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2016年慶応義塾大学総合政策数学|過去問徹底研究大問6

2019.09.04

2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問6 方針の立て方簡単に解ける公式や規則性等は見つけられないので，地道に書き出して考える．(2)でさえ高々16通りを考えればよいのだから，綺麗に解くことに時間を割くよりは，ケアレスミスにだけ気を付けてしらみつぶししたほうがコスパが良い．解答例 (6

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2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問6

方針の立て方

簡単に解ける公式や規則性等は見つけられないので，地道に書き出して考える．(2)でさえ高々16通りを考えればよいのだから，綺麗に解くことに時間を割くよりは，ケアレスミスにだけ気を付けてしらみつぶししたほうがコスパが良い．

解答例
(65)(66)…… $\frac{1}{2}$
(67)(68)…… $\frac{1}{2}$
(69)(70)…… $\frac{1}{2}$
(71)(72)(73)(74)…… $\frac{5}{8}$
(75)(76)(77)(78)…… $\frac{3}{8}$
(79)(80)(81)(82)…… $\frac{3}{8}$
(83)(84)(85)(86)…… $\frac{1}{8}$

解説

(1)
政党Aについて：YNY，YYNとY↔Nで入れ替えた４通り． $\therefore\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ ……(答)
政党Bについて：NYY，YYNとY↔Nで入れ替えた４通り． $\therefore\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ ……(答)
政党Cについて：NYY，YNYとY↔Nで入れ替えた４通り． $\therefore\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ ……(答)

(2)
YとNの並びを $\mathrm{AB}\mathrm{C}_1\mathrm{C}_2$ の順で表す．
政党Aについて：YYYN，NYYN(Y↔Nの入れ替えは含まない)と，YYNY，YNYY，YNYN，YYNNおよびY↔Nで入れ替えた計10通り． $\therefore\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$ ……(答)
政党Bについて：YYNY，YNNY(Y↔Nの入れ替えは含まない)と，NYYY，YYNNおよびY↔Nで入れ替えた計6通り． $\therefore\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$ ……(答)
政党 $\mathrm{C}_1$ について：YNYY，YNNY(Y↔Nの入れ替えは含まない)と，NYYY，YNYNおよびY↔Nで入れ替えた計６通り． $\therefore\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$ ……(答)
政党 $\mathrm{C}_2$ について：NYYY，NYYN(Y↔Nの入れ替えは含まない)の２通り． $\therefore\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$ ……(答)

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2019.09.04

2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問5 方針の立て方円形の図形と接するときは，まず中心と接点を結ぶ線を描くことを典型解法としておさえよう．そして，中心と接点を結んだ線を活かすためには，中心とさらにどこか１点を結ぶことが必要となると考えられる．OFを引くと，中心，点E，点O，円と円弧の

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2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問5

方針の立て方

円形の図形と接するときは，まず中心と接点を結ぶ線を描くことを典型解法としておさえよう．そして，中心と接点を結んだ線を活かすためには，中心とさらにどこか１点を結ぶことが必要となると考えられる．OFを引くと，中心，点E，点O，円と円弧の接点の４点を通って使い道が広いと考え，この線を引くことにする．そうすると，OF $=4$ が成り立つので，これを最終的な等式に使うと考え，必要な情報を集める．

解答例
(55)(56)…… $36$
(57)(58)(59)(60)…… $\frac{02}{13}$
(61)(62)…… $10$
(63)(64)…… $13$

解説

(1)
大円の半径の長さを $x$ 寸とおく．また，大円，中円，小円の中心を，それぞれ $\mathrm{O},\mathrm{O}^\prime,\mathrm{O}^{\prime\prime}$ とする．

各円の半径を考えることで， $\mathrm{O}\mathrm{O}^\prime=9+x,\mathrm{O}\mathrm{O}^{\prime\prime}=4+x,\mathrm{O}^\prime\mathrm{O}^{\prime\prime}=13$ と分かる．
よって，三平方の定理から，図の点線の $\mathrm{O}^{\prime\prime}$ より左側の線分の長さは12，右側の線分の長さは $4\sqrt x$ と分かる．
よって，点線全体の長さは $12+4\sqrt x$ であり，三平方の定理から $\mathrm{O}\mathrm{O}^\prime$ の長さは， $\sqrt{\left(x-9\right)^2+\left(12+4\sqrt x\right)^2}$ と分かる．これと $9+x$ が等しいため，
$9+x=\sqrt{\left(x-9\right)^2+\left(12+4\sqrt x\right)^2}$
が成り立つ．これを解くと， $x=36$ ……(答)

(2)

上図のように，線分ADと線分CBの交点をEとし，直線OEと弧ABとの交点をFとする．また，円の中心とEを結んだ線分の長さを $y$ 寸とし，円の半径の長さを $x$ 寸とする．
$\triangle$ OBCに対して余弦定理を用いると，
${\rm BC}^2={\rm OC}^2+{\rm OB}^2-2\cdot\mathrm{OC}\cdot\mathrm{OB}\cdot\cos{\angle\mathrm{AOB}}\Leftrightarrow{\rm BC}^2=1^2+4^2-2\cdot1\cdot4\cdot\frac{5}{8}=12$
$\therefore$ BC $=2\sqrt3$
角の二等分線の定理よりCE $\colon$ EB $=1\colon4$ であることから，
CE $=\frac{2\sqrt3}{5}$ ,EB $=\frac{8\sqrt3}{5}$
$\triangle$ OCEに対して余弦定理を用いると，
${\mathrm{CE}}^2={\mathrm{OC}}^2+{\mathrm{OE}}^2-2\cdot\mathrm{OC}\cdot\mathrm{OE}\cdot\cos{\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOB} }$
$\cos{\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOB}}=\sqrt{\frac{1+\cos{\angle\mathrm{AOB}}}{2}}=\frac{\sqrt{13}}{4}$ より，
${\mathrm{CE}}^2={\mathrm{OC}}^2+{\mathrm{OE}}^2-2\cdot\mathrm{OC}\cdot\mathrm{OE}\cdot\cos{\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOB}}\Longleftrightarrow\left(\frac{2\sqrt3}{5}\right)^2=1^2+{\mathrm{OE}}^2-2\cdot1\cdot\mathrm{OE}\cdot\frac{\sqrt{13}}{4}$
これを解くと，
OE $=\frac{2\sqrt{13}}{5},\frac{\sqrt{13}}{10}$
OE $>1$ より，
OE $=\frac{2\sqrt{13}}{5}$
ここで， $\angle$ CEO $=\angle$ DEO $=\angle$ AEFより，
$\sin{\angle\mathrm{AEF}}=\sin{\angle\mathrm{CEO}}$
正弦定理より，
$\frac{1}{\sin{\angle\mathrm{CEO}}}=\frac{\frac{2\sqrt3}{5}}{\sin{\angle\mathrm{COE}}}\Leftrightarrow\sin{\angle\mathrm{CEO}}=\frac{5\sqrt{1-{\mathrm{cos}}^2\angle\mathrm{COE} }}{2\sqrt3}=\frac{5\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{13}}{4}\right)^2}}{2\sqrt3}=\frac{5}{8}$
であるから，
$y=\frac{x}{\sin{\angle\mathrm{AEF}}}=\frac{8}{5}x$
線分OFの長さは４寸だから，
$\mathrm{OE}+x+y=4\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{13}}{5}+x+\frac{8}{5}x=4\Leftrightarrow x=\frac{2}{13}\left(10-\sqrt{13}\right)$ ……(答)

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2019.09.04

2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問4 方針の立て方問題文で「２つの曲線が交点Pで接するとは，Pにおける接線が一致することを意味し」という部分に着目し，これに沿って考える．つまり，接点の座標をおいて，その点での２曲線の接線をそれぞれ求めて，その２つの接線が一致する条件を書き下す．面

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2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問4

方針の立て方

問題文で「２つの曲線が交点Pで接するとは，Pにおける接線が一致することを意味し」という部分に着目し，これに沿って考える．つまり，接点の座標をおいて，その点での２曲線の接線をそれぞれ求めて，その２つの接線が一致する条件を書き下す．
面積の方は典型的な問題であるため特筆事項なし．

解答例
(43)(44)(45)(46)…… $\frac{-3}{04}$
(47)(48)(49)(50)…… $\frac{13}{04}$
(51)(52)(53)(54)…… $\frac{08}{03}$

解説

〇 $C$ と $C_1$ の接点の $x$ 座標と $C$ と $C_2$ の接点の $x$ 座標((43)～(50))について
$C$ と $C_1$ の接点の $x$ 座標を $x=\alpha$ ， $C$ と $C_2$ の接点の $x$ 座標を $x=\beta$ とする．
$C$ について， $y^\prime=x+a$ である．
よって， $x=\alpha$ ( $y=\frac{1}{2}\alpha^2+a\alpha+b$ )での接線は $y=\left(\alpha+a\right)x-\frac{1}{2}\alpha^2+b$ …①であり， $x=\beta$ ( $y=\frac{1}{2}\beta^2+a\beta+b$ )での接線は $y=\left(\beta+a\right)x-\frac{1}{2}\beta^2+b$ …②である．
$C_1$ について， $y^\prime=2x$ である．
よって， $x=\alpha$ ( $y=\alpha^2$ )での接線は $y=2\alpha x-\alpha^2$ …③である．
$C_2$ について， $y^\prime=2x-4$ である．
よって， $x=\beta$ ( $y=\beta^2-4\beta+5$ )での接線は $y=\left(2\beta-4\right)x-\beta^2+5$ …④である．
①と③，②と④が一致すれば必要十分のため，係数比較をすると，
$\begin{cases} \alpha+a=2\alpha \\ -\frac{1}{2}\alpha^2+b=-\alpha^2 \end{cases}$
$\begin{cases} \beta+a=2\beta-4 \\ -\frac{1}{2}\beta^2+b=-\beta^2+5 \end{cases}$
となる．これを解くと，
$\begin{cases} \alpha=-\frac{3}{4} \\ \beta=\frac{13}{4} \\ a=-\frac{3}{4} \\ b=-\frac{9}{32} \end{cases}$
よって，
$C$ と $C_1$ の接点の $x$ 座標は， $-\frac{3}{4}$ ……(答)
$C$ と $C_2$ の接点の $x$ 座標は， $\frac{13}{4}$ ……(答)

〇面積((51)～(54))について
$C_2$ と $C_2$ の交点は，
$\begin{cases} y=x^2 \\ y=x^2-4x+5 \end{cases}$
を解くことで， $\left(\frac{5}{4},\frac{25}{16}\right)$ と分かる．
よって，求める面積は，
$\int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{5}{4}}\left\{x^2-\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{4}x-\frac{9}{32}\right)\right\}dx+\int_{\frac{5}{4}}^{\frac{13}{4}}\left\{\left(x^2-4x+5\right)-\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{4}x-\frac{9}{32}\right)\right\}dx=\int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{5}{4}}\left(\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{4}x+\frac{9}{32}\right)dx+\int_{\frac{5}{4}}^{\frac{13}{4}}\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{13}{4}x+\frac{169}{32}\right)dx=\left[\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{8}x^2+\frac{9}{32}x\right]_{-\frac{3}{4}}^{\frac{5}{4}}+\left[\frac{1}{6}x^3-\frac{13}{8}x^2+\frac{169}{32}x\right]_{\frac{5}{4}}^{\frac{13}{4}}=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$ ……(答)

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2019.09.04

2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問3 方針の立て方は倍角の公式を用いればのみで表せるため，さえ求められれば良いのだと判断する．本解冒頭ののように，(は自然数)で与えられている場合に分母を払うのは典型的な処理であるためおさえておくこと．後は，加法定理で分解していけば求まる．解答

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方針の立て方

$\tan{2\alpha}$ は倍角の公式を用いれば $\tan{\alpha}$ のみで表せるため， $\tan{\alpha}$ さえ求められれば良いのだと判断する．
本解冒頭の $\alpha=\frac{\pi}{5}\Leftrightarrow5\alpha=\pi$ のように， $\alpha=\frac{m\pi}{n}$ ( $n,m$ は自然数)で与えられている場合に分母を払うのは典型的な処理であるためおさえておくこと．
後は，加法定理で分解していけば求まる．

解答例
(35)(36)……10
(37)(38)……02
(39)(40)……05
(41)(42)……05

解説

$\alpha=\frac{\pi}{5}\Leftrightarrow5\alpha=\pi$ より， $\tan{5\alpha}=\tan{\pi}=0$
また，加法定理を用いれば，
$\tan{5\alpha}=\tan{\left(3\alpha+2\alpha\right)}=\frac{\tan{3\alpha}+\tan{2\alpha}}{1-\tan{3\alpha}\tan{2\alpha}}$
であるから，
$\tan{5\alpha}=0\Leftrightarrow\tan{3\alpha}+\tan{2\alpha}=0$
加法定理より，
$\tan{3\alpha}=\tan{\left(2\alpha+\alpha\right)}=\frac{\tan{2\alpha}+\tan{\alpha}}{1-\tan{2\alpha}\tan{\alpha}}$
$\therefore\tan{3\alpha}+\tan{2\alpha}=0\Leftrightarrow\frac{\tan{2\alpha}+\tan{\alpha}}{1-\tan{2\alpha}\tan{\alpha}}+\tan{2\alpha}=0\Leftrightarrow\tan^22\alpha\tan{\alpha}-2\tan{2\alpha}-\tan{\alpha}=0$
倍角の公式より，
$\tan{2\alpha}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2\alpha}$
$\therefore\tan^22\alpha\tan{\alpha}-2\tan{2\alpha}-\tan{\alpha}=0\Leftrightarrow\left(\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2\alpha}\right)^2\tan{\alpha}-\frac{4\tan{\alpha}}{1-\tan^2\alpha}-\tan{\alpha}=0\Leftrightarrow\tan^4\alpha-10\tan^2\alpha+5=0$
これを解くと，
$\tan^2\alpha=5\pm2\sqrt5$
であるが， $\tan{\frac{\pi}{6}}<\tan{\alpha}=\tan{\frac{\pi}{5}}<\tan{\frac{\pi}{4}}$ より， $\frac{1}{\sqrt3}<\tan{\alpha}<1$ より，
$\tan^2\alpha=5-2\sqrt5$
であり，
$\tan{\alpha}=\sqrt{5-2\sqrt5}$
$\therefore\tan{2\alpha}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2\alpha}=\frac{2\sqrt{5-2\sqrt5}}{1-\left(5-2\sqrt5\right)}=\frac{\sqrt{5-2\sqrt5}}{\sqrt5-2}=\sqrt{5-2\sqrt5}\cdot\left(\sqrt5+2\right)=\sqrt5\cdot\sqrt{\left(\sqrt5-2\right)\left(\sqrt5+2\right)}\cdot\sqrt{\sqrt5+2}=\sqrt5\cdot\sqrt{\sqrt5+2}=\sqrt{5+2\sqrt5}$
$\therefore\tan{\alpha}+\tan{2\alpha}=\sqrt{5-2\sqrt5}+\sqrt{5-2\sqrt5}\cdot\left(\sqrt5+2\right)=\left(\sqrt5+3\right)\sqrt{5-2\sqrt5}=\sqrt{\left(\sqrt5+3\right)^2\left(5-2\sqrt5\right)}=\sqrt{10+2\sqrt5}$ ……(答)
$\tan{\alpha}\tan{2\alpha}=\sqrt{5-2\sqrt5}\cdot\sqrt{5+2\sqrt5}=\sqrt{\left(5-2\sqrt5\right)\left(5+2\sqrt5\right)}=\sqrt5$ ……(答)

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2019.09.04

2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問2 方針の立て方一文字固定法の典型的な問題である．題意を満たす点の座標を求める問題のため，座標を文字でおくのが定石である．後は，２乗和を実際に計算し，一文字固定法の解法を取れば良い．(2)では，本当に「”三角形の各辺”からの距離」という題意を満た

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方針の立て方

一文字固定法の典型的な問題である．
題意を満たす点の座標を求める問題のため，座標を文字でおくのが定石である．後は，２乗和を実際に計算し，一文字固定法の解法を取れば良い．(2)では，本当に「”三角形の各辺”からの距離」という題意を満たしているか(”直線との距離”と”三角形の各辺からの距離”は必ずしもイコールになるとは限らない)を確認せねばならないことに注意．

解答例
(19)(20)(21)(22)…… $\frac{11}{05}$
(23)(24)(25)(26)…… $\frac{27}{05}$
(27)(28)(29)(30)…… $\frac{01}{04}$
(31)(32)(33)(34)…… $\frac{51}{20}$

解説

(1)
$\begin{cases} x+2y-4=0 \\ 2x-y-2=0 \\ x-y+5=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} y=-\frac{1}{2}x+2 \\ y=2x-2 \\ y=x+5 \end{cases}$
交点を考えると，
$y=-\frac{1}{2}x+2$ と $y=2x-2$ の交点は， $\left(\frac{8}{5},\frac{6}{5}\right)$
$y=2x-2$ と $y=x+5$ の交点は， $\left(7,12\right)$
$y=x+5$ と $y=-\frac{1}{2}x+2$ の交点は， $\left(-2,3\right)$
図示すると，

$xy$ 平面上の点を $\left(x,y\right)$ とおく．この点と三角形の各頂点との距離の２乗和は，
$\left\{\left(\frac{8}{5}-x\right)^2+\left(\frac{6}{5}-y\right)^2\right\}+\left\{\left(-2-x\right)^2+\left(3-y\right)^2\right\}+\left\{\left(7-x\right)^2+\left(12-y\right)^2\right\}=3x^2+3y^2-\frac{66}{5}x-\frac{162}{5}y+210=3\left(x-\frac{11}{5}\right)^2+3\left(y-\frac{27}{5}\right)^2+108$
よって，２乗和が最小となるのは， $\left(x,y\right)=\left(\frac{11}{5},\frac{27}{5}\right)$ のとき……(答)

(2)
$xy$ 平面上の点を $\left(x,y\right)$ とおく．この点と三角形の各辺との距離の２乗和は，点と直線の距離の公式より，
$\frac{\left(x+2y-4\right)^2}{5}+\frac{\left(2x-y-2\right)^2}{5}+\frac{\left(x-y+5\right)^2}{2}=\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}y^2-xy+\frac{9}{5}x-\frac{37}{5}y+\frac{33}{2}=\frac{3}{2}\left(x-\frac{1}{3}y+\frac{3}{5}\right)^2+\frac{4}{3}\left(y-\frac{51}{20}\right)^2+\frac{729}{100}$
よって，２乗和が最小となるのは，
$\begin{cases} x=\frac{1}{3}y-\frac{3}{5} \\ y=\frac{51}{20} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{51}{20} \end{cases}$
のときである．これは三角形の内部の点であるから，この点から各直線に下した垂線の足は，三角形の辺上にあり，題意から外れない．
よって， $\left(\frac{1}{4},\frac{51}{20}\right)$ ……(答)

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2019.09.04

2016年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問1 方針の立て方 (1) 典型問題であり，特筆事項なし． (2) 実際に題意を満たす碁石の置き方をいくつか考えてみると，順番に並べていく内に，碁石の置き方が１パターンずつ減っていくことが分かり，解法を得る． (3) 正攻法で考えようとすると，意外と

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方針の立て方

(1)
典型問題であり，特筆事項なし．

(2)
実際に題意を満たす碁石の置き方をいくつか考えてみると，順番に並べていく内に，碁石の置き方が１パターンずつ減っていくことが分かり，解法を得る．

(3)
正攻法で考えようとすると，意外と題意を満たす置き方が多いことに気付くので，余事象を数える方が，考えるパターン数が少なくて済むと考える．

解答例
(1)(2)……84
(3)(4)(5)(6)……1820
(7)(8)……06
(9)(10)(11)(12)……0024
(13)(14)……78
(15)(16)(17)(18)……1428

解説

(1)
$n\times n$ で考えると， $n^2$ 個の格子点の内，碁石を置く $n$ 個の点の選び方が ${_{n^2}\mathrm{C}}_n$ 通りあるので， $A_n={_{n^2}\mathrm{C}}_n$ ．
$\therefore A_3={_{3^2}\mathrm{C}}_3={_{9}\mathrm{C}}_3=84$ ……(答)
$\therefore A_4={_{4^2}\mathrm{C}}_4={_{16}\mathrm{C}}_4=1820$ ……(答)

(2)
$n\times n$ で考える．第１列から順番に，題意を満たすように碁石を１個ずつ置いていくと考えると，
第１列での碁石の置き方は $n$ 通り．
第２列での碁石の置き方は，第１列で選んだ行以外の行から選べばいいので， $n-1$ 通り．
第３列での碁石の置き方は，第１列と第２列で選んだ行以外の行から選べばいいので， $n-2$ 通り．
$\vdots$
第 $n$ 列での碁石の置き方は，第１列と第２列と……と第 $n-1$ 列で選んだ行以外の行から選べばいいので，１通り．
よって， $B_n=n\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(n-2\right)\cdot\cdots\cdots\cdot1=n!$
$\therefore B_3=3!=6$ ……(答)
$\therefore B_4=4!=24$ ……(答)

(3)
〇 $C_3$ について((13)(14)について)
余事象で考える．

題意を満たさないのは，上図のように３個の碁石が一直線に並んだとき．
上図のように縦一列に並ぶときと，他に横一列に並ぶパターンがある．
よって，題意を満たさない並べ方は６通り．
$\therefore C_3=A_3-6=84-6=78$ ……(答)
〇 $C_4$ について((15)～(18)について)
余事象で考える．

題意を満たさないのは，上図のように４個の碁石が一直線に並んだときと，他に３個の碁石が一直線に並んだとき．
４個の碁石が一直線に並ぶのは，縦一列に並ぶパターンと横一列に並ぶパターンがあり，合計で８通りある．
３個の碁石が一直線に並ぶ場合の数は，４つが一直線に並んだ状態(８通り)から，碁石を１つ選んで(４通り)他の格子点に移動させる(12通り)ことを考えると，
$8\cdot4\cdot12=384$ 通り．
$\therefore C_4=A_4-8-384=1820-8-384=1428$ ……(答)

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