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【英語】共通構文とは？単語の省略方法まで解説

2017.03.02

何度も何度も同じ言葉を言うのは正直面倒くさいですよね。私たちが日本語を話すときは自然と繰り返しになる言葉は省略していると思います。実は英語でも繰り返しとなる言葉を省略することができるのです。それを可能にしているのが共通構文。今回は知っていると便利な共通構文を解説します。共通構文とは？共通

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何度も何度も同じ言葉を言うのは正直面倒くさいですよね。
私たちが日本語を話すときは自然と繰り返しになる言葉は省略していると思います。

実は英語でも繰り返しとなる言葉を省略することができるのです。

それを可能にしているのが共通構文。

今回は知っていると便利な共通構文を解説します。
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共通構文とは？

共通構文とは、1つの文中にある単語が何度も繰り返し登場する文章のことです。

この共通構文は会話でもよく使われれば、英文にもよく使われます。

そのため共通構文をマスターすることで、レベルの高い英語を使用することができるだけではなく、リーディングにも大きく役立ちます。

例文を見てみましょう。

I ate pasta for lunch and ate a pizza for dinner.　私は昼食にパスタを食べて、夕食にピザを食べた。

この例文ではateという単語が共通していますよね。

She wants to do something, but I have no idea what she wants to do. 彼女は何かしたいみたいだけど、彼女が何をしたいのかはわからない。

この例文ではshe wants to doという文章が共通しています。

単語だけではなく、文章が共通することもあるのです。

My child is genius, but other children are not genius.　私の子供は天才だけど、他の子供たちは違うわ。

この文章で共通しているのはchildとchildren、そしてgeniusです。

childrenはchildの複数形なので共通しています。

最後にもう一つだけ例文を確認しましょう。

Government of the people, government by the people, government for the people.　人民の、人民による、人民のための政治。

これはアメリカ合衆国大統領のエイブラハム・リンカーンがゲティスバークで演説を行った際に言った最も有名な名言の1つです。

この名言ではGovernmentが共通しています。

このように共通構文は1つの文中に同じ単語が何度も省略する文のことです。

単語の省略

共通構文を見てきましたが、正直同じ単語が何度も登場するのは面倒くさいですよね。

面倒くさいですし、何よりインパクトが薄れてしまいます。

リンカーンは本当に長々とGovernment~, government~と言ったのでしょうか？

実際にエイブラハム・リンカーンが言ったのは次のセリフです。

Government of the people, by the people, for the people.　人民の、人民による、人民のための政治。

実は最初のGovernmentの後は省略してリンカーンは言っていたのです。

このように1度出てきた単語を2度目、3度目というときには、その単語を省略することができるのです。

ではこれまでに確認してきた例文の単語省略を行ってみましょう。

I ate pasta for lunch and ate a pizza for dinner.　私は昼食にパスタを食べて、夕食にピザを食べた。

この例文ではateが2度出てきていますよね。

したがって2回目のateを省略すると次のようになります。

I ate pasta for lunch and a pizza for dinner. 昼食にパスタ、夕食にピザを食べた。

本当はandの後にateが来るはずなのですが、もうすでに使われているので省略してOKということです。

She wants to do something, but I have no idea what she wants to do. 彼女は何かしたいみたいだけど、彼女が何をしたいのかはわからない。

これは単語ではなく文章が共通していましたね。

しかし文章が共通していても、考え方は同じ。

この例文を省略形にすると、以下のようになります。

She wants to do something, but I have no idea what.

難しそうに見えますが、単純に同じことを省略しただけです。

My child is genius, but the other children are not genius.　私の子供は天才だけど、他の子供たちは違うわ。

これは自分で省略形に出来ますか？

一度試しにやってみてください。

正解は

My child is genius, but the others are not.

大分スッキリしましたよね。

このようにotherを使用した省略形はよく出るので覚えておきましょう。

他によく海外の恋愛ドラマや映画で使用されるのが次の例文。

I love you, I always have and I always will.　　これまでも、そしてこれからもずっと愛しているよ。

この例文で省略が起きているのはI always have and I always willです。

省略しないで書くと

I love you, I always have loved you and I always will love you.

love youが多すぎて、ちょっとうっとうしいですよね。

だから共通するlove youを省略したというわけです。

これまで見てきたように共通構文は面倒くさがり屋です。

何度も同じことを言うのが面倒くさいので、同じ単語は省略しています。

単語の省略は難しく考える必要はありません。

とりあえず共通した単語を省略すればいいのだなあくらいに思って構いません。

たくさんの英文に触れ合うと感覚で省略の仕方がわかってきます。

今回紹介したポイントを覚えて、たくさん英語と触れ合ってください。

【英語】強調構文とは？会話で頻出の強調表現を大紹介

2017.02.24

私たちが日本語を話すときは「本当に」や「絶対」などを使用して強調を表現しますよね。英語でも同じです。 reallyやveryを使用することで強調を表現できますが、よく使用されるのが強調構文。文法問題でもよく出ますし、スピーキングでもよく使用されます。今回は絶対に覚えておきたい強調構文を学びまし

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私たちが日本語を話すときは「本当に」や「絶対」などを使用して強調を表現しますよね。
英語でも同じです。

reallyやveryを使用することで強調を表現できますが、よく使用されるのが強調構文。

文法問題でもよく出ますし、スピーキングでもよく使用されます。

今回は絶対に覚えておきたい強調構文を学びましょう。
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強調構文とは？

何か言いたいことを強調する方法は無限大にあります。

reallyやveryを使用して、強調してももちろんOKです。

しかし副詞を使用した強調表現には限りがあります。

例えば「私が料理した」という文で、「私」を強調したいときにはどうしましょうか？

Really, I cooked.

I cooked, really.

はスピーキングでは間違いではありませんが、文章にすると違和感がありますよね。

今回はveryやreally以外の方法で強調する方法をご紹介します。

テストによく出るものから、スピーキングで使えるものまで紹介するので、ぜひ最後まで読んでください。

では早速1つ目のIt is / It was構文から見ていきましょう。

It is / It was構文

It is / It was~は特定の主語や目的語を強調したいときによく使用されます。

~の後ろには関係代名詞が続きます。

例文を見ながら理解を深めましょう。

It was I who cooked. 料理をしたのは私です。

注意点はIt was MEではなくIになっているということです。

同様にHIMやHERなどではなくHEやSHEが使用されます。

こうすることによって主語のIを強調することができるのです。

ではHe did everything.　彼が全部してくれた。

この例文を強調構文に変えることはできますか？

難しくないですよね。

It was he that did everything.

です。

この強調構文ではwhoだけではなく、thatも使用することができます。

さらに例文を見ていきましょう。

It was because I felt pretty bad, I left the school early. 気分が本当に悪かったので、学校を早引きしました。

この例文は今までのとは少し違いますね。

IやHeではなくbecauseが使用されています。

It is / It was because～で理由を強調できます。

The reason why I left the school early was because I felt pretty bad.

これもまた理由を強調しています。

The reason why ~ is / was…の形も覚えておきましょう。

関係代名詞Whatを使用する

関係代名詞のWhatを使用することで強調することができます。

例文を見ていきましょう。

What we need is hot meals.　僕たちに必要なのは温かい食事さ。

このように関係代名詞Whatを使用して、主語を作ることで強調構文を作ることができます。

この例文で強調しているのはWhat we need、つまり「僕たちに必要なもの」です。

What I don’t like about him is his rudeness.　僕が彼の失礼なところが気に入らない。

この文で強調している部分はWhat I don’t like about him 「僕が彼の気に入らないところ」ですね。

Whatを使用した強調構文では、

サンドイッチを思い浮かべることで理解しやすくなると思います。

Whatとその後ろに来るis /wasをパンと考えて、その間に挟まれている文が強調される具なのです。

What he did yesterday was play soccer. 彼が昨日したことはサッカーだ。

Whatとwasに挟まれている具材はhe did yesterday 「彼が昨日したこと」ですね。

これが強調される部分なのです。

関係代名詞Whatを使用した強調構文はスピーキングでもよく使用されるのでマスターしましょう。

Do / Didを使用した強調

強調を表現するときではDoやDidは文中で特殊な使用されます。

例えば

We did go to the market.　私たちはマーケットに行った。

どうですか？

違和感がありますよね。

普通は

We went to the market.

になるべきです。

ではWe did go to the market.は間違いなのでしょうか？

実はこれは強調構文として正しいのです。

強調を表現するときにだけ、Do、Did、そしてDoesを動詞の前に置くことができるのです。

そして動詞は原型になることに要注意。

I do believe that you are wrong.　僕は君が間違っていると強く思うよ。

このDo / Didの用法は自分の意見を述べる時によく使用されます。

She does love her dogs. 彼女は本当にペットの犬たちを愛している。

強調を表すdoesがあるので、lovesではなくloveです。

この強調表現は会話で本当によく使用されます。

絶対にマスターして、自分も使えるようになりましょう。

強調構文は面白いですよね。

本当に表現の仕方は無限大なので、たくさん覚えて使用できるようになってください。

特に今回紹介した3つは超頻出なので、絶対にマスターしてくださいね。

親が考える志望校 / 生徒視点の志望校とは？

2017.02.21

志望校を決める時、どのような判断軸で志望校を決めていますでしょうか？この記事では教育業界で20年以上のキャリアを持つプロが生徒側、保護者側からの視点でどのように志望校を決めたら良いのかを当塾側からアドバイスをしていきます。参考にしていただければ幸いです。 ①　生徒編志望校を決めるときにどうやっ

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志望校を決める時、どのような判断軸で志望校を決めていますでしょうか？
この記事では教育業界で20年以上のキャリアを持つプロが生徒側、保護者側からの視点でどのように志望校を決めたら良いのかを当塾側からアドバイスをしていきます。
参考にしていただければ幸いです。
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①　生徒編

志望校を決めるときにどうやって決めるかはとても難しい問題ですね。
受験勉強を始める段階で以下のことを考えて、書き出してみてください。
- 興味のある学部はあるか？
- 将来就きたい仕事はあるか？
- 大学在学中に獲得したい資格はあるか？できるようになりたいことはあるか？
例えば、（ありきたりすぎる例ですが）、次のようなことを考えてみました。

①　英語

②　英語の先生

③　教員免許状、英検1級

以上のことを書いてみるだけでだいぶ違うと思います。

そのうえで学部・学科を決めていきましょう。

上の例だと、英語を勉強したいのだから英語学科というようなものでもいいと思います。
また、別の学部だが英語教育に力を入れている大学、留学できる大学などいろいろと考えることができます。

学部学科はあまり絞り込まずにいくつか候補を上げる程度でいいと思います。

進学する場所について

まず、大きな問題として下宿することができるかです。
絶対に自宅から通わなければならないという場合、範囲がとても狭くなります。
下宿も可ですと範囲は広くなりますが、場所によって下宿に必要な費用も変わります。
この辺りは親と話し合う必要があるでしょう。
自宅から通う場合でも、通学時間、場所などの問題もあります。
もし、アルバイトをしたいというときに大学のそばでアルバイトをするのか家のそばでするのかによってもいろいろ変わってきます。

自身の成績についてどう考えるか？

自分の模擬試験の偏差値を準備してください。
もし、今4月ならばかなり上の学校を選んでもいいでしょう。
それに向けて努力するのは自分です。目標に向かって頑張ってください。
一方、試験に近づけば近づくほど上の学校を選ぶのは難しくなっていきます。

できる限り早い段階で志望校を決定した方がいいでしょう。

また、できる限り高い偏差値の志望校を選ぶことも大切です。

例えば、初めに偏差値60の大学を選び受験勉強を始めたが途中で偏差値70の大学がよくなったときどうしますか？

逆はできますね。科目数についてもそうです。
5科目必要な大学から3科目必要な大学への志望校変更は効きますが、逆は無理です。

もし、自分の志望大学が偏差値的に今の自分の力で十分いけると思った場合、仮にもっと上の大学を第一志望にしておくことをお勧めします。
偏差値60の大学に合格したいときに偏差値60を目指しては苦戦するのは当然です。
偏差値60の大学に行きたいならば、偏差値65位を目標にしていけばいいのです。
できるだけ志は高く持ってください。

実際の受験ではいわゆる「滑り止め」校も受験します。
第2志望、第3志望ということになりますが、ここを選ぶのも重要です。

まず、偏差値的には広い範囲から選んでください。
第1志望と同等（あるいは高めでも構いません）から、偏差値でいうと５ポイント下、10ポイント下程度のところまで選んでください。
第2志望、第3志望となるにつれて妥協する部分は多くなるでしょう。

偏差値で妥協しているのだから他のところは嫌だ！などといわず、ちょっと遠いけど仕方ない、学部がちょっと違うけど仕方がないというように選んでください。

「絶対に浪人はできない」という受験生の人はここをしっかりとしなければなりませんし、比較的自分からやってくれます。

問題は、「浪人してもいい」と思っている人です。
浪人してもいいという人でも必ず第2志望以下を選んでください（もちろん、数が少なくなるのは当然だと思いますが）。

「絶対に行かないのだから受ける必要がない」という人がかなりいます。
いかないのは自由ですが、それでも受けてほしいのです。

理由は第1志望に合格するためです。

今まで高校受験などで受験を経験しているでしょうし、模擬試験なども受けていると思います。
もう、子どもじゃないのだから大丈夫と思うかもしれませんが、受験というのは思った以上のプレッシャーです。

まず、第一志望の前にどこか受験しましょう。
そして、「合格する」という経験をしてみてください。

それによって、今までやっていたことが正しかった、こうすれば合格するんだということを体感できます。

そして、それは自信となります。

逆によくあるパターンが、第1志望からちょっと下の偏差値（２～５ポイント下）の学校を２，３校受験し、すべて落ちてしまった時に「もう何をしても合格する気が起きない」といいだすことです。
ああ、またかと思いますが、人間そんなものです。
ちょっとしたことで自信が出てきたり自信を失ったりします。

自信を持って受験するということは自分の力を出し切るということです。
どうか、そこまで考えて志望校を決めてください。

実際に試験が始まると、「やっぱり受験しない」という生徒も出てきます。
一度決めた志望校は最後まで受験しましょう。

もちろん、進学先が決まった後はお任せしますが…。
第一志望校に不合格の後の学校についても受験することをやめない方がいいと思います。
特に、浪人する方は受験してください。

関係ないと思うかもしれませんが、「合格する」という経験をして浪人するだけで違います。（したがって、進学先が決まった後も自分の受験勉強の成果を試すために受験することはありだと思います。）

初めに決めたことを最後までやりきるということは受験勉強においてとても大切なことです。ぜひ、最後までやり遂げてください。

受験料について

最後に、ちょっと書きづらいことなのですがあえて書きたいと思います。
志望校を決めるとき、あるいは決めて出願するときにこのようなことを言う生徒さんが少なくありません。

「経済的負担を親にかけたくないので、下の学校は受けません。」
「合格してもいかないのだから、余計なお金は払いたくありません。」

上に書いたように、何のために受験するのかを考えたら本末転倒です。
最初に「経済的な負担を考えて受験校は5校までにする」と決め、その中で上記のようなことを考えて選ぶのはいいと思います。

しかし、何も考えずに偏差値的に下の学校をなくしてしまうというのは合格への道筋を自分で叩き壊すようなことです。

受験料を親に払わせるのが申し訳ないといいますが、親御さんは同じ意見ですか？
直接お話ししてみると、親御さんはそのくらい気にしないから受けさせますということもよくあります。
もし、本当に申し訳ないならば合格した後アルバイトして返せばいいのではないですか？
受験料は安い金額ではありません。

しかし、皆さんの将来を考えたら払う価値のあるお金です。

志望校を決めるときはいろいろな迷いが出てきます。
その根源は皆さんの「自信のなさ」であることが多いです。
弱い自分に勝つことは受験で合格する第一歩です。
常に高い志を持ってそこに向かって努力してください。
同時に偏差値が低い学校を馬鹿にせずに勉強を続けてください。
それが合格への近道です。

②保護者様編

上記の内容は保護者様も一読いただければと思っています。
受験において第一志望のみを目指して受験勉強をし、第一志望のみを受験して合格するというのは非常に難しいことです。
第3志望、第4志望まで受験してくださいといった時に保護者様から

「こんな偏差値が下の学校も受けるんですか？」

といわれることがあります。
決してお子さんを馬鹿にしているわけではありません。

受験勉強に段階があるように、受験も段階があります。

第一志望に向けて戦略を練って受験を組み立ててください。

また、お子さんが「この学校受けたくない」と言い出した時には、厳しさをもって、受けるように言ってください。
偏差値が低い学校を受けたくないというのは「こんな学校も落ちたら恥ずかしい」というような逃げであることもあります。

受験勉強は決めたことを最後までやり通すということでもあります。
高い偏差値の学校を志望校にしないのも、成績が伸びなかったら恥ずかしい、勉強するのはつらいという逃げのこともあります。

推薦入試での受験を希望するというのも逃げであることがあります。
受験勉強もしつつ推薦入試をチャレンジするのはいいと思いますが、受験勉強をしないための推薦入試というのは落ちた時に取り返しがつかなくなります。

同時に、いざ合格してみると「やっぱりこの学校に行く」と言い出すこともあります。

合格した学校に入学するもしないも自由ですが、合格していない学校に入学することはできません。（同じことで、高い偏差値の学校を目指していて低い偏差値の学校に変更はできますが、逆は難しいです）。

常にお子さんが選択肢を持てるよう、高い目標設定を常にして、決めたことをやりきることがとても大切なことです。

いろいろな機会にお子さんと話をして受験勉強を実りあるものにしていってください。

0から理解する遠心力の理屈（円運動その３）

2017.02.19

遠心力とは何でしょうか。身近な例だと遊園地にあるコーヒーカップに乗っているときに、乗っている人は外側に引っ張られる力を感じます。これが遠心力です。今回これを例に遠心力について学んでみましょう。遠心力を理解するには、慣性力がまずわかっていなければなりません。まず慣性力とは、運動している人が加速

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遠心力とは何でしょうか。身近な例だと遊園地にあるコーヒーカップに乗っているときに、乗っている人は外側に引っ張られる力を感じます。
これが遠心力です。
今回これを例に遠心力について学んでみましょう。

遠心力を理解するには、慣性力がまずわかっていなければなりません。
まず慣性力とは、運動している人が加速運動をしている際に加速度と逆方向に力が働きこれを慣性力といいます。
遠心力は円運動における慣性力のことを言います。

遠心力を簡単に言いえば、向心力と大きさが等しく、反対向きにはたらく力のことです。

図１

遠心力と向心力で考える違いは、前者が力のつり合いで考えるのに対し、後者は運動方程式で考えるというところです。
そして遠心力のややこしいところは式のみかけ上は円運動の運動方程式と変わらないので（当たり前ですけど）、そのため自分がどっちの立場で考えているのかを区別して問題を解きましょう。

最後に例題を使って、遠心力の理解を深めましょう。

問：

図２のような、長さ l の糸の一端を固定し、他端に質量 m

のおもりをつるし、このおもりを水平面内で角速度ωで等速

円運動させたときの円錐振子運動について、以下の問いに答

えよ。

（1）糸の張力をm,gθを用いて表せ。

（2）物体水平方向について、遠心力を考えた場合

と運動方程式で考えた場合で両者が一致することを確認せよ。

ただし鉛直線と糸とのなす角を θ 、重力加速度を g とする。

図２

解：

図３

(1)図３において力のつり合いから、

mg＝Tcosθ

$T=\frac{mg}{\cos \theta}$

(2)

遠心力：

遠心力をmrω²で力のつり合いより

$mr\omega ^{2} = T \sin \theta=mg\tan \theta$

運動方程式：

向心力がTsinθで円運動の方程式から

$ma=mr\omega ^{2} = T \sin \theta=mg\tan \theta$

よって両者は一致した。

0からのケプラーの法則の理解の仕方（万有引力その３）

2017.02.18

ケプラーの法則は全部で３つあります。 ①惑星は太陽を一つの焦点とする楕円軌道を描く ②惑星と太陽間の線分が単位時間に描く面積は一定（S1=S2、面積速度一定の法則） ③惑星の公転周期の2乗と軌道の長半径の3乗の比は一定（a2/T3=定数） ①の意味するところは惑星の軌道が円ではなく楕円であり（実際の

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ケプラーの法則は全部で３つあります。
①惑星は太陽を一つの焦点とする楕円軌道を描く

②惑星と太陽間の線分が単位時間に描く面積は一定（S₁=S₂、面積速度一定の法則）

③惑星の公転周期の2乗と軌道の長半径の3乗の比は一定（a²/T³=定数）

①の意味するところは惑星の軌道が円ではなく楕円であり（実際の入試問題では円軌道が

多いですが）、太陽の位置は楕円の中心ではなく焦点の1つであるということです。

※二つの焦点が一致したとき楕円は円になります。

②は、太陽に近いところでは惑星は速度を増し、太陽から遠いところでは惑星は速度を落とすことを意味しています。
これは、惑星が軌道上を移動する際の面積速度が一定である事を意味し、「面積速度一定の法則」と呼ばれる所以です

③は、公転周期の長さは楕円軌道の長半径のみに依存し、楕円軌道の離心率に依存しないので、楕円軌道の長半径が同じであれば、円運動でも楕円運動でも周期は同じになるということを言っています。

※楕円や離心率については数学Ⅲで詳しくは勉強します。
（高校物理という意味では離心率など考えなくてかまいません）

実はケプラーの法則から万有引力の式を導出ができるので、最後に示します。

まず計算の簡略化のため円軌道であると仮定します。
（実際に太陽系の惑星は円軌道に近いです）そうすることで円運動で出てきた公式がそのまま使えます。ある惑星と太陽間の引力は

$F=mr\omega^{2}=mr(\frac{2\pi}{T})^{2}=\frac{4\pi^{2}mr}{T^{2}}$ ・・・イ

ケプラーの第三法則で今回半長軸aと半径rは等しいので

$\frac{T^{2}}{a^{3}}=\frac{T^{2}}{r^{2}}=k$

$\therefore T^{2}=kr^{3}$

これをイに代入すると

$F=\frac{4\pi^{2}mr}{kr^{3}}=\frac{4\pi^{2}}{k}\bullet \frac{m}{r^{2}}=K\bullet\frac{m}{r^{2}}$

$\frac{4\pi^{2}}{k}$ は定数なので、Kとおきました。

よって惑星間の引力の大きさは、惑星の質量に比例し、太陽からの距離の2乗に反比例するということが示せました。

【物理】万有引力の問題（万有引力その４）

2017.02.18

問：地球の半径R、自転周期T、地表面から高さｈの位置にいる人工衛星について以下の問いに答えよ。（１）人工衛星の速さv0をR、ｈ、ｇを使って表せ（2）人工衛星が静止しているときの高さｈを求めよ（3）人工衛星が地表すれすれで運動しているときの速さv1を求めよ（4）人工衛星の速さを早くしていくと地

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問：地球の半径R、自転周期T、地表面から高さｈの位置にいる人工衛星について以下の問いに答えよ。
（１）人工衛星の速さv₀をR、ｈ、ｇを使って表せ

（2）人工衛星が静止しているときの高さｈを求めよ

（3）人工衛星が地表すれすれで運動しているときの速さv₁を求めよ

（4）人工衛星の速さを早くしていくと地球の重力圏から脱出し、太陽の周りをまわる。このときの速さv₂を求めよ。

解

（1）円運動の運動方程式より

$m\frac{v^{2}}{R+h}=G\frac{Mm}{(R+h)^{2}}$

$\therefore v_{0}=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}=\sqrt{\frac{gR^{2}}{R+h}}$ ・・・①

最後の式変形は $mg=\frac{Gmm}{R^{2}}$ よりGM＝ｇR²を使いました。

（2）衛星の周期は

$\frac{2\pi(R+h)}{v}=2\pi(R+h)\sqrt{\frac{R+h}{gR^{2}}}$

これが地球の周期Tと等しいので（相対速度が0になるので止まって見える）

$T=2 \pi (R+h) \sqrt{\frac{R+h}{gR^{2}}}$

∴ $h = \sqrt [3] {\frac{gR^{2}T^{2}}{4\pi^{2}}}-R$

例えばR=6400 km,ｇ＝9.8m/s²,T=24時間＝86400秒を代入すると、hは約36000 kmとなります。

（3）①においてh=0とすればいいから

$v_{1}=\sqrt{gR}$

ちなみに実際に値を代入するとv₁=7.90 m/sです。

（4）地球の重力圏を抜けるということは、無限に遠い点において、速度が0以上であれば、物体は地球の重力圏から抜け出すことができます。
よって、万有引力の位置エネルギーを考えてエネルギー保存則を立てると

$\frac{1}{2}mv_{2^{2}}-G\frac{Mm}{R}=0$

$\therefore v_{2}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2}gR$

となります。なお計算すると11.2 km/sとなります。

ここで取り上げた問題は大学入試でよく出るのでよく復習しておきましょう。

【物理】万有引力の位置エネルギー（万有引力その２）

2017.02.17

前回に引き続き万有引力について学んでいきましょう。前回を読んでない方はこちら確認下さい。まず以下の問題を考えてみましょう。問：地球上での重力と月での重力の比を求めよ。ただし G= 6.7×10-11 N⋅m2/kg2 地球の半径RE 地球での重力gE 地球の質量ME 月の半径RM＝0.25RE

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前回に引き続き万有引力について学んでいきましょう。
前回を読んでない方はこちら確認下さい。

まず以下の問題を考えてみましょう。

問：地球上での重力と月での重力の比を求めよ。ただし

G= 6.7×10^-11 N⋅m²/kg²

地球の半径R_E

地球での重力g_E

地球の質量M_E

月の半径R_M＝0.25R_E

月の質量M_M＝M_E/100とする。

解）月での重力加速度をg_Mとして、

$\frac{mg_{M}}{mg_{E}}=\frac{G\frac{mM_{E}}{R_{M}^{2}}}{G\frac{mM_{E}}{R_{E}^{2}}}=(\frac{R_{E}}{R_{M}})^{2}\frac{M_{M}}{M_{E}}=\frac{4\times4}{100}=0.16\fallingdotseq \frac{1}{6}$

よって月での重力は地球の６分の1であることがわかります。

万有引力で一つ注意したいのは考えている二つの物体が質点であるということです。

そのため、物体の大きさををちゃんと考慮した場合は少し異なるので注意しましょう。

◎万有引力の位置エネルギー

万有引力の力がわかったので、次はエネルギーを求めてみましょう。
ある点AからとあるB点までの物体が受けた仕事を考えます。
ここでは積分を使うのでわかりにくいと思った方は、結果だけ覚えていてもかまいません。

積分を使った方法

質量Mの物体から距離ｒ離れた質量ｍの物体を無限遠方までもっていくことを考えます。この時の仕事Wをとし、距離ｒの位置エネルギーをU_ｒとすると

U_ｒ+W＝U_∞

ここで無限遠方を位置エネルギーの基準に考えるとU_∞＝0とできるので、

U_ｒ＝－W

とできます。つぎに微小距離ｄｒ移動させたときのWを求めていきます。
万有引力の式をグラフにすると以下のようになります。
（A点の座標をr_a、B点の座標をr_bとする。）

仕事量はこのグラフの面積になることから

$W=\int_A^B G\frac{Mm}{r^{2}}=\frac{GMm}{r_{A}}-\frac{GMm}{r_{B}}$

r_Aをrと書き、r_B→∞にすると $\frac{GMm}{r}$ となります。よって万有引力の位置エネルギーは

U_r=－W=－GMm/rとなります。

基準を無限遠点にしない場合は万有引力による位置エネルギーの式に定数項が残ってしまいます．

では最後になぜ無限遠方を位置エネルギーの基準にしたのでしょうか？
一言でいえば簡略化のためです。

詳しく見ていきましょう。

地球からの距離ｒのときの位置エネルギーU(ｒ)が

U(r) = -GMm/r + C(定数)・・・①

と書けたとき、地球の表面 r = Rをエネルギーの基準に取る（U(R) = 0 ）とすると，

0 = -GMm/R + C ∴ C = GMm/R・・・②

となり，位置エネルギーは

U(r) = -GMm/r + GMm/R・・・③

となります．

一方，無限遠点で U(∞) → 0 となるように基準をとると，この場合の位置エネルギーは

U(r) = -GMm/r・・・④

となり③の(GMm/R)という定数項が消えます。

また，位置 r = r_A と r = r_B という二点間の位置エネルギーの差を求めるとき

U(r_B) – U(r_A₎ = (-GMm/r_B + C) – (-GMm/r_A + C) = -GMm/r_B + GMm/r_A

となって，結局定数項 C に依存しないことがわかります。

そのため、最初から定数項Cが消えるような基準（無限遠点）を選んだというわけです

個々の話は上の文章の破線部に対応しています。

【物理】万有引力（万有引力その１）

2017.02.16

万有引力とは、万物の間には引力が有るという意味です。まずは以下の式を理解しておきましょう。 (G:万有引力定数、6.67×10-11 N・m2/kg2) この式の特徴は・質量に比例する・距離の二乗に反比例する・働く力は引力です。普段私たちが感じている重力はこれのことです。ところで実生活に

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万有引力とは、万物の間には引力が有るという意味です。
まずは以下の式を理解しておきましょう。

$F=G\frac{Mm}{r^{2}}$
(G:万有引力定数、6.67×10^-11 N・m²/kg²)

この式の特徴は

・質量に比例する

・距離の二乗に反比例する

・働く力は引力

です。普段私たちが感じている重力はこれのことです。

ところで実生活において万有引力を感じているのでしょうか。
実際には重力以外は感じられません。

これは例えば60 kg人同士が1 m離れたときに働く万有引力は約2.4×10^-7 Nととても小さい為です。
ではどういったときに万有引力を考えればいいのでしょうか。
それは、星と星との間に働く力などを考えるときです。

ここで星の重さはどのくらいなのでしょうか？

Q：地球の質量は？（重力加速度g＝9.8 kg・m/s²,地球の半径6.4×10⁶ m）

A: $mg=G\frac{Mm}{r^{2}}$

より

$M=\frac{gR^{2}}{G}$ ≒6×10²⁴ kg

以上の結果からわかるよう、に非常に大きい質量でないと万有引力の影響がないことがわかります。

実はここで述べた式において電磁気で出てくるクーロンの法則とそっくりなので、電磁気を習い始めたら双方を比較しながら理解していきましょう。

【物理】跳ね返り係数の具体例（跳ね返り係数その2）

2017.02.15

何問か簡単な例題を紹介します。例題１物体が速さ２０m/sで壁に衝突した。その後、12m/sで跳ね返ったとき、跳ね返り係数はいくらか。 ▶解答公式に入れるだけです。跳ね返り係数は12÷20＝0.60となります。例題２図のように２つの物体が衝突したとき、衝突後の速度をそれぞれ求

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[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom3.gif" name="小山くん"]跳ね返り係数、やっと理解できた！[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="seitow4.gif" name="山田さん"]でも実際の問題ででてきたら解けるか不安だな。[/speech_bubble]
何問か簡単な例題を紹介します。
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例題１

物体が速さ２０m/sで壁に衝突した。
その後、12m/sで跳ね返ったとき、跳ね返り係数はいくらか。

▶解答

公式に入れるだけです。跳ね返り係数は12÷20＝0.60となります。

例題２

図のように２つの物体が衝突したとき、衝突後の速度をそれぞれ求めよ。

物体Aの質量は2.0kg、物体Bの質量は3.0kgとし、跳ね返り係数は0.50とする。

運動量は保存されるので、　2.0✕6.0＋3.0✕（−4.0）＝　2.0ｖ_A＋3.0ｖ_B

跳ね返り係数＝0.50より、

0.50＝ー（v_A−v_B）/ 6.0-（-4.0）

この2つの式と解くと、v_A＝−3.0m/s 、v_B=2.0m/sとなります。

ここで大事なのは運動量保存が成り立つということです。

【参考】運動量保存の法則とは？

【物理】これで苦手克服！　単振動(その１)

2017.02.15

〇単振動とは？単振動は受験生が苦手とする人が多いですがコツさえつかめたら、むしろ簡単な部類に入ります。　そのため、単振動とは単純な振動のことだという人もいるぐらいです。皆さんもこれを機に単純な振動と思えるように頑張っていきましょう。単振動で重要なことは復元力が働いているということです。たと

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〇単振動とは？

単振動は受験生が苦手とする人が多いですがコツさえつかめたら、むしろ簡単な部類に入ります。　
そのため、単振動とは単純な振動のことだという人もいるぐらいです。

皆さんもこれを機に単純な振動と思えるように頑張っていきましょう。
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単振動で重要なことは復元力が働いているということです。

たとえばばねが伸びようとすると縮もうとし、ばねが縮むと伸びようとします。
これが復元力です。

ところで伸びると縮むという逆の現象が起きています。
つまり位置に関する情報と力の向きの情報が逆の関係になっています。

これは数学的にはマイナスでつながる関係で書けることが定性的に考えられます。

よってこれを数式で書くと（F：力、x：位置、）

$F = -Kx$

逆にこの式で書けるものは単振動を表すということがわかります。

ばねの運動の場合も確かにこうなっていますね.。

つぎに単振動の動きを実際に考えてみましょう。数式での定式化は次でやることにして、ここではイメージのみ考えてみます。

まず振幅Aの単振動している物体（質量m）をかんがえます。

そして、自然長の時の位置を座標の原点に置きます。
ここでは位置、速度と加速度を考えてみます。

＊自然長のときとは？　
バネに何も負荷がかかってない状態のときのことを指します

〇位置

当然伸びきったもしくは縮みこんだ両端で距離は最大になります。座標的には図でいうところの右側で最大、左側で最小です。

〇速度

伸びきったもしくは縮みこんだ瞬間は速度はゼロになります。そして力学的エネルギー保存則を考えると原点で最大になることがわかります。（原点で考えると $\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}mv^{2}$ ,原点意外で考えると

$\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}mv^{2} +\frac{1}{2}kx^{'2}$ となるためです）

〇加速度

原点では力が働かないため加速度はゼロです。一方力と加速度は比例するため、振動の両端では加速度の大きさは最大になります。図でいうと右側で最小（力の向きと加速度の向きが同じだからです。）で左側で最小になっています。

ところで、ばねの動きは理想的な場合一度振動させたらずっと運動し続けます。

その運動は周期的な運動をし、位置と加速度は両端で大きさは最大になりますが、大小はそれぞれ左右逆になっています。
そして周期的な運動を表すときに非常に相性がいい関数があります。それは何でしょうか？

答えは次回に譲るとします。