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2018年慶應大学理工数学|過去問徹底研究大問5

2019.09.20

方針の立て方 (1) どれも典型問題であるため特筆事項なし． (2) (マ)については，曲線の長さを公式を使って表した後に，極座標に置換すればよい． (ミ)についても，素直に計算をし，素直に等式を立てれば解答が得られる． (ム)について．対称性があるため，上半分だけを求めればよいことに気付くと計算が

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方針の立て方

(1)
どれも典型問題であるため特筆事項なし．

(2)
(マ)については，曲線の長さを公式 $\int\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx$ を使って表した後に，極座標に置換すればよい．
(ミ)についても，素直に計算をし，素直に等式を立てれば解答が得られる．
(ム)について．対称性があるため，上半分だけを求めればよいことに気付くと計算が楽になる．この問題に限らず，対称性に気付くことは重要である．そして，曲線の分かれ目となる点 $\mathrm{B}$ の左側と右側で分けて面積を求めると考える．第1象限側は円弧であるため，面積の導出については特筆事項なし．左側については，最初は素直に $xy$ 座標で面積を定積分で表し，それを極座標変換する．極座標の問題で分からないときには一先ず $xy$ 座標で表し，それを極座標変換するという順序で解くと，何をやっているのかが分かりやすい．

解答例

(1)
フ： $\frac{v}{v^2-1}$
ヘ： $0$
ホ： $\frac{1}{\sqrt{v^2-1}}$
(2)
マ： $\sqrt{\left\{f^\prime\left(\theta\right)\right\}^2+\left\{f\left(\theta\right)\right\}^2}$
ミ： $\frac{1}{\sqrt{v^2-1}}$
ム： $\frac{1}{2}\left(\pi+e^\pi-3\right)$

解説

(1)
〇半径(フについて)
$\mathrm{Q} \left(X,Y\right)$ とおくと， $\mathrm{OQ}=\sqrt{X^2+Y^2},\mathrm{AQ}=\sqrt{\left(X-1\right)^2+Y^2}$ と書ける．
$\therefore\mathrm{OQ}\colon\mathrm{AQ}=\sqrt{X^2+Y^2}\colon\sqrt{\left(X-1\right)^2+Y^2}=1\colon v$
$\therefore\sqrt{\left(X-1\right)^2+Y^2}=v\sqrt{X^2+Y^2}$
両辺正のため，2乗しても同値性は崩れず，
$\left(X-1\right)^2+Y^2=v^2\left(X^2+Y^2\right)\Longleftrightarrow\left(X+\frac{1}{v^2-1}\right)^2+Y^2=\left(\frac{v}{v^2-1}\right)^2$
よって，求める半径は $\frac{v}{v^2-1}$ ……(答)

〇点 $\mathrm{B}$ の座標(ヘとホについて)
点 $\mathrm{B}$ の $x$ 座標を $x=t$ と置くと，接点の座標は $\left(t,\sqrt{-t^2-\frac{2}{v^2-1}t+\frac{1}{v^2-1}}\right)$ となる．
よって，接線は，
$\left(t+\frac{1}{v^2-1}\right)\left(X+\frac{1}{v^2-1}\right)+Y\sqrt{-t^2-\frac{2}{v^2-1}t+\frac{1}{v^2-1}}=\left(\frac{v}{v^2-1}\right)^2$
これが点 $\left(1,0\right)$ を通るので，
$\left(t+\frac{1}{v^2-1}\right)\left(1+\frac{1}{v^2-1}\right)=\left(\frac{v}{v^2-1}\right)^2\Leftrightarrow t=0$
よって，点 $\mathrm{B}$ の座標は，
$\left(0,\frac{1}{\sqrt{v^2-1}}\right)$ ……(答)

(2)
〇最短経路の長さ(マについて)
曲線 $C_1$ の方程式を $y=g\left(x\right)$ とすると，最短経路の長さは，
$\mathrm{AB}+\int_{x_{\theta_1}}^{x_{\theta_0}}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx$
となる．ただし， $x_{\theta_1}$ は点 $\mathrm{R}$ の $x$ 座標であり， $x_{\theta_0}$ は点 $\mathrm{B}$ の $x$ 座標である．
ここで，直角座標から極座標へ変換すると，
$\begin{cases} x=r\cos{\theta}=f\left(\theta\right)\cos{\theta} \\ y=r\sin{\theta}=f\left(\theta\right)\sin{\theta} \end{cases}$
となり，
$\begin{cases} \frac{dx}{d\theta}=f^\prime\left(\theta\right)\cos{\theta}-f\left(\theta\right)\sin{\theta} \\ \frac{dy}{d\theta}=f^\prime\left(\theta\right)\sin{\theta}+f\left(\theta\right)\cos{\theta} \end{cases}$
$\therefore\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{d\theta}\cdot\frac{d\theta}{dx}=\frac{f^\prime\left(\theta\right)\sin{\theta}+f\left(\theta\right)\cos{\theta}}{f^\prime\left(\theta\right)\cos{\theta}-f\left(\theta\right)\sin{\theta}}$
よって，最短経路の長さは， $\frac{dx}{d\theta}<0$ より，積分区間が入れ替わることに注意すれば，
$\mathrm{AB}+\int_{x_{\theta_1}}^{x_{\theta_0}}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx=\mathrm{AB}+\int_{\theta_1}^{\theta_0}\sqrt{1+\left(\frac{f^\prime\left(\theta\right)\sin{\theta}+f\left(\theta\right)\cos{\theta}}{f^\prime\left(\theta\right)\cos{\theta}-f\left(\theta\right)\sin{\theta}}\right)^2}\left\{f^\prime\left(\theta\right)\cos{\theta}-f\left(\theta\right)\sin{\theta}\right\}d\theta=\mathrm{AB}+\int_{\theta_0}^{\theta_1}\sqrt{\left(f\left(\theta\right)\sin{\theta}-f^\prime\left(\theta\right)\cos{\theta}\right)^2+\left(f^\prime\left(\theta\right)\sin{\theta}+f\left(\theta\right)\cos{\theta}\right)^2}d\theta=\mathrm{AB}+\int_{\theta_0}^{\theta_1}\sqrt{\left\{f^\prime\left(\theta\right)\right\}^2+\left\{f\left(\theta\right)\right\}^2}d\theta$
〇 $\alpha$ (ミについて)
(1)の結果を考えれば， $\theta_0=\frac{\pi}{2}$ であり， $\mathrm{AB}=\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{\sqrt{v^2-1}}\right)^2}=\frac{v}{\sqrt{v^2-1}}$ である．
$f\left(\theta\right)=\beta e^{\alpha\left(\theta-\theta_0\right)}=\beta e^{\alpha\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}$ より， $vf\left(\theta_1\right)=v\beta e^{\alpha\left(\theta_1-\frac{\pi}{2}\right)}$ である．
更に $f^\prime\left(\theta\right)=\alpha\beta e^{\alpha\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}$
$\mathrm{AB}+\int_{\theta_0}^{\theta_1}\sqrt{\left\{f^\prime\left(\theta\right)\right\}^2+\left\{f\left(\theta\right)\right\}^2}d\theta=\frac{v}{\sqrt{v^2-1}}+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\theta_1}\sqrt{\left\{\alpha\beta e^{\alpha\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}\right\}^2+\left\{\beta e^{\alpha\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}\right\}^2}d\theta\bigm=\frac{v}{\sqrt{v^2-1}}+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\theta_1}{\sqrt{1+\alpha^2}\beta e^{\alpha\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}}d\theta=\frac{v}{\sqrt{v^2-1}}+\sqrt{1+\alpha^2}\beta\left[\frac{1}{\alpha}e^{\alpha\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\theta_1}\bigm=\frac{v}{\sqrt{v^2-1}}-\frac{\beta}{\alpha}\sqrt{1+\alpha^2}+\frac{\beta}{\alpha}\sqrt{1+\alpha^2}e^{\alpha\left(\theta_1-\frac{\pi}{2}\right)}$
これと $vf\left(\theta_1\right)=v\beta e^{\alpha\left(\theta_1-\frac{\pi}{2}\right)}$ が等しくなるので，
$\begin{cases} \frac{v}{\sqrt{v^2-1}}-\frac{\beta}{\alpha}\sqrt{1+\alpha^2}=0 \\ \frac{\beta}{\alpha}\sqrt{1+\alpha^2}=v\beta \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \alpha=\frac{1}{\sqrt{v^2-1}} \\ \beta=\frac{1}{\sqrt{v^2-1}} \end{cases}$ ……(答)
〇領域の面積(ムについて)
$v=\sqrt2$ のとき， $\alpha=\beta=1$ となる．
以下では，領域の上半分の面積を考える．最終的な答えはその2倍となる．
まず第1象限の図形について．これは(1)の議論から $\left(X+\frac{1}{v^2-1}\right)^2+Y^2=\left(\frac{v}{v^2-1}\right)^2\Leftrightarrow\left(X+1\right)^2+Y^2=2$ を満たす図形，つまり，中心 $\left(-1,0\right)$ ，半径 $\sqrt2$ の円の内部．中心を点 $\mathrm{D}$ とすると， $\angle\mathrm{ADB}=\frac{\pi}{4}$ となる．よって，第1象限の図形の面積は，
$\frac{1}{2}\cdot\left(\sqrt2\right)^2\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\cdot\sqrt2\cos{\frac{\pi}{4}}\cdot\sqrt2\sin{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$
次に第2象限の図形について．
$x=f\left(\theta\right)\cos{\theta}=e^{\theta-\frac{\pi}{2}}\cos{\theta}$ であるから， $\theta=\pi$ のとき， $x=-e^\frac{\pi}{2}$
よって，第2象限の図形の面積は，
$\int_{-e^\frac{\pi}{2}}^{0}ydx=\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}{f\left(\theta\right)\sin{\theta}}\frac{dx}{d\theta}d\theta=\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}{e^{\theta-\frac{\pi}{2}}\sin{\theta}}\cdot e^{\theta-\frac{\pi}{2}}\left(\cos{\theta}-\sin{\theta}\right)d\theta=\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}e^{2\theta-\pi}\left(\sin{\theta}\cos{\theta}-{\mathrm{sin}}^2\theta\right)d\theta\bigm=\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}e^{2\theta-\pi}\left(\frac{\sin{2\theta}}{2}-\frac{1-\cos{2\theta}}{2}\right)d\theta=-\frac{1}{2}\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}e^{2\theta-\pi}d\theta+\frac{1}{2}\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}{e^{2\theta-\pi}\left(\sin{2\theta}+\cos{2\theta}\right)}d\theta$
ここで， $\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}e^{2\theta-\pi}d\theta=\left[\frac{1}{2}e^{2\theta-\pi}\right]_\pi^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}\left(1-e^\pi\right)$ であり，
$\left(e^{2\theta-\pi}\sin{2\theta}\right)^\prime=2e^{2\theta-\pi}\sin{2\theta}+2e^{2\theta-\pi}\cos{2\theta}\Leftrightarrow e^{2\theta-\pi}\left(\sin{2\theta}+\cos{2\theta}\right)=\frac{1}{2}\left(e^{2\theta-\pi}\sin{2\theta}\right)^\prime$
であるから，
$\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}{e^{2\theta-\pi}\left(\sin{2\theta}+\cos{2\theta}\right)}d\theta=\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{2}\left(e^{2\theta-\pi}\sin{2\theta}\right)^\prime}d\theta=\left[\frac{1}{2}e^{2\theta-\pi}\sin{2\theta}\right]_\pi^{\frac{\pi}{2}}=0$
$\therefore\int_{-e^\frac{\pi}{2}}^{0}ydx=-\frac{1}{4}\left(1-e^\pi\right)$
よって，上半分の面積は，
$\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\left(1-e^\pi\right)=\frac{1}{4}\left(\pi+e^\pi-3\right)$
よって，求める面積は，
$2\cdot\frac{1}{4}\left(\pi+e^\pi-3\right)=\frac{1}{2}\left(\pi+e^\pi-3\right)$ ……(答)

2018年慶應大学理工数学|過去問徹底研究大問4

2019.09.20

方針の立て方 (1) (ソ)について．角の情報を引き出す必要があるため，内積で攻める必要があると判断する． (タ)と(チ)について．答えの形式から，との係数を文字で置くことから始める．すると，求める文字は2つのため，点に関する情報が2つ必要になるから，問題文から点に関する情報を2つ集める． (ツ)に

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方針の立て方

(1)
(ソ)について．角の情報を引き出す必要があるため，内積で攻める必要があると判断する．
(タ)と(チ)について．答えの形式から， $\vec{\mathrm{OA}}$ と $\vec{\mathrm{OB}}$ の係数を文字で置くことから始める．すると，求める文字は2つのため，点 $\mathrm{C}$ に関する情報が2つ必要になるから，問題文から点 $\mathrm{C}$ に関する情報を2つ集める．
(ツ)について． $\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}$ のままでは埒が明かないため，一先ず変形を試みる．前問の結果を用いれば変形の仕方も容易に思いつく．

(2)
$s,t,u$ の3文字から $s,t$ の等式を導くため，一先ず $u$ を消去することを考える．その後は， $s,t$ の等式を立てるため， $\vec{\mathrm{OA}}$ と $\vec{\mathrm{OB}}$ と $\vec{\mathrm{OC}}$ を消去する必要があるが，これにはベクトルの大きさで考えれば良いから，その方針で解く．

(3)
(ネ)～(ハ)について．前問で $s,t$ を導入したこともあり， $s,t$ 中心で考えていくと上手くいくと考える．すると， $\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|$ が $s,t$ で書き表せるため， $s,t$ を動かしたときの最大値を考えればいいことが分かる．前問の結果を加味すれば線形計画法の考え方であると見抜ける．
(ヒ)について．典型的な四面体の体積問題である．「垂線と面が直交する」と，「垂線と面を構成する2ベクトル(基底ベクトルという)が垂直」が同値であることを利用する．

解答例

(1)
ソ： $\frac{\pi}{3}$
タ： $\frac{3}{2}$
チ： $-\frac{1}{2}$
ツ： $9$
(2)
テ： $3$
ト： $0$
ナ： $-3$
ニ： $-3$
ヌ： $0$
(3)
ネ： $\frac{3+\sqrt3}{2}$
ノ： $\frac{1+\sqrt3}{2}$
ハ： $-1-\sqrt3$
ヒ： $\frac{3\sqrt6\left(2+\sqrt3\right)}{2}$

解説

(1)
〇 $\angle\mathrm{AOB}$ (ソについて)
点 $\mathrm{B}$ は図形 $S$ 上の点のため， $\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|=\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|\cos{\angle\mathrm{AOB}}\Longleftrightarrow\cos{\angle\mathrm{AOB}}=\frac{1}{\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|}=\frac{1}{2}$
$\therefore\angle\mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$ ……(答)
〇 $\vec{\mathrm{OC}}$ (タとチについて)
$\vec{\mathrm{OC}}$ は $\mathrm{AB}$ 上の点のため， $\vec{\mathrm{OC}}=t\vec{\mathrm{OA}}+\left(1-t\right)\vec{\mathrm{OB}}$ ( $t$ は実数)と表せる．
点 $\mathrm{C}$ は図形 $S$ 上の点のため， $\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|=\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}=t\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2+\left(1-t\right)\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=4t+6\left(1-t\right)=-2t+6$
$\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|^2=t^2\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2+\left(1-t\right)^2\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2+2t\left(1-t\right)\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=28t^2-60t+36$
$\therefore28t^2-60t+36=\left(-2t+6\right)^2\Leftrightarrow t=0,\frac{3}{2}$
$t=0$ では $\vec{\mathrm{OC}}=\vec{\mathrm{OB}}$ となるため不適．よって， $t=\frac{3}{2}$ ．
$\therefore\vec{\mathrm{OC}}=\frac{3}{2}\vec{\mathrm{OA}}+\left(1-\frac{3}{2}\right)\vec{\mathrm{OB}}=\frac{3}{2}\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OB}}$ ……(答)
〇 $\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}$ (ツについて)
前問の結果を変形すると，
$\vec{\mathrm{OB}}=3\vec{\mathrm{OA}}-2\vec{\mathrm{OC}}$
$\therefore\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}=\left(3\vec{\mathrm{OA}}-2\vec{\mathrm{OC}}\right)\cdot\vec{\mathrm{OD}}=3\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}-2\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}=3\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}\left(\because\vec{\mathrm{OC}}\bot\vec{\mathrm{OD}}\right)\bigm=3\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|$ ( $\because$ 点 $\mathrm{D}$ は図形 $S$ 上の点) $=3\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|=3\left(-2t+6\right)=9$ ……(答)

(2)
$s+t+u=1$ である．
点 $\mathrm{Q}$ は図形 $S$ 上の点のため， $\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|^2=\left(\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OQ}}\right)^2=\left(s\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2+t\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}+u\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}\right)^2\bigm=\left(4s+t\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|+u\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|\right)^2=\left(4s+6t+3u\right)^2\bigm=\left(3+s+3t\right)^2\left(\because s+t+u=1\right)\bigm=s^2+9t^2+6st+6s+18t+9$
一方，
$\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|^2=\left(s\vec{\mathrm{OA}}+t\vec{\mathrm{OB}}+u\vec{\mathrm{OD}}\right)^2=s^2\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2+t^2\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2+u^2\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|^2+2st\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}+2tu\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}+2us\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}\bigm=4s^2+36t^2+u^2\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|^2+2st\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|+18tu+2us\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|=4s^2+36t^2+9u^2+12st+18tu+6us\bigm=7s^2+27t^2+6st-12s+9\left(\because s+t+u=1\right)$
$\therefore s^2+9t^2+6st+6s+18t+9=7s^2+27t^2+6st-12s+9\Leftrightarrow s^2+3t^2-3s-3t=0$ ……(答)

(3)
〇 $\vec{\mathrm{OE}}$ (ネ～ハについて)

前問で求めた $s,t$ の条件より，
$s^2+3t^2-3s-3t=0\Leftrightarrow\left(s-\frac{3}{2}\right)^2+3\left(t-\frac{1}{2}\right)^2=3$ ……①
また，(2)での議論より， $\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|=3+s+3t$
ここで， $s+3t=k$ とおくと， $t=-\frac{1}{3}s+\frac{1}{3}k$ であり，①の下で $k$ が最大となるときを考えれば良い．
左図のように，線形計画法の要領で解くと， $k$ の最大値は $3+2\sqrt3$ と分かり，このとき， $s=\frac{3+\sqrt3}{2},t=1+32$ となる．
$s+t+u=1$ より， $u=1-\frac{3+\sqrt3}{2}-\frac{1+\sqrt3}{2}=-1-\sqrt3$ となる．
$\therefore\vec{\mathrm{OE}}=\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OB}}+\left(-1-\sqrt3\right)\vec{\mathrm{OD}}$ ……(答)

〇四面体 $\mathrm{OCDE}$ (ヒについて)
$\vec{\mathrm{OC}}\bot\vec{\mathrm{OD}}$ より， $\triangle\mathrm{OCD}=\frac{1}{2}\mathrm{OC}\cdot\mathrm{OD}=\frac{9}{2}$
点 $\mathrm{E}$ から $\triangle\mathrm{OCD}$ への垂線の足を点 $\mathrm{H}$ とする．すると， $\vec{\mathrm{EH}}\bot\triangle\mathrm{OCD}\Leftrightarrow\begin{cases} \vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=0 \\ \vec{\mathrm{OD}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=0 \end{cases}$
ここで， $\alpha,\beta$ を実数として $\vec{\mathrm{EH}}=\vec{\mathrm{OH}}-\vec{\mathrm{OE}}=\alpha\vec{\mathrm{OC}}+\beta\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OE}}$ (つまり $\vec{\mathrm{OH}}=\alpha\vec{\mathrm{OC}}+\beta\vec{\mathrm{OD}}$ )とすると，(1)の結果より， $\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|=3$ であることに注意して，
$\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=\vec{\mathrm{OC}}\cdot\left(\alpha\vec{\mathrm{OC}}+\beta\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OE}}\right)=\alpha\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|^2+\beta\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OE}}\bigm=9\alpha-\vec{\mathrm{OC}}\cdot\left(\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OB}}+\left(-1-\sqrt3\right)\vec{\mathrm{OD}}\right)\left(\because\vec{\mathrm{OC}}\bot\vec{\mathrm{OD}}\right)\bigm=9\alpha-\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}+\left(1+\sqrt3\right)\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}\bigm=9\alpha-\frac{3+\sqrt3}{2}\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|-\frac{1+\sqrt3}{2}\left(\frac{3}{2}\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OB}}\right)\cdot\vec{\mathrm{OB}}\bigm=9\alpha-\frac{3+\sqrt3}{2}\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|-\frac{1+\sqrt3}{2}\left(\frac{3}{2}\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|-\frac{1}{2}\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2\right)\bigm=9\alpha+3\sqrt3$
$\vec{\mathrm{OD}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=\vec{\mathrm{OD}}\cdot\left(\alpha\vec{\mathrm{OC}}+\beta\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OE}}\right)=\beta\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|^2-\vec{\mathrm{OD}}\cdot\vec{\mathrm{OE}}\bigm=9\beta-\vec{\mathrm{OD}}\cdot\left(\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OB}}+\left(-1-\sqrt3\right)\vec{\mathrm{OD}}\right)\bigm=9\beta-\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}-\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}+\left(1+\sqrt3\right)\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|^2\bigm=9\beta-\frac{3+\sqrt3}{2}\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|-\frac{1+\sqrt3}{2}\cdot9+\left(1+\sqrt3\right)\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|^2=9\beta+3\sqrt3$
$\begin{cases} \vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=0 \\ \vec{\mathrm{OD}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 9\alpha+3\sqrt3=0 \\ 9\beta+3\sqrt3=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \alpha=-\frac{\sqrt3}{3} \\ \beta=-\frac{\sqrt3}{3} \end{cases}$
$\therefore\vec{\mathrm{EH}}=-\frac{\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OC}}-\frac{\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OE}}=-\frac{\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OC}}-\frac{\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OD}}-\left(\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OB}}+\left(-1-\sqrt3\right)\vec{\mathrm{OD}}\right)\bigm=-\frac{3+2\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}-\frac{3+2\sqrt3}{6}\vec{\mathrm{OB}}+\frac{3+2\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OD}}$
$\therefore\left|\vec{\mathrm{EH}}\right|=\sqrt{\left(-\frac{3+2\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}-\frac{3+2\sqrt3}{6}\vec{\mathrm{OB}}+\frac{3+2\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OD}}\right)^2}=\sqrt{2\left(3+2\sqrt3\right)^2}=3\sqrt2+2\sqrt6$
よって，四面体 $\mathrm{OCDE}$ の体積は，
$\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{2}\cdot\left(3\sqrt2+2\sqrt6\right)=\frac{3\sqrt6\left(2+\sqrt3\right)}{2}$ ……(答)

2018年慶応義塾大学環境情報数学|過去問徹底研究大問1

2019.09.20

方針の立て方 (1) 実際に題意を満たすサイコロを目の出し方を考えることで方針を得る．複数のサイコロの問題ではサイコロは区別したほうが処理しやすい． (2) 「少なくとも」の問題であるため，基本解法である余事象で解くと考える．後は全問と同様に題意を満たすサイコロの目の出し方を考えれば，解答を得られる

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方針の立て方

(1)
実際に題意を満たすサイコロを目の出し方を考えることで方針を得る．複数のサイコロの問題ではサイコロは区別したほうが処理しやすい．

(2)
「少なくとも」の問題であるため，基本解法である余事象で解くと考える．後は全問と同様に題意を満たすサイコロの目の出し方を考えれば，解答を得られる．

(3)
これも題意を満たすパターンを考えることで方針を得られる．

解答例

(1)(2)(3)(4)…… $\frac{02}{09}$
(5)(6)(7)(8)…… $\frac{03}{04}$
(9)(10)(11)(12)(13)(14)…… $\frac{025}{162}$

解説

サイコロを区別して考え，一つ目のサイコロの目が $x$ ，二つ目のサイコロの目が $y$ であったとき，この目の出方を $\left(x,y\right)$ と表す．
(1)
題意を満たすサイコロの目の出し方は， $\left(1,3\right),\left(2,4\right),\left(3,5\right),\left(4,6\right)$ とこれらを入れ替えた計8通り．全ての目の出し方は $6^2=36$ 通りのため，求める確率は，
$\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$ ……(答)

(2)
余事象で考える．36通りの目の出し方の中で，差が1か2となる出し方は， $\left(1,2\right),\left(2,3\right),\left(3,4\right),\left(4,5\right),\left(5,6\right),\left(1,3\right),\left(2,4\right),\left(3,5\right),\left(4,6\right)$ とこれらを入れ替えた計18通りであり，これらを除いた18通りの目の出し方を2回すれば余事象の条件が満たされる．よって，余事象の確率は，
$\left(\frac{18}{36}\right)^2=\frac{1}{4}$
である．よって，求める確率は，
$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ ……(答)

(3)
箱1の玉を取り出す事象を①，箱2の玉を取り出す事象を②，それ以外の箱を確認する事象を③と表すことにする．1回の操作で，①が起こる確率は $\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$ ，②が起こる確率は $\frac{2}{9}$ ，③が起こる確率は $1-\frac{5}{18}-\frac{2}{9}=\frac{1}{2}$ である．
題意を満たすパターンは，「○１２」，「○２１」，「１○２」，「２○１」，「１１２」，「２２１」の6通りであり，前4つが起こる確率はそれぞれ $\frac{5}{18}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{2}$ であり，「１１２」が起こる確率は $\frac{5}{18}\cdot\frac{5}{18}\cdot\frac{2}{9}$ ，「２２１」が起こる確率は $\frac{2}{9}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{5}{18}$ である．よって，求める確率は，
$4\times\frac{5}{18}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{2}+\frac{5}{18}\cdot\frac{5}{18}\cdot\frac{2}{9}+\frac{2}{9}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{5}{18}=\frac{25}{162}$ ……(答)

2018年慶応義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問6

2019.09.20

方針の立て方実際に題意を満たす円の中心を考えてみる．すると，題意を満たす条件を見抜くことができる．また，四角形に含まれているという条件も忘れずに考慮すること．本問で問われているのは「に含まれ，かつ，四角形に含まれる点」である．最後の答えの表式に沿うように，被っている条件は消すこと．面積の方は領域

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方針の立て方

実際に題意を満たす円の中心を考えてみる．すると，題意を満たす条件を見抜くことができる．また，四角形 $\mathrm{AMGN}$ に含まれているという条件も忘れずに考慮すること．本問で問われているのは「 $S$ に含まれ，かつ，四角形 $\mathrm{AMGN}$ に含まれる点」である．最後の答えの表式に沿うように，被っている条件は消すこと．
面積の方は領域の図示ができれば問題ない．計算を簡単にするために $y$ 軸での対称性を見抜きたい．

解答例

(111)(112)(113)(114)…… $\frac{\sqrt{03}}{06}$
(115)…… $2$
(116)(117)…… $03$
(118)(119)…… $03$
(120)(121)…… $01$
(122)(123)…… $03$
(124)(125)…… $-1$
(126)(127)…… $16$
(128)(129)…… $-9$
(130)(131)…… $03$
(132)(133)…… $03$

解説

(1)
四角形 $\mathrm{AMGN}$ の辺および内部の点を $\mathrm{P}\left(x,y\right)$ とおく．

左図のように，点 $\mathrm{P}$ から，辺 $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CA}$ へ垂線(図では実線)を引き，順番に $l_1,l_2,l_3$ とする．また，点 $\mathrm{P}$ と，点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ を結び，その線分(図では破線)を順番に $L_1,L_2,L_3$ とする．
すると，求める領域は，
$max\left\{l_1,l_2,l_3\right\}\geqq min\left\{L_1,L_2,L_3\right\}$
を満たす点 $\mathrm{P}$ の集合である．
四角形 $\mathrm{AMGN}$ では， $max\left\{l_1,l_2,l_3\right\}=l_2=y,min\left\{L_1,L_2,L_3\right\}=L_1=\sqrt{x^2+\left(y-\sqrt3\right)^2}$ となるから，上記の条件は
$y\geqq\sqrt{x^2+\left(y-\sqrt3\right)^2}\Leftrightarrow y\geqq\frac{\sqrt3}{6}\left(x^2+3\right)$
となる．また，点 $\mathrm{P}$ が四角形 $\mathrm{AMGN}$ 内にある条件は，
$\begin{cases} y\leqq\sqrt3x+\sqrt3 \\ y\leqq-\sqrt3x+\sqrt3 \\ y\geqq\frac{\sqrt3}{3}x+\frac{\sqrt3}{3} \\ y\geqq-\frac{\sqrt3}{3}x+\frac{\sqrt3}{3} \end{cases}$
である．この内，下2つは $y\geqq\frac{\sqrt3}{6}\left(x^2+3\right)$ に内包される( $\because\frac{\sqrt3}{6}\left(x^2+3\right)\geqq\pm\frac{\sqrt3}{3}x+\frac{\sqrt3}{3}\Leftrightarrow\left(x\mp1\right)^2\geqq0$ )ので，結局，求める条件は，
$\begin{cases} y\geqq\frac{\sqrt3}{6}\left(x^2+3\right) \\ y\leqq\sqrt3\left(x+1\right) \\ y\leqq-\sqrt3\left(x-1\right) \end{cases}$

求める面積は， $y$ 軸での対称性を考えれば，
$2\int_{3-2\sqrt3}^{0}\left\{\left(\sqrt3x+\sqrt3\right)-\left(\frac{\sqrt3}{6}x^2+\frac{\sqrt3}{2}\right)\right\}dx=\left[-\frac{\sqrt3}{9}x^3+\sqrt3x^2+\sqrt3x\right]_{3-2\sqrt3}^0=16-9\sqrt3$ ……(答)
また、領域 $S$ の面積は、対称性を考えると3倍と分かる……(答)

2018年慶応義塾大学環境情報数学|過去問徹底研究大問5

2019.09.20

方針の立て方 (1) まずは三角形を作図する．その後は内接円の半径を求める問題であるため，面積についての等式を立てる方針で考える．そのため，三角形の面積を求めることになるが，その過程で直角三角形であることに気付くと，中心の座標を求めやすい． (2) 前問とほとんど同じ解法であり，特筆事項なし．解答

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方針の立て方

(1)
まずは三角形を作図する．その後は内接円の半径を求める問題であるため，面積についての等式を立てる方針で考える．そのため，三角形の面積を求めることになるが，その過程で直角三角形であることに気付くと，中心の座標を求めやすい．

(2)
前問とほとんど同じ解法であり，特筆事項なし．

解答例

(85)(86)…… $03$
(87)(88)…… $-1$
(89)(90)…… $05$
(91)(92)…… $10$
(93)(94)…… $-1$
(95)(96)…… $02$
(97)(98)…… $-1$
(99)(100)…… $02$
(101)(102)…… $02$
(103)(104)…… $05$
(105)(106)…… $25$
(107)(108)(109)(110)…… $\frac{03}{05}$

解説

(1)
三角形の頂点は， $\left(0,-1\right),\left(2\sqrt2,2\sqrt2-1\right),\left(\sqrt2,3\sqrt2-1\right)$ である．よって，長さは， $2,2,2\sqrt5$ となり， $4^2+2^2=\left(2\sqrt5\right)^2$ が成り立つため，この三角形は長さ $2\sqrt5$ の辺を斜辺とする直角三角形である．

求める内接円の半径を $r$ とすると，三角形の面積について等式が立てられて，
$\frac{1}{2}r\left(4+2+2\sqrt5\right)=\frac{1}{2}\cdot4\cdot2\Leftrightarrow r=3-\sqrt5$ ……(答)
次に中心を求める．ベクトルを利用する．
$\left(\sqrt2,3\sqrt2-1\right)-\left(2\sqrt2,2\sqrt2-1\right)=\left(-\sqrt2,\sqrt2\right)$
$\left|\left(-\sqrt2,\sqrt2\right)\right|=2$
$\left(0,-1\right)-\left(2\sqrt2,2\sqrt2-1\right)=\left(-2\sqrt2,-2\sqrt2\right)$
$\left|\left(-2\sqrt2,-2\sqrt2\right)\right|=4$
より，
$\left(2\sqrt2,2\sqrt2-1\right)+\left(3-\sqrt5\right)\cdot\frac{\left(-\sqrt2,\sqrt2\right)}{2}+\left(3-\sqrt5\right)\cdot\frac{\left(-2\sqrt2,-2\sqrt2\right)}{4}=\left(\sqrt{10}-\sqrt2,2\sqrt2-1\right)$ ……(答)

(2)
$\triangle\mathrm{OAB}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot3=3$ より，体積は， $\frac{1}{3}\cdot3\cdot5=5$ ……(答)
次に表面積を求める．
$\triangle\mathrm{OAB}=3$ ， $\triangle\mathrm{OAC}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot5=5，\triangle\mathrm{OBC}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot5=\frac{15}{2}，\triangle\mathrm{CAB}=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{\mathrm{CA}}\right|^2\left|\vec{\mathrm{CB}}\right|^2-\left(\vec{\mathrm{CA}}\cdot\vec{\mathrm{CB}}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{29\cdot34-{25}^2}=\frac{19}{2}$ より，
$3+5+\frac{15}{2}+\frac{19}{2}=25$ ……(答)
求める内接球の半径を $r$ とすると，四面体の体積についての等式が立てられて，
$\frac{1}{3}\cdot r\cdot25=5\Leftrightarrow r=\frac{3}{5}$ ……(答)

2018年慶応義塾大学環境情報数学|過去問徹底研究大問4

2019.09.20

方針の立て方どれも10進法に直して処理し，その後，元の進数に直せばよい．解答例 (72)(73)(74)……642 (75)(76)……14 (77)(78)……10 (79)(80)……12 (81)(82)……07 (83)(84)……15 解説 (1) ……(答) (2) よって，……(答

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方針の立て方

どれも10進法に直して処理し，その後，元の進数に直せばよい．

解答例

(72)(73)(74)……642
(75)(76)……14
(77)(78)……10
(79)(80)……12
(81)(82)……07
(83)(84)……15

解説

(1)
${2018}_{\left(10\right)}={642}_{\left(18\right)}$ ……(答)

(2)
${516}_{\left(n\right)}={5n^2+n+6}_{\left(10\right)}={2018}_{\left(10\right)}$
$\therefore5n^2+n+6=2018\Longleftrightarrow\left(n-14\right)\left(5n+71\right)=0\Leftrightarrow n=14,-\frac{71}{5}$
よって， $n=14$ ……(答)

(3)
$x^2-{22}_{\left(8\right)}x+{120}_{\left(8\right)}=0\Leftrightarrow x^2-{18}_{\left(10\right)}x+{80}_{\left(10\right)}=0\Leftrightarrow\left(x-8_{\left(10\right)}\right)\left(x-{10}_{\left(10\right)}\right)=0\Leftrightarrow x=8_{\left(10\right)},{10}_{\left(10\right)}\Leftrightarrow x={10}_{\left(8\right)},{12}_{\left(8\right)}$ ……(答)

(4)
${23}_{\left(m\right)}={2m+3}_{\left(10\right)}$
${114}_{\left(m\right)}={m^2+m+4}_{\left(10\right)}$
$\therefore x^2-{23}_{\left(m\right)}x+{114}_{\left(m\right)}=0\Longleftrightarrow x^2-\left(2m+3\right)_{\left(10\right)}x+\left(m^2+m+4\right)_{\left(10\right)}=0$
$5_{\left(m\right)}=5_{\left(10\right)}$ より，
${25}_{\left(10\right)}-\left(2m+3\right)_{\left(10\right)}\cdot5_{\left(10\right)}+\left(m^2+m+4\right)_{\left(10\right)}=0\Leftrightarrow m^2-9_{\left(10\right)}+{14}_{\left(10\right)}=0\Leftrightarrow\left(m-2_{\left(10\right)}\right)\left(m-7_{\left(10\right)}\right)=0\Leftrightarrow m=2_{\left(10\right)},7_{\left(10\right)}$
$5_{\left(m\right)}$ の表記が可能なのは， $m=7_{\left(10\right)}$ ……(答)
$\therefore x^2-\left(2\cdot7+3\right)_{\left(10\right)}x+\left(7^2+7+4\right)_{\left(10\right)}=0\Leftrightarrow x^2-{17}_{\left(10\right)}x+{60}_{\left(10\right)}=0\Leftrightarrow\left(x-5_{\left(10\right)}\right)\left(x-{12}_{\left(10\right)}\right)=0\Leftrightarrow x=5_{\left(10\right)},{12}_{\left(10\right)}=5_{\left(7\right)},{15}_{\left(7\right)}$
よって，求めるもう1つの解は， ${15}_{\left(7\right)}$ ……(答)

2018年慶應義塾大学環境情報数学|過去問徹底研究大問3

2019.09.20

方針の立て方ガウス記号のある数列の問題では基本的には書き出すことから規則性をつかむ．(2)以降は，の値が同じをまとめてみる考え方，即ち，群数列の考え方をする． (1) 実際に書き出すことで解答を得る． (2) 前問で得られた規則性を使う．の値が1つ上がるのはが平方数となるときであることに気付ければ

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方針の立て方

ガウス記号 $\left[\quad\right]$ のある数列の問題では基本的には書き出すことから規則性をつかむ．(2)以降は， $\left[\sqrt{n+1}\right]$ の値が同じ $n$ をまとめてみる考え方，即ち，群数列の考え方をする．
(1)
実際に書き出すことで解答を得る．

(2)
前問で得られた規則性を使う． $\left[\sqrt{n+1}\right]$ の値が1つ上がるのは $n+1$ が平方数となるときであることに気付ければ，後はケアレスミスに注意して考えるのみ．平方数の差を取ると奇数となることは知識として押さえておくとよい．今回も「 $\left[\sqrt{n+1}\right]=m$ となる $n$ は” $2m+1$ ”個」というところで，奇数が出てきている．

(3)
$a_n$ との違いに気づければ，解法を得る． $n$ が奇数のとき $\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]$ は負の値となる．整数や数列の問題では，前問や本問のように偶奇に着目して規則性を見つけることがよくある．

(4)
問題文中ではっきりと言われていないため題意がつかみにくいが，答えの表式が「 $a_n=$ 」となっていることから，一般項を求める問題であるということにまず気付くこと．後は(2)(3)とで群数列として扱ってきたことを踏まえ，群数列の解法を取ればよい．

解答例

(53)(54)…… $19$
(55)(56)…… $-1$
(57)(58)…… $30$
(59)(60)…… $81$
(61)(62)…… $06$
(63)(64)…… $-2$
(65)…… $3$
(66)(67)…… $-3$
(68)(69)…… $05$
(70)(71)…… $06$

解説

(1)
順番に書き出してみると，
$a_2=2$
$a_3=3$
$a_4=5$
$a_5=7$
$a_6=9$
$a_7=11$
$a_8=13$
$a_9=16$
$a_{10}=19$ ……(答)
$b_1=1$
$b_2=0$
$b_3=1$
$b_4=-1$
$b_5=1$
$b_6=-1$
$b_7=1$
$b_8=-1$
$b_9=2$
$b_{10}=-1$ ……(答)
(2)
$n$ と $\left[\sqrt{n+1}\right]$ の関係を以下の表にまとめる．

$n$	$\left(0\right)$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$\cdots$
$\left[\sqrt{n+1}\right]$	$\left(1\right)$	$1$	$1$	$2$	$2$	$2$	$2$	$2$	$3$	$3$	$3$	$3$	$3$	$3$	$3$	$4$	$\cdots$

ここから， $\left[\sqrt{n+1}\right]=1$ となる $n$ は( $n=0$ を含めて)3個あり， $\left[\sqrt{n+1}\right]=2$ となる $n$ は5個あり， $\left[\sqrt{n+1}\right]=3$ となる $n$ は7個あり，……， $\left[\sqrt{n+1}\right]=m$ となる $n$ は $2m+1$ 個あると分かる．
$\left[\sqrt{n+1}\right]$ は数列 $\left\{a_n\right\}$ の階差数列である．よって，
$a_{30}=a_1+1\cdot2+2\cdot5+3\cdot7+4\cdot9+5\cdot6=100$ となる．
数列 $\left\{a_n\right\}$ は明らかに単調増加列であるので，求める $n$ の範囲は， $n\geqq30$ ……(答)

(3)
$n$ と $\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]$ の関係を以下の表にまとめる．

$n$	$\left(0\right)$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$\cdots$
$\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]$	$\left(1\right)$	$-1$	$1$	$-2$	$2$	$-2$	$2$	$-2$	$3$	$-3$	$3$	$-3$	$3$	$-3$	$3$	$-4$	$\cdots$

よって，
$\sum_{n=0}^{2}{\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]}=1$
$\sum_{n=3}^{7}{\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]}=-2$
$\sum_{n=8}^{14}{\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]}=3$
$\vdots$
$\sum_{n=m^2-1}^{\left(m+1\right)^2-2}{\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]}=\left(-1\right)^{m+1}m$
が成り立つと分かる．
$1+\left(-2\right)+3+\left(-4\right)+5+\left(-6\right)+7+\left(-8\right)+9=5$
である．ここで，

$n$	$\cdots$	$77$	$78$	$79$	$80$	$\cdots$
$\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]$	$\cdots$	$-8$	$8$	$-8$	$9$	$\cdots$

であるから， $\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]$ は数列 $\left\{a_n\right\}$ の階差数列であることに注意して，
$b_{80}=b_1+\sum_{n=1}^{79}{\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]}=1+0+\left(-2\right)+3+\left(-4\right)+5+\left(-6\right)+7+\left(-8\right)=-4$
$b_{81}=b_{80}+\left(-1\right)^{80}\left[\sqrt{80+1}\right]=-4+9=5$
よって求める $n$ は， $n=81$ ……(答)

(4)
(2)の議論を応用すれば， $\left[\sqrt k\right]=m$ となる自然数 $k$ は $2m+1$ 個あると分かる．よって， $\left[\sqrt k\right]=1,2,3,\cdots,m-1$ となる自然数 $k$ の個数の総数は， $\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k+1\right)=m^2-1$ 個と分かる．
よって， $1\leqq k\leqq n$ までの $n$ 個の自然数 $k$ のうち， $\left[\sqrt k\right]=m$ となる $k$ の個数は， $n-\left(m^2-1\right)$ 個あると分かる．
$\therefore a_n=\sum_{k=1}^{m-1}k\left(2k+1\right)+m\left\{n-\left(m^2-1\right)\right\}=\frac{6mn-2m^3-3m^2+5m}{6}$ ……(答)

2018年慶應義塾環境情報数学|過去問徹底研究大問2

2019.09.20

方針の立て方 (1) 平易な問題のため特筆事項なし． (2) 前問の問題を利用するために，変数変換をして，の形に近づけることを考える．変数変換をした際には変換後の文字の範囲に気を付けよう．また，本問には別解として絶対値の中身の正負で場合分けして考察する解法もある．解答例 (15)(16)…… (

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方針の立て方

(1)
平易な問題のため特筆事項なし．

(2)
前問の問題を利用するために，変数変換をして， $\left|p-1\right|+\left|q-1\right|$ の形に近づけることを考える．変数変換をした際には変換後の文字の範囲に気を付けよう．
また，本問には別解として絶対値の中身の正負で場合分けして考察する解法もある．

解答例

(15)(16)…… $01$
(17)(18)(19)(20)…… $\frac{01}{04}$
(21)(22)(23)(24)…… $\frac{03}{04}$
(25)(26)…… $\frac{9}{4}$
(27)(28)…… $\frac{1}{4}$
(29)(30)…… $\frac{1}{2}$
(31)(32)…… $01$
(33)(34)(35)(36)…… $\frac{-1}{04}$
(37)(38)…… $\frac{3}{4}$
(39)(40)…… $\frac{3}{2}$
(41)(42)…… $02$
(43)(44)(45)(46)…… $\frac{01}{02}$
(47)(48)…… $01$
(49)(50)…… $02$
(51)(52)…… $-1$

解説

(1)
線形計画法の考え方で考えれば， $\left(p,q\right)=\left(1,\frac{1}{4}\right)$ か $\left(p,q\right)=\left(2,1\right)$ のどちらかで最小値となる．
$\left(p,q\right)=\left(1,\frac{1}{4}\right)$ を代入すると， $\left|1-1\right|+\left|\frac{1}{4}-1\right|=\frac{3}{4}$ であり， $\left(p,q\right)=\left(2,1\right)$ を代入すると， $\left|2-1\right|+\left|1-1\right|=1$ であるから，答えは，
$p=1,q=\frac{1}{4},m=\frac{3}{4}$ ……(答)

(2)
$2x+y=p,2xy=q$ とおく． $x,y$ が実数のため， $2x\left(p-2x\right)=q\Leftrightarrow-4x^2+2px-q=0$ の判別式は非負である．
$\therefore p^2-4q\geqq0\Leftrightarrow q\leqq\frac{p^2}{4}$
よって，前問で $\left|q-1\right|$ の箇所を $\left|q-a\right|$ としたものとして考えられる．線形計画法で考えれば， $a$ が小さいときには，最小値は $\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ でとり，値を大きくするとある $a$ で，最小値は $\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ と $\begin{cases} p=2\sqrt a \\ q=a \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{\sqrt a}{2} \\ y=\sqrt a \end{cases}$ の両方でとり，それより $a$ の値が大きくなると，最小値は $\begin{cases} p=2\sqrt a \\ q=a \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{\sqrt a}{2} \\ y=\sqrt a \end{cases}$ でとる．
$\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ と $\begin{cases} p=2\sqrt a \\ q=a \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{\sqrt a}{2} \\ y=\sqrt a \end{cases}$ の両方で最小値となるのは， $\left|1-1\right|+\left|\frac{1}{4}-a\right|=\left|2\sqrt a-1\right|+\left|a-a\right|$ が成立するときであり，これを解くと， $a>\frac{1}{4}$ より， $a=\frac{9}{4}$ である．
よって，
(ⅰ) $\frac{1}{4}<a<\frac{9}{4}$ の場合， $\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ のとき， $m=\left|1-1\right|+\left|\frac{1}{4}-a\right|=a-\frac{1}{4}$ ……(答)
(ⅱ) $a=\frac{9}{4}$ の場合， $\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ または， $\begin{cases} p=2\sqrt a=3 \\ q=a=\frac{9}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{3}{4} \\ y=\frac{3}{2} \end{cases}$ のとき， $m=\left|1-1\right|+\left|\frac{1}{4}-\frac{9}{4}\right|=2$ ……(答)
(ⅲ) $\frac{9}{4}<a$ の場合， $\begin{cases} p=2\sqrt a \\ q=a \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{\sqrt a}{2} \\ y=\sqrt a \end{cases}$ のとき， $m=\left|2\sqrt a-1\right|+\left|a-a\right|=2\sqrt a-1$ ……(答)

早慶への日本史勉強法マップ|早慶の日本史を0から学ぶ方法

2019.09.12

このページでは、当塾で指導している早稲田慶應に合格するための最速で効率的に日本史の成績をあげる勉強方法をお伝えします。ページ目次インプット|流れの把握と語彙を覚えるインプット|細かな歴史語彙を覚えていくアウトプット|問題集を解くリーズニングができる早慶に合格するオススメの参考書プランが知りたい!

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このページでは、当塾で指導している早稲田慶應に合格するための最速で効率的に日本史の成績をあげる勉強方法をお伝えします。 [toc]
インプット|流れの把握と語彙を覚える

日本史ができるためには、まずはでてきた歴史語彙を覚えていく必要があります。

ですが、最初の段階では細かな語彙を覚える必要はありません。
それよりも全体の流れを掴むことに専念しましょう。流れを掴むというのは、教材をざっくり読むのと各世紀においてどこで何が起こったかの把握と簡単な因果関係の把握となります。

また、覚える語彙はとにかく頻度の高いもののみに絞ってください。いきなりたくさん覚えようとしても覚えられませんし忘れます。ですので、よく出る部分のみで抑えるようにしてください。
[nlink url="https://hiroacademia.jpn.com/blog/program/nihonshi-benkyo/"]
インプット|細かな歴史語彙を覚えていく

インプットを進めるにしたがって、知識の詳細度を高めてください。全体像を最初に把握して、そのあとに細かな部分を暗記するようにしてください。この段階では、時間がない場合は問題集を解く必要はなく、一問一答などで確認するだけで良いでしょう。覚えるべきことを覚えてない限りは、問題集をやってもできるようになりません。

一問一答の使い方についてはこちらをご覧ください。

アウトプット|問題集を解く

もちろんこのくらいの偏差値にとどくよりも前に行っても問題ありません。分野によっては得意不得意があるため、できる部分もあるでしょう。
ただ偏差値60というのが基礎が身についたかどうかの一つの基準になるためこのレベルよりも明らかに下の場合はまずはインプットに集中しましょう。
[nlink url="https://hiroacademia.jpn.com/blog/program/nihonshi-benkyo-output/"]
リーズニングができる

早慶などの私大の場合は、選択肢から選ぶ形式となっているため文章を読むことができなくても、「なんとなくわかれば答えがでる！」と思い込んでいる人が多いようです。

もちろん、このレベルの受験生が論外で受かるわけがないのは当然でしょう。

なぜその答えを選ぶのか？どうして答えになるのか？という部分を徹底的に行っていきましょう。
問題を見ただけで自身で選択肢を見ないで、答えを出せるレベルまで行った上で選択肢を吟味してなぜその選択肢が間違っているのか？、なぜその選択肢があっているのか？という点を言葉で人に説明できるレベルまで持っていけると良いでしょう。
赤本のや青本の解説を見てわかったと勘違いしていても早慶には程遠いです。

自身で解説ができるくらい全ての選択肢の正誤の理由を考えていきましょう。当塾では全ての選択肢について正誤の理由を書いていくのを必須としています。

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スマホを使って英語リスニング力の強化! 倍速,2分の1再生!! Clipboxとaudipoの使い方

2019.09.11

苦手な人が多いリスニング。私(小野)も非常に苦手でした。というかそもそもどのようにしたら良いのかわからず、リスニングする機会も学校のテスト時くらいしかなかったので、全く点数が伸びませんでした。教材を買っても、CD音源があたり前でCD音源を再生一時停止するのは非常に面倒臭かったので、全く練習もし

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苦手な人が多いリスニング。私(小野)も非常に苦手でした。
というかそもそもどのようにしたら良いのかわからず、
リスニングする機会も学校のテスト時くらいしかなかったので、全く点数が伸びませんでした。
教材を買っても、CD音源があたり前でCD音源を再生一時停止するのは非常に面倒臭かったので、全く練習もしませんでした。

ですが、英語4技能が必要となった今、リスニング能力は必須です。
4技能の中で一番重要と行っても過言ではありません。特に英語は発音の難しい言語なので、伸ばすのにも時間がかかります。

このような状況なのですが、、スマートフォンの普及でリスニング力は簡単に伸ばすことができるようになっています。
今回は私が語学学習をしている時に使っている便利なアプリであるClipboxとaudipoの使い方を紹介します。
[toc]
アプリを使う意味とは？

まずこのアプリの使用する意味ですが、いつでも気軽に使うことができるのが大きいです。

そもそもリスニングが嫌いな人は、能力が低いからではなく、

英語を聞く機会が圧倒的に少ないです。

英語を聞く機会が少ないと、もちろんですが、リスニングを聞く能力は全く成長しません。

なので、まずは学校に行く途中など歩いてる時間を活用して、英語を聞く時間を取る必要があります。

そのためにアプリを使う必要があるでしょう。また、今回紹介するアプリはどちらも無料です。

Clipboxとは

Clipboxはスマートフォンでファイルのダウンロードができ、再生速度が変更できます。

パソコンだと当たり前の機能なのですが、スマホでは標準でこの機能はありません。

そのため、このアプリがないと、

英検や、その他サイトから音源を聞くためには毎回データ通信が必要になってしまいます。

これでは長続きしませんね・・・・

また、再生速度の変更もできます。最速で2倍で、遅くて0.1倍速までに変更ができます。

再生速度を変更する詳しい意味については、別の記事で説明しますが、

単純に早いスピードに慣れることで本番が楽に感じることができるというのが大きいです。
[appbox appstore 1385380145]
＊clipboxはネット上にある様々なファイルをダウンロードできるようになりますが、英語の勉強など個人利用の範囲にとどめてください。

audipoとは

続いて、audipoですが、audipoはスマートフォンにitunesから入れたファイルの再生となります。

そのため先ほどのclipboxでダウンロードした音声は使えないので注意してください。

ただ、英語の本を使ってCDやmp3から入れる場合はかなり役立ちます。

便利な点は倍速再生と範囲を決めたリピート再生です。

倍速再生は、先ほども伝えた通りですが(android版だと,4倍速にできるようです。)、
リピート再生はこちらのアプリにしかない機能になります。

音源の中で苦手な範囲に印をつけて、その部分だけ聴き続けることが可能です。

この機能はかなり便利で、使うのと使わないのではリスニング能力に大きな差がでてしまいますので、ぜひ使うようにして下さいね。
[appbox appstore 607971056]
使い方

さて、ここからは具体的に各アプリの使い方を説明していきます。

Clipboxの使い方

今回は英検のmp3音源をダウンロード音声を使って、再生するまでの手順をお伝えします。

1,アプリを開いて、「サーチ」ボタンを押してください。

2,次に「ブラウザ」を押してください。

＊こちらから英検2級のサイトに飛べるようにしています。

ブラウザで調べて、英検のサイトに飛んでください。「英検　2級　過去問」と調べれば調べられるはずです。

下記のような画面になるので、「リスニング音源」の部分をクリックしてください。

すると下記の画面になります。ファイルボタンを押してください。

下記の画面になりますので、OKを押すとダウンロードが開始されます。

ダウンロードが開始されるとトップページに戻り下記のリストにダウンロードされたファイルが表示されるので、そこをクリックする。

すると音声を聞くことができます。

音声の速度を変更するためには、再生後右上の・・・を押すと、

下記画面になるので、音声を変更してください。

上記は英検の音声をダウンロードする方法でした。

この方法で他の動画や音声もスマホにダウンロードできるので、英語の学習に役立ててください。

上述しましたが、くれぐれも個人利用の範囲に止めるようにお願いします。

Audipoの使い方

まずはPCからスマホに音声を入れてください。

音声を入れたあとは、アプリを開いて曲を選択するだけで曲の再生自体はできます。

スマホに音源を入れられない・・という人は連絡ください。

倍速再生の仕方

基本的に数字のボタンを押すだけなので、
難しくはないと思います。

リピート再生の使い方

色々とボタンがあってわかりづらいのですが、

基本的に下の画像の赤い丸のある▽+のボタンを押すことでリピート再生の開始点と終了点を設定することができます。

その後、画面の右側にある▼ボタンを押すことで指定した範囲の再生が可能です。

まとめ

上記アプリを使うことでリスニングの勉強を効率的に行うことができます。特に倍速再生で慣れていると本番でかなり余裕をもって聞くことができるので非常におすすめです。

具体的にどのような形でリスニングを勉強したら成績が伸びるのかわからない・・といったお悩みがある方はお気軽にこちらまで御相談ください。