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2018年慶応義塾大学総合政策 数学|過去問徹底研究 大問6

2019.09.08

2018年慶應義塾大学総合政策|数学過去問徹底研究 大問6 方針の立て方 (1) 解答欄の形式から,を用いてはいけないため,とについての等式を立てれば良いと分かる.この内,についての等式は,立てるまでもなく(座標)であるため,本解では省略した. (2) 特筆事項なし. (3) 実際にぐらいまで考えて

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    方針の立て方

    (1)
    解答欄の形式から,p_iを用いてはいけないため,s_ir_iについての等式を立てれば良いと分かる.この内,r_iについての等式は,立てるまでもなく(y座標)=r_iであるため,本解では省略した.

    (2)
    特筆事項なし.

    (3)
    実際に\left(r_4,s_4,p_4\right)ぐらいまで考えてみれば,解答が予測できる上に,何故そうなるのかの理由も分かる.

    (4)
    前問同様,最初の数回を具体的に考えれば解法を得られる.前問の試行で得られた知見を用いれば,比較的簡単に,期待値の評価ができる.

    解答例
    (63)(64)……01
    (65)(66)……02
    (67)(68)……01
    (69)(70)……00
    (71)(72)……06
    (73)(74)……02
    (75)(76)……06
    (77)(78)……06
    (79)(80)……12

    解説

    (1)
    y座標はr_iである.x座標をXとする.点と直線の距離の公式より,直線PR(y=\sqrt3x)と点J_iとの距離について,
    s_i=\frac{\left|r_i-\sqrt3X\right|}{2}
    となる.点J_iは,直線PRよりも下側にあるため,r_i-\sqrt3X\leqq0である.
    \therefore s_i=\frac{\sqrt3X-r_i}{2}\Leftrightarrow X=\frac{r_i+2s_i}{\sqrt3}
    \therefore\left(\frac{r_i+2s_i}{\sqrt3},r_i\right)……(答)

    (2)
    \left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(2,2,2\right)となる.
    \therefore\left(\frac{6}{\sqrt3},2\right)……(答)

    (3)
    \left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(4,2,0\right)となる.
    第3ラウンド以降は\left(r_i,s_i,p_i\right)\left(4,2,0\right)\left(6,0,0\right)のどちらかとなる.
    \left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(4,2,0\right)となる確率について考えると,第3ラウンド以降の14回の対戦全てが「R対Rが2組,S対Sが1組」という当たり方をせねばならない.これが起こる確率は,\left(\frac{1}{5}\right)^{14}である.よって,\left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(6,0,0\right)となる確率は1-\left(\frac{1}{5}\right)^{14}となり,明らかに,\left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(6,0,0\right)となる確率の方が大きい.
    よって,求める座標は\left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(6,0,0\right)から求められる点で,\left(\frac{6}{\sqrt3},6\right)……(答)

    (4)
    第1ラウンドが,
    (ⅰ)R対P,R対S,R対Sの場合(場合の数は6通り)
    \left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(4,0,2\right)E\left(P\right)>E\left(R\right)>E\left(S\right)となる.
    (ⅱ)R対P,R対R,S対Sの場合(場合の数は3通り)
    \left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(2,2,2\right)E\left(P\right)=E\left(R\right)=E\left(S\right)となる.
    (ⅲ)S対P,R対R,R対Sの場合(場合の数は6通り)
    \left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(4,2,0\right)E\left(R\right)>E\left(S\right)>E\left(P\right)となる.
    よって,E\left(R\right)>E\left(P\right)>E\left(S\right)となる.
    \therefore(12)……(答)

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2018年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問5

2019.09.03

2018年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問5 方針の立て方 各位の数字に着目していたり,桁と桁を比べたりしていることから,自然数というよりは,数字の並べ方の問題だととらえると処理しやすい.つまり,数字を1つ新しく加えることで,桁→桁に遷移すると考えるのである.自然数が3の倍数になる必要十分

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    方針の立て方

    各位の数字に着目していたり,n桁とn+1桁を比べたりしていることから,自然数というよりは,数字の並べ方の問題だととらえると処理しやすい.つまり,数字を1つ新しく加えることで,n桁→n+1桁に遷移すると考えるのである.自然数が3の倍数になる必要十分条件は,文系数学頻出のテーマのため覚えておくこと(他にも2,4,5の倍数になる条件は覚えておこう).(46)(47)(48)まで解けたら,後は典型的な漸化式の解法である.

    解答例
    (45)……5
    (46)……1
    (47)……2
    (48)……2
    (49)(50)……-1
    (51)(52)……02
    (53)(54)……05
    (55)(56)……02
    (57)(58)……-1
    (59)(60)……05
    (61)(62)……03

    解説

    〇(45)について
    各位の数が1,2,3,5,7のどれかとなれば必要十分.\therefore5^n……(答)

    〇(46)以降について
    各々の位の数字が1または素数となっているn+1桁の自然数は,各々の位の数字が1または素数となっているn桁の自然数に,1または素数をどこかの位に割り込ませた数字と見做せる.
    3の倍数となる必要十分条件が,各々の位の数字の和が3の倍数となることであることに注意すると,
    n桁の自然数が3で割り切れるとき…3をどこかの位に割り込ませれば,n+1桁の自然数も3で割り切れる.
    n桁の自然数が3で割ると1余る数のとき…2か5をどこかの位に割り込ませれば,n+1桁の自然数も3で割り切れる.
    n桁の自然数が3で割ると2余る数のとき…1か7をどこかの位に割り込ませれば,n+1桁の自然数も3で割り切れる.
    よって,a_n+2b_n+2c_n=a_{n+1}……(答)
    また,a_n+2b_n+2c_n=a_{n+1}\Leftrightarrow a_{n+1}=a_n+2\left(b_n+c_n\right)であること,①\Leftrightarrow b_n+c_n=5^n-a_nであることから,b_n+c_nを消去して,
    a_{n+1}=a_n+2\left(5^n-a_n\right)\Leftrightarrow a_{n+1}=-a_n+2\cdot5^n……(答)
    この漸化式を解く.両辺を5^{n+1}で割って,
    \frac{a_{n+1}}{5^{n+1}}=-\frac{1}{5}\cdot\frac{a_n}{5^n}+\frac{2}{5}
    \frac{a_n}{5^n}=A_nと置くと,
    A_{n+1}=-\frac{1}{5}A_n+\frac{2}{5}\Leftrightarrow A_{n+1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{5}\left(A_n-\frac{1}{3}\right) \therefore A_n-\frac{1}{3}=\left(A_1-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}=\left(\frac{a_1}{5}-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)^n
    \therefore a_n=\left\{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)^n\right\}\cdot5^n=\frac{2\left(-1\right)^n+5^n}{3}……(答)

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2018年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問4

2019.09.03

2018年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問4 方針の立て方 (1) 解に関する情報が与えられているので,解を文字で置くという解法を取ろう. 問題文ではとが問われているため,解と係数の関係を用いて,とを引っ張り出すのが都合がいいと考えると方針を得られる.の未知数5つに対して,解と係数の関係で

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    方針の立て方

    (1)
    解に関する情報が与えられているので,解を文字で置くという解法を取ろう.
    問題文ではabが問われているため,解と係数の関係を用いて,abを引っ張り出すのが都合がいいと考えると方針を得られる.\alpha,\beta,\gamma,a,bの未知数5つに対して,解と係数の関係で得られる方程式は5つあるため,この方程式を解きさえすれば答えが得られると判断し,後はひたすらに計算をする.

    (2)
    未知数がaの一文字だけなので,一先ずは3次方程式をなんとか解けないかと考える.すると,2次方程式の問題に帰着させられる.
    2次方程式に帰着させた後は,問題文で解のことが問われていることから,解の公式を使って,強引に解を表現することを試みる.後は必要条件で答えの候補を炙り出し,個々について十分性を検証することで,真の答えを絞り込んでいく.

    解答例
    (31)(32)(33)(34)……\frac{13}{04}
    (35)(36)(37)(38)……\frac{-3}{04}
    (39)(40)……04
    (41)(42)(43)(44)……\frac{02}{03}

    解説

    (1)
    共通解を\alpha,\betaとして,3次方程式のもう一つの解を\gammaとする.解と係数の関係から,
    \begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=5 \\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=a \\ \alpha\beta\gamma=-3 \end{cases}
    \begin{cases} \alpha+\beta=1 \\ \alpha\beta=b \end{cases}
    これを解くと,
    \begin{cases} a=\frac{13}{4} \\ b=-\frac{3}{4} \end{cases}……(答)

    (2)
    3x^3-\left(a+1\right)x^2-4x+a=0\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left\{3x^2-\left(a+4\right)x+a\right\}=0
    3x^2-\left(a+4\right)x+a=0の解は,
    x=\frac{a+4\pm\sqrt{\left(a+4\right)^2-12a}}{6}=\frac{a+4\pm\sqrt{a^2-4a+16}}{6}=\frac{a+4\pm\sqrt{\left(a-2\right)^2+12}}{6}
    よって,題意を満たすには,\left(a-2\right)^2+12=n^2(nは4以上の自然数)が必要.
    \left(a-2\right)^2+12=n^2\Leftrightarrow\left(n-a+2\right)\left(n+a-2\right)=12
    n-a+2とn+a-2はともに整数で,n+a-2\geqq3であるから,上式を満たす可能性があるのは,
    \begin{cases} n-a+2=4 \\ n+a-2=3 \end{cases},\begin{cases} n-a+2=3 \\ n+a-2=4 \end{cases},\begin{cases} n-a+2=2 \\ n+a-2=6 \end{cases},\begin{cases} n-a+2=1 n+a-2=12 \end{cases}
    の4つである.これらを解くと,順番に,
    \begin{cases} n=\frac{7}{2} \\ a=\frac{3}{2} \end{cases},\begin{cases} n=\frac{7}{2} \\ a=\frac{5}{2} \end{cases},\begin{cases} n=4 \\ a=4 \end{cases},\begin{cases} n=\frac{13}{2} \\ a=\frac{15}{2} \end{cases}
    n,aはともに整数であるから,適当なのは,\begin{cases} n=4 \\ a=4 \end{cases}のみ.これより,答えは,a=4のときで,整数ではない有理数解は\frac{2}{3}……(答)

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2018年慶応義塾大学総合政策 数学|過去問徹底研究 大問3

2019.09.03

2018年慶應義塾大学総合政策|数学過去問徹底研究 大問3 方針の立て方 どれも期待値の定義通りに計算するだけで解答が得られる.特筆事項なし. 解答例 (19)(20)(21)(22)…… (23)(24)(25)(26)…… (27)(28)(29)(30)…… 解説 (1) の期待値は,億円 の

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    方針の立て方

    どれも期待値の定義通りに計算するだけで解答が得られる.特筆事項なし.

    解答例

    (19)(20)(21)(22)……\frac{07}{08}
    (23)(24)(25)(26)……\frac{27}{64}
    (27)(28)(29)(30)……\frac{09}{16}

    解説
    (1)
    X_1の期待値は,\frac{5}{8}\cdot1+\frac{3}{8}\cdot0=\frac{5}{8}億円
    X_2の期待値は,\frac{1}{4}\cdot1+\frac{3}{4}\cdot0=\frac{1}{4}億円
    よって,S_1の期待値は,\frac{5}{8}+\frac{1}{4}=\frac{7}{8}億円……(答)

    (2)
    コインB,コインCの状態が,
    (表,表)となる確率は,\frac{5}{8}\cdot\frac{1}{4}=\frac{5}{32}であり,そのときS_1=2となる.
    (表,裏)となる確率は,\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{4}=\frac{15}{32}であり,そのときS_1=1となる.
    (裏,表)となる確率は,\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{32}であり,そのときS_1=1となる.
    (裏,裏)となる確率は,\frac{3}{8}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{32}であり,そのときS_1=0となる.
    よって,Z_1の期待値は,
    \frac{5}{32}\left(2-\frac{7}{8}\right)^2+\frac{15}{32}\left(1-\frac{7}{8}\right)^2+\frac{3}{32}\left(1-\frac{7}{8}\right)^2+\frac{9}{32}\left(0-\frac{7}{8}\right)^2=\frac{27}{64}……(答)

    (3)
    ・コインAが表となる場合(その確率は\frac{1}{2})
    コインBを二回投げた結果が,
    (表,表)となる確率は,\frac{5}{8}\cdot\frac{5}{8}=\frac{25}{64}であり,そのときS_2=2となる.
    (表,裏)となる確率は,\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{8}=\frac{15}{64}であり,そのときS_2=1となる.
    (裏,表)となる確率は,\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{8}=\frac{15}{64}であり,そのときS_2=1となる.
    (裏,裏)となる確率は,\frac{3}{8}\cdot\frac{3}{8}=\frac{9}{64}であり,そのときS_2=0となる.
    ・コインAが裏となる場合(その確率は\frac{1}{2})
    コインCを二回投げた結果が,
    (表,表)となる確率は,\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}であり,そのときS_2=2となる.
    (表,裏)となる確率は,\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{16}であり,そのときS_2=1となる.
    (裏,表)となる確率は,\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{16}であり,そのときS_2=1となる.
    (裏,裏)となる確率は,\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{16}であり,そのときS_2=0となる.
    よって,Z_2の期待値は,
    \frac{1}{2}\left\{\frac{25}{64}\left(2-\frac{7}{8}\right)^2+\frac{15}{64}\left(1-\frac{7}{8}\right)^2+\frac{15}{64}\left(1-\frac{7}{8}\right)^2+\frac{9}{64}\left(0-\frac{7}{8}\right)^2\right\}+\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{16}\left(2-\frac{7}{8}\right)^2+\frac{3}{16}\left(1-\frac{7}{8}\right)^2+\frac{3}{16}\left(1-\frac{7}{8}\right)^2+\frac{9}{16}\left(0-\frac{7}{8}\right)^2\right\}=\frac{9}{16}……(答)

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2018年慶応義塾大学総合政策|数学過去問徹底研究 大問2

2019.09.03

2018年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問2 方針の立て方 (1) 平易な問題のため特筆事項なし. (2) 実際に,対角線ACと接する円を考えると,題意を満たす範囲についてはすぐ分かる.次に面積を求めることになるが,題意を満たす図形は,辺の長さが不明な六角形であり,この面積を直接求めるのは

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    方針の立て方

    (1)
    平易な問題のため特筆事項なし.

    (2)
    実際に,対角線ACと接する円を考えると,題意を満たす範囲についてはすぐ分かる.次に面積を求めることになるが,題意を満たす図形は,辺の長さが不明な六角形であり,この面積を直接求めるのは難しい.そこで,長方形から三角形を2つ切り出すという解法にシフトする.

    (3)
    題意を満たす範囲については,(2)の対称性で考えればすぐに分かる.本問でもやはり題意を満たす図形の面積を直接求めるのは難しいため,三角形を切り出すという解法にシフトする.対称性から,切り出す三角形は二等辺三角形であることを見抜きたい.4つの三角形に関して分かる情報は底辺の長さだけであるから,4つの三角形だけに囚われず,12や9など,元から分かっている長さの情報が活用できないかを考える.すると本解の\tan{\varphi}を特定する方針が立つ.

    解答例
    (7)(8)(9)……140
    (10)(11)(12)……032
    (13)(14)(15)(16)(17)(18)……\frac{359}{006}

    解説

    (1)

    上図の斜線部が題意を満たす.
    \therefore10\times14=140……(答)

    (2)

    左上図の斜線部が題意を満たす.ここで,右上図のように,対角線ACと辺BCと接する半径1の円の中心をI,対角線ACと辺CDと接する半径1の円の中心をJとする.また,直線CIと辺AB,直線CFと辺DAの交点を,それぞれE,Fとする.更にIから辺BCへの垂線の足をG,Jから辺CDへの垂線の足をHとする.
    ここでCGとCHの長さを求める.
    まず,対角線ACの長さは,三平方の定理より20である.
    また,\angleACE=\angleECB,∠ACF=∠FCDが成り立つから,角の二等分線の定理より,
    AE\colonEB=20\colon16,AF\colonFD=20\colon12が成り立つ.これより,EB=\frac{16}{3},FD=6と分かる.
    更に,\triangleEBC\backsim\triangleIGC,△FCD∽△JCHより,相似比から,CG=3,CH=2と分かる.
    よって,左上図について長さの情報を足すと,下図となる.

    上図より,(1)で求めた図形から,12\times9の直角三角形を2つ取り除いた図形であることが分かる.よって,求める面積は,
    140-2\cdot\frac{1}{2}\cdot12\cdot9=32……(答)

    (3)

    題意を満たす領域は上図の斜線部.
    前問と同様に(1)で求めた図形から,三角形を4つ取り除いた図形と見做して考える.
    上図のように角度\varphiを取ると,\tan{\varphi}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}となる.このことより,右側の三角形の面積は,
    2\times\frac{1}{2}\cdot4\cdot4\tan{\varphi}=\frac{64}{3}
    となる.他の3つの三角形も同様に面積を求めることができて,左の三角形の面積は\frac{64}{3},上下の三角形の面積はそれぞれ\frac{75}{4}.これより,求める面積は,
    140-2\cdot\frac{64}{3}-2\cdot\frac{75}{4}=\frac{359}{6}……(答)

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2018年慶応義塾大学総合政策 数学|過去問徹底研究 大問1

2019.09.03

2018年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問1 方針の立て方 (1) 実際に題意を満たすつなげかたを探すことで方針を得る. (2) 「おはじきが取り除かれた」ことが前問の場合とどういう違いを与えるかを考える.おはじきが取り除かれれば,その場所のおはじきをつなげることができなくなるということだ

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    方針の立て方

    (1)
    実際に題意を満たすつなげかたを探すことで方針を得る.

    (2)
    「おはじきが取り除かれた」ことが前問の場合とどういう違いを与えるかを考える.おはじきが取り除かれれば,その場所のおはじきをつなげることができなくなるということだから,前問の場合と比べて,いくつかの読み方ができなくなるということである.それを考えると余事象から攻めるのがカギだと分かる.

    解答例

    (1)(2)(3)……252
    (4)(5)(6)……152

    解説
    (1)

    上図のように考えれば,左上からスタートして下か右にしか移動せず右下にいくと考えて,10回の移動の何回目に下に移動するかを考えれば,求める場合の数は,
    _{10}\mathrm{C}_5=\frac{10!}{5!5!}=252通り……(答)

    (2)
    余事象で考える.
    前問の図で左から3番目,上から4番目のおはじきを通る経路を考えると,
    {_5^}\mathrm{C}_3\times{_5^}\mathrm{C}_2=\frac{5!}{3!2!}\times\frac{5!}{2!3!}=100通り
    よって,求める場合の数は,
    252-100=152通り……(答)

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