめらかというのは、このように尖点が存在しないということです。

【数学】”円”の周辺

2017.04.03

今回は座標での”円”について考えてみたいと思います。教科書に、「中心（a,b）、半径rの円の方程式はと表せる。」なんて天下り的に書かれていますが…はじめて目にした人はwhy?と思うでしょう。皆さんには小学校のころ、円を書くのに、コンパスという道具を使ったことがありますね。これは、針と芯のキョリ

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今回は座標での”円”について考えてみたいと思います。
教科書に、「中心（a,b）、半径rの円の方程式は

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

と表せる。」なんて天下り的に書かれていますが…はじめて目にした人はwhy?と思うでしょう。

皆さんには小学校のころ、円を書くのに、コンパスという道具を使ったことがありますね。これは、針と芯のキョリを２cmとか３cmとか決めて円を書いたのを覚えているでしょう。針（a,b）、芯（x,y）、キョリ（d）とすればコンパスは $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=d^{2}$ の円を描いたというわけです。

また、（＊）は、r＞0なので、

$r= \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}$

を変形すると、この√の中身に見覚えがありませんか？

そう！２点間のキョリです。つまり、（a,b）と（x,y）のキョリが一定値ｒに保たれるというわけです。

このように考えると、（＊）の意味がしっくりくるのではないでしょうか？

早速、円の様々な問題にあたっていきましょう。

■問１

a,bは実数でa>0とする。

$x^{2}+y^{2}=1$ と放物線 $y=ax^{2}+b$ の共有点の個数をｍとする。

m=2,3,4となるためのa,bの必要十分条件を求めよ。　（2015・大阪市立・理・後期）

さて、解く前に以下考えてみましょう

$x^{2}+y^{2}=1$ と $y=px+q (p>0)$ の交点は、

$x^{2}=px+q \rightleftharpoons x^{2}-px-q=0$ の解の個数を一致しました。

異なる２つの実数解をもつとき、共有点２コ

重解（解が１つ）のとき、共有点１コ

解なしのとき、共有点０コ　　　でしたね。

いま、「実数係数多項式： $f(x)= a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_{0}=0$

の実数解の個数は高々nコ」という有名事実が本問では大事です。また、２次関数と直線では問題になりませんでしたが、２次関数と円ではどのような位置関係があるのかも含めて考察していきましょう。皆さん紙とペンを用意して、位置関係を紙にできるだけたくさん書いてみましょう。

なんとなくb>0のときは素直そうだけど、b=-1らへんがゴチャゴチャするな〜くらいのイメージが湧けばOKです。

$x^{2}+y^{2}=1$ ・・・①と $y=ax^{2}+b$ ・・・②から $x^{2}$ を消去して、

$\frac{y-b}{a}+y^{2}=1\rightleftharpoons y^{2}+\frac{1}{a}y-(1+\frac{b}{a})=0$ ・・・③（左辺をf(y)）

③は①と②の共有点に関する条件。
- |y|>1のとき解なし
- |y|=±1のとき解１コ
- |y|<1のとき解２コ　　　　です。
最後のは、③での解が１つ決まれば、①、②はxについての２次式なので、xの解が±で２つでてくるということに注意です。

（③の左辺の判別式） $\rightleftharpoons(\frac{1}{a})^{2}+4(1+\frac{b}{a})$ （=Dとする。）

ここまで準備すれば、あとは解いていくだけです。

［m=2のとき］

m=2 $\rightleftharpoons$

「|y|<1に③の解が１つ」or 「|y|<1に③が重解をもつ」

（イ）　（上の(ⅲ)）　　　（ロ）　（上の(ⅶ)）

（イ）のとき、必要十分条件は下図より、 $f(1)・f(-1)<0\rightleftharpoons -1<b<1$

（ロ）のとき、必要十分条件は、D=0かつ、 $-1<-\frac{1}{2a}<1$ （軸の位置）

$\rightleftharpoons 4a^{2}+4ab+1=0$ かつ $a>\frac{1}{2}$

よって、求める条件は、「-1<b<1」or「 $4a^{2}+4ab+1=0$ かつ $a>\frac{1}{2}$ 」・・・（答）

[m=3のとき]

y=±1で共有点1コ、|y|<1に解1つで共有点２コなので、

m=3 $\rightleftharpoons$ 「③がy=±1と|y|<1に解1つをもつ」

③について解と係数の関係より、α+β=（α、βは③の解）で、α=1とすると、β= $-\frac{1}{a}-1$ だが、a>0より、β<-1で、βは-1<y<1の間に存在せず不適。（これは(ⅰ)〜(ⅶ)からも納得）

よって、α=-1で、 $β=1-\frac{1}{a}$ が-1<β<1に存在するので、 $-1<1-\frac{1}{a}<1\rightleftharpoons a>\frac{1}{2}$

また、解と係数の関係より、 $(-1)(1-\frac{1}{a})=-(1+\frac{b}{a})\rightleftharpoons b=-1$

求める必要十分条件は、 $a>\frac{1}{2}$ かつb=-1・・・（答）

[m=4のとき]

m=4 $\rightleftharpoons$ 「③が|y|<1に２つ解をもつ」

$\rightleftharpoons$ 「D>0 かつf(1)>0かつf(-1)>0かつ $-1<-\frac{1}{2a}<1$ 」

$\rightleftharpoons 4a^{2}+4ab+1>0$ かつb<1かつb<-1かつ $a>\frac{1}{2}$

$\rightleftharpoons4a^{2}+4ab+1>0$ かつb<-1かつ $a>\frac{1}{2}$ ・・・（答）

■なんとなく答えが図の通りになりましたね。
また、今回は③をx消去したましたが、yを消去して、

$x^{2}+(ax^{2}+b)^{2}=1 \rightleftharpoons ax^{2}+(2ab+1)x^{2}+b^{2}-1=0$ で、

$x=t^{2}$ などとおいて、 $at^{2}+(2ab+1)t+(b^{2}-1)=0$ と2次方程式に帰着することもできます。

少し難しい問題だったかもしれませんが、実は、円の２次関数の位置関係は頻出で、毎年どこかの大学で出題されています。

このレベルくらいは処理できるようにしておくとよいのかなと思います。
先程は、代数的要素が強かったですが、今度は図形的は問題を扱って見たいとおもいます。

問２

座標平面において、円C1 $x^{2}+y^{2}=16$ 、円C2 $(x-a)^{2}+y^{2}=9$ （a>0）の共通接線の本数をmとおく。次の問に答えよ。

（1）m=1,2,3,4となるaの条件を求めよ。
（2）m=3のとき、その共通接線の方程式をすべて求めよ。　（2014・立命館大・理系・)（3）省略）

まず、2円の位置関係を考えてみましょう。

半径Rの円C1、半径rの円C2、C1C2の中心間キョリをdとします。

・2円が互いに外側にある⇆d>R +r…（イ）

・2円が外接する　　　　⇆d=R+r…（ロ）

・2円が内接する　　　　⇆d=｜R-r｜…（ハ）

・一方が他方の内側にある⇆d<｜R-r｜…（二）

・2円が2点で交わる　　⇆｜R-r｜<d<R+r…（ホ）

は有名でご存知の方も多いと思います。

本問はこの知識と共通接線を結びつけて考えていくことになります。
解（1）

円が一方の外にあると少なくとも2本の接線が引けるので、m=1のとき、円が内包されていないといけない。

円C1: $x^{2}+y^{2}=4^{2}$

円C2: $(x-a)^{2}+y^{2}=3^{2}$

[m=1のとき]

m=1⇆（ハ）

a=|4-3|⇆a=1

[m=2のとき]

m=2⇆（ホ）

⇆1<a<7

[m=3のとき]

m=3⇆（ロ）

⇆a=7

[m=4のとき]

m=4⇆（イ）

⇆7<a

解　（2）

l1はx軸に垂直なので、x=4

いま、 $x^{2}+y^{2}=4$ の(x,y)=(4cosθ,4sinθ)における接線は

(4cosθ)x+(4sinθ)y=16

⇆cosθx+sinθy=4…①で、①と(7,0)の距離が3であるから、

$\frac{|7cosθ-4|}{\sqrt{cosθ^{2}+sinθ^{2}}}$ =3

⇆cosθ= $\frac{4\pm3}{7}$

・cosθ=1のときsinθ=0でlに一致。

・cosθ= $\frac{1}{7}$ のときsinθ=± $\frac{4\sqrt{3}}{7}$ で接線は $\frac{1}{7}$ x± $\frac{4\sqrt{3}}{7}$ y=4

以上から、x-4=0,x± $4\sqrt{3}$ y-28=0…（答）

■半径 $x^{2}$ + $y^{2}$ = $r^{2}$ 上の点を文字でおくとき、(x,y)=(rcosθ,rsinθ)と設定するのは有名です。 $sinθ^{2}$ + $cosθ^{2}$ =1を使えたり、三角関数とうまく適応できるので便利です。

■ $(x-a)^{2}$ + $(y-b)^{2}$ = $r^{2}$ 上の点(X,Y)での接線は(X-a)(x-a)+(Y-b)(y-b)= $r^{2}$ となります。

法線ベクトルを用いて証明できますから、証明は各々にゆだねます。

円の問題はとてもバラエティに富んでいるので、色々取り組んで円のセンスを磨いてみて下さいね。

【英語】情報構造とは？旧情報と新情報の違いまで詳しく解説

2017.03.19

英語は日本語と違う性格の持ち主です。英語の性格を理解することはあらゆる面で役に立ちます。今回は英語の持つ性格の1つ情報構造というものを紹介します。情報構造を理解することで英語そのものの理解が深まります。情報構造とは？英語だけに関わらず、どの言語を話すときにも私たちは伝えたいことを文章に込め

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英語は日本語と違う性格の持ち主です。
英語の性格を理解することはあらゆる面で役に立ちます。

今回は英語の持つ性格の1つ情報構造というものを紹介します。

情報構造を理解することで英語そのものの理解が深まります。
[toc]
情報構造とは？

英語だけに関わらず、どの言語を話すときにも私たちは伝えたいことを文章に込めます。

まずは皆さんに1つ質問させてください。

皆さんは昨日何しましたか？

ちゃんと答えてくれましたか？

人によって回答は様々ですが、例えば「学校に行った」や「友達と遊んだ」、もしくは「恋人とデートした」などの回答が多いと思います。

この回答が伝えたいことです。

正確に書くと

「あなたは昨日何しましたか？」という質問に対して、

「私は学校に行きました」と回答したとします。

この「学校に行きました」の部分が伝えたいことなのです。

このようにほぼ全ての文章にはスピーカーの伝えたいこと・情報が込められています。

それは英語も同じです。

しかし英語の場合は少し構造が違います。

英語の情報構造では伝えたいことを後ろに持ってくるのです。

多くの方は倒置法を思い浮かべて、伝えたいことは前に持ってくるべきだと考えます。

しかし英語では違います。

英語の情報構造はサスペンスの帝王だと思ってください。

どういうことかというと、サスペンスドラマや映画で一番伝えたいことは殺人犯人や殺人の動機ですよね。

犯人や動機はドラマや映画の最後に明かされます。

その結果、私たちの心には大きな印象が残るのです。

英語の情報構造も同じです。

英語の場合は、スピーカーの伝えたいことが犯人や動機です。

文の始めには驚きを起こさない一般的なことを述べて、最後に犯人、つまり言いたいことを述べるのです。

少し理解できましたか？

ここからは英語の情報構造について詳しく見ていきます。

旧情報と新情報とは？

英語の情報構造では旧情報と新情報を理解することが大事です。

旧情報とは英語でOld Information、もしくはKnown Informationと言われます。

旧情報はKnown Informationで理解した方が分かりやすいかもしれません。

Known Informationを日本語に訳すと「知られている情報」です。

つまりスピーカーだけではなく、話し相手や読んでいる方も知っている共通の情報や一般的な情報のことです。

誰もが知っている情報なので驚きも何もありませんね。

一方新情報はNew InformationやUnknown Informationと呼ばれます。

Unknown Informationとは「知られていない情報」。

つまりスピーカーや筆者が最も伝えたい情報のことです。

新情報は驚きがあるのでサスペンスでいうと犯人や犯行動機に当たりますね。

ここまで見てきて分かったことは３つ。

・英語の情報構造では旧情報→新情報の順になる。

・旧情報は誰もが知っている情報

・新情報はスピーカーやライターが伝えたい情報のこと

なぜ情報構造を知っておくことが大切なのでしょうか？

情報構造を知っていると、リーディングやリスニングで役立つことは、

もちろん、スピーキングやライティングで自分が英語を使用するときにも役立つからです。

例文と共に英語の情報構造を見ていきましょう。

What do you need? 何が必要なの？

I need something to drink, because I’m thirsty.　
のどが渇いているから何か飲み物が欲しいです。

この文章で旧情報はI needです。

新情報はsomething~thirstyまで。

新情報の部分である「何か飲むものが欲しい、のどが渇いている」を質問者は知らないですよね。

A:When did you read that book?　その本はいつ読んだの？

B:I read it last year.　去年読みました。

旧情報はI read it「読みました」ですよね。

AさんはBさんがすでにその本を読んだことを知っているのですから。

Aさんが知らないのは「Bさんがいつその本を読んだのか」ということです。

そのため新情報はAさんが知りたかったLast yearですね。

このように質問形式だと簡単にわかりますよね。

A: He loves Mary. 彼はメリーを愛している。

B: No, he loves Jun. 違うよ、彼はジュンを愛しているんだよ。

この文章で旧情報はHe loves。

新情報はJunです。

Aさんの意見に訂正を加えています。

Harry Potter is tale of normal boy who learns he is a wizard. As he learns this shocking fact, Harry Potter decides to attend Hogwarts School for wizards. In wizarding world, Harry has been really famous, because Harry is the only one who survived from He Who Must Not Be Named.

「ハリー・ポッター」は自身が魔法使いであることを知った少年の物語。彼はこの衝撃的な事実を知ったので、魔法使いの学校ホグワーツに通うことに決めました。魔法使いの世界では。ハリー・ポッターはとても有名です、何故なら彼は名前を呼んではいけないあの人から唯一生き残った少年だからです。

この例文で新情報は太字の部分です。

このように対話文でなくとも旧情報と新情報は組合わされます。

英語の文章ではすでに述べた新情報が次の文章では旧情報になることが多いです。

例えばhe is a wizardという新情報が次の文章ではAs he learns this shocking fact,と旧情報となっています。

このように前後の文脈がつながっているので、ある1文の意味が分からなくても、その前後の文、特に旧情報と新情報の関係を掴むと文章の流れをつかむことができるのです。

情報構造を理解することで、英語の全体的なスキルが上がります。

普段から英文を読むときに筆者の主張を見つけようとすることが一番の練習です。

ぜひ、今回のポイントを押さえて、英文を読んでみてください。

0から理解する遠心力の理屈（円運動その３）

2017.02.19

遠心力とは何でしょうか。身近な例だと遊園地にあるコーヒーカップに乗っているときに、乗っている人は外側に引っ張られる力を感じます。これが遠心力です。今回これを例に遠心力について学んでみましょう。遠心力を理解するには、慣性力がまずわかっていなければなりません。まず慣性力とは、運動している人が加速

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遠心力とは何でしょうか。身近な例だと遊園地にあるコーヒーカップに乗っているときに、乗っている人は外側に引っ張られる力を感じます。
これが遠心力です。
今回これを例に遠心力について学んでみましょう。

遠心力を理解するには、慣性力がまずわかっていなければなりません。
まず慣性力とは、運動している人が加速運動をしている際に加速度と逆方向に力が働きこれを慣性力といいます。
遠心力は円運動における慣性力のことを言います。

遠心力を簡単に言いえば、向心力と大きさが等しく、反対向きにはたらく力のことです。

図１

遠心力と向心力で考える違いは、前者が力のつり合いで考えるのに対し、後者は運動方程式で考えるというところです。
そして遠心力のややこしいところは式のみかけ上は円運動の運動方程式と変わらないので（当たり前ですけど）、そのため自分がどっちの立場で考えているのかを区別して問題を解きましょう。

最後に例題を使って、遠心力の理解を深めましょう。

問：

図２のような、長さ l の糸の一端を固定し、他端に質量 m

のおもりをつるし、このおもりを水平面内で角速度ωで等速

円運動させたときの円錐振子運動について、以下の問いに答

えよ。

（1）糸の張力をm,gθを用いて表せ。

（2）物体水平方向について、遠心力を考えた場合

と運動方程式で考えた場合で両者が一致することを確認せよ。

ただし鉛直線と糸とのなす角を θ 、重力加速度を g とする。

図２

解：

図３

(1)図３において力のつり合いから、

mg＝Tcosθ

$T=\frac{mg}{\cos \theta}$

(2)

遠心力：

遠心力をmrω²で力のつり合いより

$mr\omega ^{2} = T \sin \theta=mg\tan \theta$

運動方程式：

向心力がTsinθで円運動の方程式から

$ma=mr\omega ^{2} = T \sin \theta=mg\tan \theta$

よって両者は一致した。

0からのケプラーの法則の理解の仕方（万有引力その３）

2017.02.18

ケプラーの法則は全部で３つあります。 ①惑星は太陽を一つの焦点とする楕円軌道を描く ②惑星と太陽間の線分が単位時間に描く面積は一定（S1=S2、面積速度一定の法則） ③惑星の公転周期の2乗と軌道の長半径の3乗の比は一定（a2/T3=定数） ①の意味するところは惑星の軌道が円ではなく楕円であり（実際の

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ケプラーの法則は全部で３つあります。
①惑星は太陽を一つの焦点とする楕円軌道を描く

②惑星と太陽間の線分が単位時間に描く面積は一定（S₁=S₂、面積速度一定の法則）

③惑星の公転周期の2乗と軌道の長半径の3乗の比は一定（a²/T³=定数）

①の意味するところは惑星の軌道が円ではなく楕円であり（実際の入試問題では円軌道が

多いですが）、太陽の位置は楕円の中心ではなく焦点の1つであるということです。

※二つの焦点が一致したとき楕円は円になります。

②は、太陽に近いところでは惑星は速度を増し、太陽から遠いところでは惑星は速度を落とすことを意味しています。
これは、惑星が軌道上を移動する際の面積速度が一定である事を意味し、「面積速度一定の法則」と呼ばれる所以です

③は、公転周期の長さは楕円軌道の長半径のみに依存し、楕円軌道の離心率に依存しないので、楕円軌道の長半径が同じであれば、円運動でも楕円運動でも周期は同じになるということを言っています。

※楕円や離心率については数学Ⅲで詳しくは勉強します。
（高校物理という意味では離心率など考えなくてかまいません）

実はケプラーの法則から万有引力の式を導出ができるので、最後に示します。

まず計算の簡略化のため円軌道であると仮定します。
（実際に太陽系の惑星は円軌道に近いです）そうすることで円運動で出てきた公式がそのまま使えます。ある惑星と太陽間の引力は

$F=mr\omega^{2}=mr(\frac{2\pi}{T})^{2}=\frac{4\pi^{2}mr}{T^{2}}$ ・・・イ

ケプラーの第三法則で今回半長軸aと半径rは等しいので

$\frac{T^{2}}{a^{3}}=\frac{T^{2}}{r^{2}}=k$

$\therefore T^{2}=kr^{3}$

これをイに代入すると

$F=\frac{4\pi^{2}mr}{kr^{3}}=\frac{4\pi^{2}}{k}\bullet \frac{m}{r^{2}}=K\bullet\frac{m}{r^{2}}$

$\frac{4\pi^{2}}{k}$ は定数なので、Kとおきました。

よって惑星間の引力の大きさは、惑星の質量に比例し、太陽からの距離の2乗に反比例するということが示せました。

【物理】万有引力の問題（万有引力その４）

2017.02.18

問：地球の半径R、自転周期T、地表面から高さｈの位置にいる人工衛星について以下の問いに答えよ。（１）人工衛星の速さv0をR、ｈ、ｇを使って表せ（2）人工衛星が静止しているときの高さｈを求めよ（3）人工衛星が地表すれすれで運動しているときの速さv1を求めよ（4）人工衛星の速さを早くしていくと地

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問：地球の半径R、自転周期T、地表面から高さｈの位置にいる人工衛星について以下の問いに答えよ。
（１）人工衛星の速さv₀をR、ｈ、ｇを使って表せ

（2）人工衛星が静止しているときの高さｈを求めよ

（3）人工衛星が地表すれすれで運動しているときの速さv₁を求めよ

（4）人工衛星の速さを早くしていくと地球の重力圏から脱出し、太陽の周りをまわる。このときの速さv₂を求めよ。

解

（1）円運動の運動方程式より

$m\frac{v^{2}}{R+h}=G\frac{Mm}{(R+h)^{2}}$

$\therefore v_{0}=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}=\sqrt{\frac{gR^{2}}{R+h}}$ ・・・①

最後の式変形は $mg=\frac{Gmm}{R^{2}}$ よりGM＝ｇR²を使いました。

（2）衛星の周期は

$\frac{2\pi(R+h)}{v}=2\pi(R+h)\sqrt{\frac{R+h}{gR^{2}}}$

これが地球の周期Tと等しいので（相対速度が0になるので止まって見える）

$T=2 \pi (R+h) \sqrt{\frac{R+h}{gR^{2}}}$

∴ $h = \sqrt [3] {\frac{gR^{2}T^{2}}{4\pi^{2}}}-R$

例えばR=6400 km,ｇ＝9.8m/s²,T=24時間＝86400秒を代入すると、hは約36000 kmとなります。

（3）①においてh=0とすればいいから

$v_{1}=\sqrt{gR}$

ちなみに実際に値を代入するとv₁=7.90 m/sです。

（4）地球の重力圏を抜けるということは、無限に遠い点において、速度が0以上であれば、物体は地球の重力圏から抜け出すことができます。
よって、万有引力の位置エネルギーを考えてエネルギー保存則を立てると

$\frac{1}{2}mv_{2^{2}}-G\frac{Mm}{R}=0$

$\therefore v_{2}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2}gR$

となります。なお計算すると11.2 km/sとなります。

ここで取り上げた問題は大学入試でよく出るのでよく復習しておきましょう。

【物理】万有引力の位置エネルギー（万有引力その２）

2017.02.17

前回に引き続き万有引力について学んでいきましょう。前回を読んでない方はこちら確認下さい。まず以下の問題を考えてみましょう。問：地球上での重力と月での重力の比を求めよ。ただし G= 6.7×10-11 N⋅m2/kg2 地球の半径RE 地球での重力gE 地球の質量ME 月の半径RM＝0.25RE

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前回に引き続き万有引力について学んでいきましょう。
前回を読んでない方はこちら確認下さい。

まず以下の問題を考えてみましょう。

問：地球上での重力と月での重力の比を求めよ。ただし

G= 6.7×10^-11 N⋅m²/kg²

地球の半径R_E

地球での重力g_E

地球の質量M_E

月の半径R_M＝0.25R_E

月の質量M_M＝M_E/100とする。

解）月での重力加速度をg_Mとして、

$\frac{mg_{M}}{mg_{E}}=\frac{G\frac{mM_{E}}{R_{M}^{2}}}{G\frac{mM_{E}}{R_{E}^{2}}}=(\frac{R_{E}}{R_{M}})^{2}\frac{M_{M}}{M_{E}}=\frac{4\times4}{100}=0.16\fallingdotseq \frac{1}{6}$

よって月での重力は地球の６分の1であることがわかります。

万有引力で一つ注意したいのは考えている二つの物体が質点であるということです。

そのため、物体の大きさををちゃんと考慮した場合は少し異なるので注意しましょう。

◎万有引力の位置エネルギー

万有引力の力がわかったので、次はエネルギーを求めてみましょう。
ある点AからとあるB点までの物体が受けた仕事を考えます。
ここでは積分を使うのでわかりにくいと思った方は、結果だけ覚えていてもかまいません。

積分を使った方法

質量Mの物体から距離ｒ離れた質量ｍの物体を無限遠方までもっていくことを考えます。この時の仕事Wをとし、距離ｒの位置エネルギーをU_ｒとすると

U_ｒ+W＝U_∞

ここで無限遠方を位置エネルギーの基準に考えるとU_∞＝0とできるので、

U_ｒ＝－W

とできます。つぎに微小距離ｄｒ移動させたときのWを求めていきます。
万有引力の式をグラフにすると以下のようになります。
（A点の座標をr_a、B点の座標をr_bとする。）

仕事量はこのグラフの面積になることから

$W=\int_A^B G\frac{Mm}{r^{2}}=\frac{GMm}{r_{A}}-\frac{GMm}{r_{B}}$

r_Aをrと書き、r_B→∞にすると $\frac{GMm}{r}$ となります。よって万有引力の位置エネルギーは

U_r=－W=－GMm/rとなります。

基準を無限遠点にしない場合は万有引力による位置エネルギーの式に定数項が残ってしまいます．

では最後になぜ無限遠方を位置エネルギーの基準にしたのでしょうか？
一言でいえば簡略化のためです。

詳しく見ていきましょう。

地球からの距離ｒのときの位置エネルギーU(ｒ)が

U(r) = -GMm/r + C(定数)・・・①

と書けたとき、地球の表面 r = Rをエネルギーの基準に取る（U(R) = 0 ）とすると，

0 = -GMm/R + C ∴ C = GMm/R・・・②

となり，位置エネルギーは

U(r) = -GMm/r + GMm/R・・・③

となります．

一方，無限遠点で U(∞) → 0 となるように基準をとると，この場合の位置エネルギーは

U(r) = -GMm/r・・・④

となり③の(GMm/R)という定数項が消えます。

また，位置 r = r_A と r = r_B という二点間の位置エネルギーの差を求めるとき

U(r_B) – U(r_A₎ = (-GMm/r_B + C) – (-GMm/r_A + C) = -GMm/r_B + GMm/r_A

となって，結局定数項 C に依存しないことがわかります。

そのため、最初から定数項Cが消えるような基準（無限遠点）を選んだというわけです

個々の話は上の文章の破線部に対応しています。

【物理】万有引力（万有引力その１）

2017.02.16

万有引力とは、万物の間には引力が有るという意味です。まずは以下の式を理解しておきましょう。 (G:万有引力定数、6.67×10-11 N・m2/kg2) この式の特徴は・質量に比例する・距離の二乗に反比例する・働く力は引力です。普段私たちが感じている重力はこれのことです。ところで実生活に

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万有引力とは、万物の間には引力が有るという意味です。
まずは以下の式を理解しておきましょう。

$F=G\frac{Mm}{r^{2}}$
(G:万有引力定数、6.67×10^-11 N・m²/kg²)

この式の特徴は

・質量に比例する

・距離の二乗に反比例する

・働く力は引力

です。普段私たちが感じている重力はこれのことです。

ところで実生活において万有引力を感じているのでしょうか。
実際には重力以外は感じられません。

これは例えば60 kg人同士が1 m離れたときに働く万有引力は約2.4×10^-7 Nととても小さい為です。
ではどういったときに万有引力を考えればいいのでしょうか。
それは、星と星との間に働く力などを考えるときです。

ここで星の重さはどのくらいなのでしょうか？

Q：地球の質量は？（重力加速度g＝9.8 kg・m/s²,地球の半径6.4×10⁶ m）

A: $mg=G\frac{Mm}{r^{2}}$

より

$M=\frac{gR^{2}}{G}$ ≒6×10²⁴ kg

以上の結果からわかるよう、に非常に大きい質量でないと万有引力の影響がないことがわかります。

実はここで述べた式において電磁気で出てくるクーロンの法則とそっくりなので、電磁気を習い始めたら双方を比較しながら理解していきましょう。

【物理】跳ね返り係数の具体例（跳ね返り係数その2）

2017.02.15

何問か簡単な例題を紹介します。例題１物体が速さ２０m/sで壁に衝突した。その後、12m/sで跳ね返ったとき、跳ね返り係数はいくらか。解答公式に入れるだけです。跳ね返り係数は12÷20＝0.60となります。例題２図のように２つの物体が衝突したとき、衝突後の速度をそれぞれ求

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[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]跳ね返り係数、やっと理解できた！[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]でも実際の問題ででてきたら解けるか不安だな。[/speech_bubble]
何問か簡単な例題を紹介します。
[toc]
例題１

物体が速さ２０m/sで壁に衝突した。
その後、12m/sで跳ね返ったとき、跳ね返り係数はいくらか。

解答

公式に入れるだけです。跳ね返り係数は12÷20＝0.60となります。

例題２

図のように２つの物体が衝突したとき、衝突後の速度をそれぞれ求めよ。

物体Aの質量は2.0kg、物体Bの質量は3.0kgとし、跳ね返り係数は0.50とする。

運動量は保存されるので、　2.0✕6.0＋3.0✕（−4.0）＝　2.0ｖ_A＋3.0ｖ_B

跳ね返り係数＝0.50より、

0.50＝ー（v_A−v_B）/ 6.0-（-4.0）

この2つの式と解くと、v_A＝−3.0m/s 、v_B=2.0m/sとなります。

ここで大事なのは運動量保存が成り立つということです。

【参考】運動量保存の法則とは？

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情報構造とは？

旧情報と新情報とは？

なぜ情報構造を知っておくことが大切なのでしょうか？

◎万有引力の位置エネルギー

積分を使った方法

例題１

例題２