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2018年早稲田大学政治経済学部|過去問徹底研究 大問4

2019.10.07

方針の立て方 (1) 実数解の範囲についての問題であるから,解の配置問題の解法で解けばよい. (2) 一先ずは素直に複素数の絶対値の定義に従って計算することを考え,を求める.二次方程式の解は,公式を用いれば直接表現できるため,が求まり後は絶対値を求めればよい. (3) 前問でを考えたため,「かつ」の

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  • 方針の立て方

    (1)
    実数解の範囲についての問題であるから,解の配置問題の解法で解けばよい.

    (2)
    一先ずは素直に複素数の絶対値の定義に従って計算することを考え,\alphaを求める.二次方程式の解は,公式を用いれば直接表現できるため,\alphaが求まり後は絶対値を求めればよい.

    (3)
    前問で\left|\alpha\right|を考えたため,「\left|\alpha\right|<1かつ\left|\beta\right|<1」の条件はa,bを用いて書き下せる.後は\alpha,\betaが虚数であるという条件をa,bを用いて書き下し,合わせればよい.

    解答例

    (1)

    上図斜線部.但し境界はb=-\frac{1}{4}a^2-2<a<2の区間のみを含み,他は含まない.……(答)

    (2)\left|\alpha\right|=\sqrt{-b}

    (3)

    上図斜線部.但し境界は含まない.……(答)

    解説

    (1)
    f\left(x\right)=x^2-ax-bとおいて,y=f\left(x\right)x軸の交点が-1<x<1の範囲になるようにすれば必要十分.
    判別式の条件より,a^2+4b\geqq0\Leftrightarrow b\geqq-\frac{1}{4}a^2……①
    軸の条件より,-1<\frac{a}{2}<1\Leftrightarrow-2< a <2……②
    端点(x=\pm1)の条件より,\begin{cases} f\left(-1\right)>0 \\ f\left(1\right)>0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 1+a-b>0 \\ 1-a-b>0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a+1>b \\ -a+1>b \end{cases}……③
    ①~③を図示すれば,

    上図斜線部.但し境界はb=-\frac{1}{4}a^2-2<a<2の区間のみを含み,他は含まない.……(答)

    (2)
    判別式は負となることに注意して,2次方程式:x^2-ax-b=0を解くと,
    x=\frac{a\pm\sqrt{-a^2-4b}i}{2}
    \therefore\left|\alpha\right|=\sqrt{\frac{a\pm\sqrt{-a^2-4b}i}{2}\cdot\frac{a\mp\sqrt{-a^2-4b}i}{2}}=\sqrt{-b}……(答)

    (3)
    判別式は負となるから,b<-\frac{1}{4}a^2……①
    \left|\alpha\right|=\left|\beta\right|=\sqrt{-b}であるから,\left|\alpha\right|<1かつ\left|\beta\right|<1という条件は,0\leqq-b<1\Leftrightarrow-1<b\leqq0……②となる.
    ①と②を図示すれば,

    上図斜線部.但し境界は含まない.……(答)

2018年早稲田大学政治経済学部|過去問徹底研究 大問3

2019.10.07

方針の立て方 (1) 売り上げがになる.これは二変数関数であるが,を用いれば一変数関数になり,後は通常の最大最小問題で考えればよい. (2)(3)利益がとなる.後は(1)と同様に一変数関数に直して考えればよい. 解答例 (1) (2) よって,のとき利益が最大となる.よって, ……(答) (3) よ

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  • 方針の立て方

    (1)
    売り上げがpyになる.これは二変数関数であるが,y=10-pを用いれば一変数関数になり,後は通常の最大最小問題で考えればよい.
    (2)(3)利益がpy-c\left(y\right)となる.後は(1)と同様に一変数関数に直して考えればよい.

    解答例

    (1)\left(p,y\right)=\left(5,5\right)

    (2)
    py-c\left(y\right)=p\left(10-p\right)-\left(10-p\right)^2=-2p^2+30p-100=-2\left(p-\frac{15}{2}\right)^2+\frac{25}{2}
    よって,p=7,8のとき利益が最大となる.よって,y=3,2
    \therefore\left(p,y\right)=\left(7,3\right),\left(8,2\right)……(答)

    (3)
    py-c\left(y\right)=-2y^2-10y+20=-2\left(y+\frac{5}{2}\right)^2+\frac{65}{2}
    1\leqq yより,y=1のとき利益が最大となる.よって,p=10-y=9
    \therefore\left(p,y\right)=\left(9,1\right)……(答)

    解説

    1\leqq yより,p\leqq9である.
    (1)
    売上は,
    py=p\left(10-p\right)=-p^2+10p=-\left(p-5\right)^2+25
    \therefore p=5のとき売上は最大値となる.よって,y=10-p=5
    \therefore\left(p,y\right)=\left(5,5\right)……(答)

2018年早稲田大学政治経済学部|過去問徹底研究 大問2

2019.10.07

方針の立て方 (1)特筆事項なし. (2)(3)領域が指定されている上での最大最小問題であるため,線形計画法で考える. 解答例 (1)と (2) (3) 解説 (1) 上図のように補助線を引いて考えれば,求める座標は,と……(答) (2) 線形計画法の考え方を用いれば,最大値を取るときのは(1)で求

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  • 方針の立て方

    (1)特筆事項なし.
    (2)(3)領域が指定されている上での最大最小問題であるため,線形計画法で考える.

    解答例

    (1)\left(a,a+b\right)\left(a+b,b\right)
    (2)\sqrt{2a^2+2ab+b^2}
    (3)\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}

    解説


    (1)
    上図のように補助線を引いて考えれば,求める座標は,\left(a,a+b\right)\left(a+b,b\right)……(答)

    (2)
    線形計画法の考え方を用いれば,最大値を取るときのPは(1)で求めた2点の内のいずれかだと分かる.
    原点と\left(a,a+b\right)との距離は\sqrt{a^2+\left(a+b\right)^2}
    原点と\left(a+b,b\right)との距離は\sqrt{\left(a+b\right)^2+b^2}
    a>bより,\sqrt{\left(a+b\right)^2+b^2}<\sqrt{a^2+\left(a+b\right)^2}となる.
    よって,求める最大値は,
    \sqrt{a^2+\left(a+b\right)^2}=\sqrt{2a^2+2ab+b^2}・・・・・・(答)

    (3)
    \mathrm{P}が線分\mathrm{AB}上にあり,かつ\mathrm{OP}\mathrm{AB}が直交するとき,線分\mathrm{OP}の長さは最小となる.
    直線\mathrm{AB}の式はy=-\frac{a}{b}x+aであるから,直線\mathrm{OP}の式はy=\frac{b}{a}xとなる.
    よって,直線\mathrm{AB}と直線\mathrm{OP}の交点は\left(\frac{a^2b}{a^2+b^2},\frac{{ab}^2}{a^2+b^2}\right)である.
    よって,求める最小値は,
    \sqrt{\left(\frac{a^2b}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\frac{{ab}^2}{a^2+b^2}\right)^2}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}……(答)

2018年早稲田大学理工数学|過去問徹底研究 大問1

2019.09.06

早稲田大学理工過去問徹底研究 2018年 大問1 方針の立て方 (1) 実際にP,A,Bの位置関係を図に描いてみると解法を得られる.「3点を結ぶと三角形をなす」ことと,「3点が一直線上にない」ことが同値であることは頻出のためおさえておくこと. (2) 前問と同様にP,A,Bの位置関係を図に描いてみる

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    方針の立て方

    (1)
    実際にP,A,Bの位置関係を図に描いてみると解法を得られる.「3点を結ぶと三角形をなす」ことと,「3点が一直線上にない」ことが同値であることは頻出のためおさえておくこと.

    (2)
    前問と同様にP,A,Bの位置関係を図に描いてみると,ABを底辺と見ると都合がいいことが分かる.複素共役な2つの複素数は,複素数平面上では実軸対称となることは,複素数と図形の融合問題では頻出の考え方のためおさえておくこと.

    (3)
    外心の定義と外心の作図の仕方を考えれば解法を得られる.

    解答例

    (1)
    3次方程式\left(x-p\right)\left(x^2+qx+r\right)=0の解は,x=p,\alpha,\betaの3つ.
    3点P,A,Bが三角形をなすには,3点P,A,Bが一直線上になければ必要十分.そのためには,\alpha,\betaが虚数解であり(\alpha,\betaが実数解ならば,pが実数であるため,3点P,A,Bが一直線上に並んでしまう),かつ\alpha,\betaの実部がpでなければ必要十分.
    x^2+qx+r=0を解くと,x=\frac{-q\pm\sqrt{q^2-4r}}{2}であるから,求める条件は,
    \begin{cases} q^2-4r<0 \\ \frac{-q}{2}\neq p \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} q^2-4r<0 \\ q\neq-2p \end{cases}……(答)

    (2)

    3点P,A,Bの位置関係は上図の通り.
    q^2-4r0(\because(1))より,\left|p^2+pq+r\right|=p^2+pq+r
    \therefore R=\frac{p^2+pq+r}{\left|2p+q\right|}……(答)

    (3)
    三角形の外接円の中心は,各辺の垂直二等分線の交点である.
    辺ABの垂直二等分線は,実軸である.よって,求める中心Qはx(xは実数)とおける.QとP,QとAの距離が等しいことより,
    \left|p-x\right|=\sqrt{\left(x+\frac{q}{2}\right)^2\left(-\frac{\sqrt{4r-q^2}}{2}\right)^2}
    が成り立ち,これを解くと,x=\frac{p^2-r}{2p+q}……(答)
    また,半径Rは,
    R=\left|p-x\right|=\left|p-\frac{p^2-r}{2p+q}\right|=\left|\frac{p^2+pq+r}{2p+q}\right|=\frac{\left|p^2+pq+r\right|}{\left|2p+q\right|}
    p^2+pq+r=\left(p+\frac{q}{2}\right)^2+\frac{4r-q^2}{4}\geqq\frac{4r-q^2}{4}>0(\because(1))より,\left|p^2+pq+r\right|=p^2+pq+r
    \thereforeR=\frac{p^2+pq+r}{\left|2p+q\right|}……(答)

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2018年早稲田大学理工数学|過去問徹底研究 大問5

2019.09.06

早稲田大学理工過去問徹底研究 2018年 大問5 方針の立て方 (1)と(2)は実際に簡単な図を描くことで解答を得る. (3)前問(1)と(2)で見た通り頂点の選び方で共通部分が変わる.頂点の選び方は70通りあるが,回転での対称性を考慮すれば,考えるべきパターン数はもっと減るのではと考え,一先ず虱潰

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  • 早稲田大学理工過去問徹底研究 2018年 大問5

    方針の立て方

    (1)と(2)は実際に簡単な図を描くことで解答を得る.
    (3)前問(1)と(2)で見た通り頂点の選び方で共通部分が変わる.頂点の選び方は70通りあるが,回転での対称性を考慮すれば,考えるべきパターン数はもっと減るのではと考え,一先ず虱潰しで考えてみる.すると実際,考えるべきパターン数は多くならないため,数え上げる.

    解答例

    (1)
    立方体の各面の中心を頂点とする立体となる.
    よって,正八面体……(答)

    (2)
    \mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{7}\mathrm{A}_\mathrm{4}\mathrm{A}_\mathrm{6}が立方体の中心で交わるのみ.
    よって,点……(答)

    (3)
    4点の頂点の選び方は,全部で_{8}\mathrm{C}_{4}=70通り.
    以下では,1つの面に着目(図では面\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}\mathrm{A}_\mathrm{3}\mathrm{A}_\mathrm{4})し,その面から何個の頂点が選ばれているかで場合分けする.選ばれた頂点を●で表すことにする.
    (ⅰ)4個の場合

    上図のような場合,共通部分はない.
    4つの●が集合する面の選び方を考えれば,回転して左図のパターンになるものは全部で6通りあることが分かる.
    (ⅱ)3点の場合
    (ⅱ―ⅰ)

    上図のような場合,共通部分はない.
    上図の\mathrm{A}_\mathrm{2}のように,隣り合うすべての頂点が選ばれている点の配置を考えれば,回転して上図のパターンになるものは全部で8通りあることが分かる.
    (ⅱ―ⅱ)

    上図のような場合,共通部分は1点となる.
    上図の\mathrm{A}_\mathrm{2}\mathrm{A}_\mathrm{3}or\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}のような線分の配置を考えれば,回転して上図のどちらかのパターンになるものは全部で24通りあることが分かる.
    (ⅱ―ⅲ)

    上図のような場合,共通部分は立体図形となる.
    上図の\mathrm{A}_\mathrm{8}のように,隣り合うすべての頂点が選ばれていない点の配置は8通りあり,3点が集合する面がどの配置にあるかで3通りあるため,回転して上図のパターンになるものは全部で24通りあることが分かる.
    (ⅲ)2点の場合
    (ⅲ―ⅰ)

    上図のような場合,共通部分は線分となる.
    回転して上図のパターンになるものは全部で6通りある.
    (ⅲ―ⅱ)

    上図のような場合,共通部分は立体図形となる.
    回転して上図のパターンになるものは全部で2通りある.
    以上より,
    \begin{cases} p=\frac{6+8}{70}=\frac{1}{5} \\ q_0=\frac{24}{70}=\frac{12}{35} \\ q_1=\frac{6}{70}=\frac{3}{35} \\ q_2=\frac{0}{70}=0 \\ q_3=\frac{24+2}{70}=\frac{13}{35} \end{cases}……(答)

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2018年早稲田大学理工|過去問徹底研究 大問4

2019.09.02

早稲田大学理工過去問徹底研究 2018年 大問4 方針の立て方 (1) 素直に微分すればよい. (2) (ⅰ)通常の極値問題と同様に微分して考えればよい. (ⅱ)これも典型的な回転体の体積の問題であるため特筆事項なし. (ⅲ)実際にをはじめの数項を書き出してみれば,数列の和の問題だと分かる. 解答例

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    方針の立て方

    (1)
    素直に微分すればよい.

    (2)
    (ⅰ)通常の極値問題と同様に微分して考えればよい.
    (ⅱ)これも典型的な回転体の体積の問題であるため特筆事項なし.
    (ⅲ)実際に\sum_{n=1}^{\infty}V_nをはじめの数項を書き出してみれば,数列の和の問題だと分かる.

    解答例

    (1)
    積の微分法則を使えば,
    f^\prime\left(x\right)=e^x\left(\cos{x}+\sin{x}\right)+e^x\left(-\sin{x}+\cos{x}\right)=2e^x\cos{x}……(答)

    (2)
    (ⅰ)
    積の微分法則と三角関数の合成を用いれば,
    g^\prime\left(x\right)=-\pi e^{-\pi x}\sin{\pi x}+\pi e^{-\pi x}\cos{\pi x}=\pi e^{-\pi x}\left(\cos{\pi x}-\sin{\pi x}\right)=\sqrt2\pi e^{-\pi x}\sin{\left(\pi x+\frac{3}{4}\pi\right)}
    よって,g^\prime\left(x\right)=0となるのは,\pi x+\frac{3}{4}\pi=n\pi\Leftrightarrow x=n-\frac{3}{4}(nは任意の整数)のとき.
    nが偶数のとき,その前後でg^\prime\left(x\right)の符号は負から正となる.故に極小値は,g\left(n-\frac{3}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}e^{-\left(n-\frac{3}{4}\right)\pi}
    nが奇数のとき,その前後でg^\prime\left(x\right)の符号は正から負となる.故に極大値は,g\left(n-\frac{3}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}e^{-\left(n-\frac{3}{4}\right)\pi}
    よって,mを任意の整数として,
    極大値は22e-2m+14\pi……(答)
    極小値は-22e-2m-34\pi……(答)
    (ⅱ)
    V_n=\int_{n-1}^{n}{\pi\left\{g\left(x\right)\right\}^2}dx=\int_{n-1}^{n}{\pi e^{-2\pi x}{\mathrm{sin}}^2\pi x}dx=\int_{n-1}^{n}{\pi e^{-2\pi x}\cdot\frac{1-\mathrm{cos} {2\pi x}}{2}}dx=\int_{n-1}^{n}{\frac{1}{2}\pi e^{-2\pi x}}dx-\frac{1}{2}\int_{n-1}^{n}{\pi e^{-2\pi x}\mathrm{cos} {\left(-2\pi x\right)}}dx
    ここで,
    \int_{n-1}^{n}{\frac{1}{2}\pi e^{-2\pi x}}dx=\left[-\frac{1}{4}e^{-2\pi x}\right]_{n-1}^n=-\frac{1}{4}e^{-2n\pi}+\frac{1}{4}e^{-2\left(n-1\right)\pi}
    更に-2\pi x=yとして置換積分を行えば,
    \int_{n-1}^{n}{\pi e^{-2\pi x}\cos{\left(-2\pi x\right)}}dx=-\frac{1}{2}\int_{-2\left(n-1\right)\pi}^{-2n\pi}{e^y\cos{y}}dy\bigm=-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}e^y\left(\cos{y}+\sin{y}\right)\right]_{-2\left(n-1\right)\pi}^{-2n\pi}\bigm=-\frac{1}{4}\left(e^{-2n\pi}-e^{-2\left(n-1\right)\pi}\right)
    である.
    \therefore V_n=-\frac{1}{4}e^{-2n\pi}+\frac{1}{4}e^{-2\left(n-1\right)\pi}-\frac{1}{2}\left\{-\frac{1}{4}\left(e^{-2n\pi}-e^{-2\left(n-1\right)\pi}\right)\right\}=\frac{1}{8}\left(e^{-2\left(n-1\right)\pi}-e^{-2n\pi}\right)……(答)
    (ⅲ)
    \sum_{n=1}^{\infty}V_n=\frac{1}{8}\left(e^{-2\cdot0\cdot\pi}-e^{-2\cdot1\cdot\pi}\right)+\frac{1}{8}\left(e^{-2\cdot1\cdot\pi}-e^{-2\cdot2\cdot\pi}\right)+\frac{1}{8}\left(e^{-2\cdot2\cdot\pi}-e^{-2\cdot3\cdot\pi}\right)+\cdots\cdots=\frac{1}{8}e^{-2\cdot0\cdot\pi}-\lim_{n\rightarrow\infty}{e^{-2n\pi}}=\frac{1}{8}……(答)
    (※無限等比級数の第2項と第3項,第4項と第5項,第6項と第7項,……が相殺される)
    (別解)
    V_n=\frac{1}{8}\left(e^{-2\left(n-1\right)\pi}-e^{-2n\pi}\right)=\frac{1}{8}\left(1-e^{-2\pi}\right)e^{-2\left(n-1\right)\pi}=\frac{1}{8}1-e-2\pi\cdote-2\pin-1は,初項\frac{1}{8}\left(1-e^{-2\pi}\right),公比e^{-2\pi}の等比数列 (なお,0<e^{-2\pi}<1である).
    \therefore\sum_{n=1}^{\infty}V_n=\frac{\frac{1}{8}\left(1-e^{-2\pi}\right)}{1-e^{-2\pi}}=\frac{1}{8}……(答)

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2019.09.02

早稲田大学理工過去問徹底研究 2018年 大問3 方針の立て方 (1) 典型的な背理法の問題であるため特筆事項なし. (2) をかけるだけである.の形を作り出そうと考えると,この解法が思いつく. (3) 導くべき式にがないことから,を削除すればよいと判断する.使える式はとであるから,この2式を連立し

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    方針の立て方

    (1)
    典型的な背理法の問題であるため特筆事項なし.

    (2)
    \sqrt[3]{p}をかけるだけである.apの形を作り出そうと考えると,この解法が思いつく.

    (3)
    導くべき式に\left(\sqrt[3]{p}\right)^2がないことから,\left(\sqrt[3]{p}\right)^2を削除すればよいと判断する.使える式はa\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+b\sqrt[3]{p}+c=0ap+b\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+c\sqrt[3]{p}=0であるから,この2式を連立して消去する.

    (4)
    前問でわざわざ\sqrt[3]{p}でまとめたこと,(1)で\sqrt[3]{p}を無理数と証明したことから解法を得る.

    解答例

    (1)
    背理法で示す.
    \sqrt[3]{p}が有理数だと仮定して,\sqrt[3]{p}=\frac{b}{a}(a,bは互いに素な整数でa>0)とする.
    両辺を3乗して,p=\frac{b^3}{a^3}\Leftrightarrow pa^3=b^3
    ここで,b^3pの倍数である必要があるが,pが素数であることから,bpの倍数である必要がある.
    そこで,b=np(nは整数)とおく.
    すると,pa^3=n^3p^3\Leftrightarrow a^3=n^3p^2となる.
    よって,a^3pの倍数となるが,上記と同様に考えるとapの倍数となる.
    よって,abpの倍数となるが,これは,a,bが互いに素な整数であることに反する.
    この矛盾は,\sqrt[3]{p}を有理数だとした当初の仮定に起因する.よって,\sqrt[3]{p}は無理数である.
    証明終了.

    (2)
    a\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+b\sqrt[3]{p}+c=0の両辺に\sqrt[3]{p}を掛けることで,
    a\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+b\sqrt[3]{p}+c=0\Rightarrow ap+b\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+c\sqrt[3]{p}=0
    証明終了.

    (3)
    前問の結果より,
    ap+b\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+c\sqrt[3]{p}=0\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{p}\right)^2=-\frac{ap+c\sqrt[3]{p}}{b}が成り立つ.
    これをa\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+b\sqrt[3]{p}+c=0に代入すると,
    a\left(-\frac{ap+c\sqrt[3]{p}}{b}\right)+b\sqrt[3]{p}+c=0\Leftrightarrow bc-a^2p+\left(b^2-ac\right)\sqrt[3]{p}=0
    証明終了.

    (4)
    前問の結果より,
    bc-a^2p+\left(b^2-ac\right)\sqrt[3]{p}=0
    が成り立つ.
    (1)より,\sqrt[3]{p}は無理数のため,上式が成り立つためには,
    \begin{cases} bc-a^2p=0 \\ b^2-ac=0 \end{cases}
    が成り立てば必要十分.
    仮にa\neq0だとすると,
    b^2-ac=0\Leftrightarrow c=\frac{b^2}{a}であり,故にbc-a^2p=b\cdot\frac{b^2}{a}-a^2p=0\Leftrightarrow b^3=a^3p
    \therefore b=a\sqrt[3]{p}となるが,\sqrt[3]{p}が無理数でa,bは整数であるから矛盾.よって,a=0
    \therefore b^2-ac=0\Leftrightarrow b=0
    \therefore a\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+b\sqrt[3]{p}+c=0\Leftrightarrow c=0
    以上より,a=b=c=0
    証明終了.

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2018年早稲田大学理工|過去問徹底研究 大問2

2019.09.02

早稲田大学理工過去問徹底研究 2018年 大問2 方針の立て方 (1) 領域の図示も求積も頻出問題のため特筆事項なし.図示する場合には共有点はきちんと出しておくようにしよう. (2) 領域はの範囲に限られるため,は高々9通りを考えれば良い.そのためトリッキーな解法を考えるよりも,虱潰しに数え上げた方

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  • 早稲田大学理工過去問徹底研究 2018年 大問2

    方針の立て方

    (1)
    領域の図示も求積も頻出問題のため特筆事項なし.図示する場合には共有点はきちんと出しておくようにしよう.

    (2)
    領域は-3\leqq x\leqq5の範囲に限られるため,xは高々9通りを考えれば良い.そのためトリッキーな解法を考えるよりも,虱潰しに数え上げた方が速いと判断し,地道に数え上げる.

    解答例

    (1)
    \begin{cases} y=x+1 \\ y=-3x+5 \\ y=-\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}=-\frac{1}{4}\left(x+1\right)^2-1 \end{cases}
    これを図示すると,

    (なお,\left(-3,-2\right)\left(5,-10\right)で,放物線は直線と接する.)
    よって,求める面積は,
    \int_{-3}^{1}\left\{\left(x+1\right)-\left(-\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}\right)\right\}dx+\int_{1}^{5}\left\{\left(-3x+5\right)-\left(-\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}\right)\right\}dx\bigm=\left[\frac{1}{12}x^3+\frac{3}{4}x^2+\frac{9}{4}x\right]_{-3}^1+\left[\frac{1}{12}x^3-\frac{5}{4}x^2+\frac{25}{4}x\right]_1^5=\frac{32}{3}……(答)

    (2)
    x=-3からx=5まで,xを一つずつ動かしながら考える.
    x=-3……0個
    x=-2……0個
    x=-1……0個
    x=0……2個
    x=1……3個
    x=2……2個
    x=3……0個
    x=4……0個
    x=5……0個
    よって,求める個数は2+3+2=7個……(答)

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