慶應経済2018 | 【早慶専門対策】個別指導塾ヒロアカ

2018年慶応大学経済学部|過去問徹底研究大問6

2019.10.07

方針の立て方 (1) およびで割り切れるということはで割り切れるということである．これに気付けなくとも，と表せることから，はを因数に持ち，はを因数に持つということが分かれば，結局同じ議論ができる．後は，本解答のようにを導入し解析していく．の導入は「がで割り切れる」という情報と「がで割り切れる」という

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方針の立て方

(1)
$x$ および $x-1$ で割り切れるということは $x\left(x-1\right)$ で割り切れるということである．これに気付けなくとも， $F\left(x\right)=xP\left(x\right)=\left(x-1\right)Q\left(x\right)$ と表せることから， $P\left(x\right)$ は $x-1$ を因数に持ち， $Q\left(x\right)$ は $x$ を因数に持つということが分かれば，結局同じ議論ができる．後は，本解答のように $R\left(x\right)$ を導入し解析していく． $R\left(x\right)$ の導入は「 $F\left(x\right)$ が $x$ で割り切れる」という情報と「 $F\left(x\right)$ が $x-1$ で割り切れる」という情報の両方ともを加味しているため， $F\left(x\right)=xP\left(x\right)$ と $F\left(x\right)=\left(x-1\right)Q\left(x\right)$ で考えるよりも都合が良い．
求めるのは最小の次数のものであるため， $R\left(x\right)$ を0次，1次，2次，……と考えていけば良い．

(2)(3)は，(1)で $f\left(x\right)$ が特定できてしまえば，典型問題の三次関数の接線の問題となる．特に捻りもなく，典型的な解法を取れば良い．

解答例

$F\left(x\right)=xP\left(x\right)=\left(x-1\right)Q\left(x\right)$ と表せる．
(1)
$F\left(x\right)はx\left(x-1\right)$ で割り切ることができる．その商を $R\left(x\right)$ とおく．
すると，
$F\left(x\right)=xP\left(x\right)=\left(x-1\right)Q\left(x\right)=x\left(x-1\right)R\left(x\right)$
と表せる．
これより，
$\begin{cases} P\left(x\right)=\left(x-1\right)R\left(x\right) \\ Q\left(x\right)=xR\left(x\right) \end{cases}$ ……(＊)
となる．
$P\left(0\right)=-4$ より，(＊)の上式に $x=0$ を代入すると，
$-4=-R\left(0\right)\Leftrightarrow R\left(0\right)=4$
$Q\left(1\right)=2$ より，(＊)の下式に $x=1$ を代入すると，
$2=1\cdot R\left(1\right)\Leftrightarrow R\left(1\right)=2$
よって，
$\begin{cases} R\left(0\right)=4 \\ R\left(1\right)=2 \end{cases}$
これを満たす $R\left(x\right)$ で次数が最小のものは， $R\left(x\right)=-2x+4$ である．
$\therefore f\left(x\right)=x\left(x-1\right)\left(-2x+4\right)=-2x\left(x-1\right)\left(x-2\right)$ ……(答)

(2)
$f\left(x\right)=-2x^3+6x^2-4x$ であるから， $f^\prime\left(x\right)=-6x^2+12x-4$ である．
よって，点 $\left(r,f\left(r\right)\right)=\left(r,-2r^3+6r^2-4r\right)$ における接線は，
$y=\left(-6r^2+12r-4\right)x+4r^3-6r^2$
よって，求める傾きは $-6r^2+12r-4$ , $y$ 切片は $4r^3-6r^2$ ……(答)

(3)
接線 $y=\left(-6r^2+12r-4\right)x+4r^3-6r^2$ が点 $\left(s,t\right)$ を通るので，
$t=\left(-6r^2+12r-4\right)s+4r^3-6r^2$ ……(※)
が成り立つ．
$y=f\left(x\right)=-2x^3+6x^2-4x$ は三次関数であり，複接線は引けないから，接線の本数と接点の個数は等しくなる．よって，(※)を $r$ の三次方程式
$4r^3+\left(-6s-6\right)r^2+12sr-4s-t=0$
の解がちょうど2個存在すれば必要十分である．
$g\left(r\right)=4r^3+\left(-6s-6\right)r^2+12sr-4s-t$
とおくと，
$g^\prime\left(r\right)=12r^2+\left(-12s-12\right)r+12s=12\left(r-s\right)\left(r-1\right)$
である．
(ⅰ) $s=1$ のとき
$g^\prime\left(r\right)=12\left(r-1\right)^2$ となり， $g^\prime\left(r\right)\geqq0$ (等号成立は $r=1$ のときのみ)であるから $g\left(r\right)$ は単調増加となる．このとき， $g\left(r\right)=0$ となる $r$ はただ1つしか存在しないため不適．
(ⅱ) $s\neq1$ のとき
$g^\prime\left(r\right)=0$ となる $r$ は2つ( $r=s,1$ )あり，かつ $r=s,1$ それぞれの前後で $g^\prime\left(r\right)$ の符号が変化するから， $g\left(r\right)$ は極大値を極小値を1つずつ持つ( $r=s,1$ のどちらが極大値，極小値になるかは $s$ と1の大小関係に依存する)．この極大値もしくは極小値が0となるとき， $g\left(r\right)=0$ となる解はちょうど2つ存在し，題意を満たす．
$g\left(s\right)=4s^3+\left(-6s-6\right)s^2+12s\cdot s-4s-t=-2s^3+6s^2-4s-t$
$g\left(1\right)=4\cdot1^3+\left(-6s-6\right)\cdot1^2+12s\cdot1-4s-t=2s-t-2$
より，極大値もしくは極小値が0となるのは，
$-2s^3+6s^2-4s-t=0$ または， $2s-t-2=0$
のとき．
以上，(ⅰ)と(ⅱ)より，求める条件は，
$-2s^3+6s^2-4s-t=0$ または， $2s-t-2=0$ (ただし， $s\neq1$ )……(答)

2018年慶應大学経済学部|過去問徹底研究大問5

2019.10.07

方針の立て方 (1) 上の点，上の点の両方を動かして解析しようとするととても複雑になる．そこで，題意を満たすのはどのような線分なのかを定性的に考える．すると，点からに垂線を引いたときを考えれば良いと分かる． (2) まずは，図を描いてみて情報を整理する．円や球の接点に関する議論は，基本的には半径と

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方針の立て方

(1)
$S$ 上の点， $l$ 上の点の両方を動かして解析しようとするととても複雑になる．そこで，題意を満たすのはどのような線分なのかを定性的に考える．すると，点 $\mathrm{O}$ から $l$ に垂線を引いたときを考えれば良いと分かる．

(2)
まずは，図を描いてみて情報を整理する．
円や球の接点に関する議論は，基本的には半径と接線が直交することを応用して，内積が0となることを利用する．本問もそれを使おうと考える．すると，点 $\mathrm{Q}$ についてはそれで上手くいくが，点 $\mathrm{P}$ は $\vec{\mathrm{OP}}$ と直交するベクトルの情報を出すことが難しい．そこで，別の図形的性質がないかを考える．すると， $\mathrm{OP}$ と $\mathrm{AB}$ が平行であることが見つかるから，内積0の代わりにこれを使えばよいと分かる．
後は $\mathrm{P}$ と $\mathrm{Q}$ の座標を文字を使って表し，解析していく．

(3)
直円錐 $C$ の体積を出すには，底面の半径と高さの情報が必要になると考える．底面の半径も高さも直接出すのは難しい(球面 $S$ が $C$ 内の半端な位置にいるために難しい)から，分割して考える．前問で点 $\mathrm{P}$ ， $\mathrm{Q}$ の座標を求めさせたことから，点 $\mathrm{P}$ ， $\mathrm{Q}$ の箇所で分割( $\mathrm{RP}$ と $\mathrm{PU}$ に分割)して考える．すると三角形 $\mathrm{ORP}$ で考えるという方針が立つ． $\mathrm{PU}$ については，(1)の議論や前問で得た「 $\mathrm{OP}$ と $\mathrm{AB}$ が平行である」という知見を考えれば， $\mathrm{OT}$ に変換して考えることが思いつく．すると，高さについては点 $\mathrm{T}$ で分割( $\mathrm{AT}$ と $\mathrm{TU}$ に分割)して考えるという方針が立つ．

解答例

球面 $S$ の方程式は $x^2+y^2+z^2=1$ である．
(1)
題意を満たす $S$ 上の点は，原点から直線 $l$ に下ろした垂線(つまり，中心と直線の最短距離)と球面 $S$ との交点である(下図)．

$l$ の方程式は，実数 $t$ を用いて $\left(x,y,z\right)=\left(6,0,0\right)+t\left(3-6,-6-0,-6-0\right)=\left(6-3t,-6t,-6t\right)$ と書ける．
よって，原点と $l$ 上の点との距離は，
$\sqrt{\left(6-3t\right)^2+\left(-6t\right)^2+\left(-6t\right)^2}=3\sqrt{9\left(t-\frac{2}{9}\right)^2+\frac{32}{9}}$
と書ける． $9\left(t-\frac{2}{9}\right)^2+\frac{32}{9}$ は $t=\frac{2}{9}$ のとき最小値 $\frac{32}{9}$ を取るから，原点と $l$ 上の点を結ぶ線分の長さの最小値は， $3\sqrt{\frac{32}{9}}=4\sqrt2$ である．
よって， $S$ 上の点と $l$ 上の点を結ぶ線分の長さの最小値は， $S$ の半径が1であることから， $4\sqrt2-1$ ……(答)

(2)

〇点 $\mathrm{P}$ の座標
線分 $\mathrm{PO}$ と $l$ は平行であるため，実数 $t$ を用いて $\vec{\mathrm{OP}}=t\vec{\mathrm{AB}}=\left(-3t,-6t,-6t\right)$ とおける．
また，点 $\mathrm{P}$ は $S$ 上の点であるから，
$\left(-3t\right)^2+\left(-6t\right)^2+\left(-6t\right)^2=1\Leftrightarrow t=\pm\frac{1}{9}$
$\vec{\mathrm{OP}}$ の方向と $\vec{\mathrm{AB}}$ の方向は等しいため， $t=\frac{1}{9}$ が適当．
$\therefore\mathrm{P}\left(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)$ ……(答)
〇点 $\mathrm{Q}$ の座標
$\vec{\mathrm{OQ}}=\alpha\vec{\mathrm{OA}}+\beta\vec{\mathrm{OB}}=\left(6\alpha+3\beta,-6\beta,-6\beta\right)$ ( $\alpha,\beta$ は実数)と表せる．
点 $\mathrm{Q}$ は $S$ 上の点であるため，
$\left(6\alpha+3\beta\right)^2+\left(-6\beta\right)^2+\left(-6\beta\right)^2=1\Leftrightarrow36\alpha^2+81\beta^2+36\alpha\beta=1$ ……①
また， $\mathrm{OQ}\bot\mathrm{AQ}$ より， $\vec{\mathrm{OQ}}\cdot\vec{\mathrm{AQ}}=0$ である． $\vec{\mathrm{AQ}}=\vec{\mathrm{OQ}}-\vec{\mathrm{OA}}=\left(6\alpha+3\beta-6,-6\beta,-6\beta\right)$ であるから，
$\left(6\alpha+3\beta,-6\beta,-6\beta\right)\cdot\left(6\alpha+3\beta-6,-6\beta,-6\beta\right)=0\Leftrightarrow36\alpha^2+81\beta^2+36\alpha\beta-36\alpha-18\beta=0$ ……②
①②を連立すれば，
$\left(\alpha,\beta\right)=\left(\frac{4\pm\sqrt{70}}{144},\frac{\mp\sqrt{70}}{72}\right)$ (複号同順)
となる．
$\vec{\mathrm{OQ}}$ と $\vec{\mathrm{OA}},\vec{\mathrm{OB}}$ の方向を考えれば， $0<\alpha,\beta<0$ であるから，
$\left(\alpha,\beta\right)=\left(\frac{4+\sqrt{70}}{144},-\frac{\sqrt{70}}{72}\right)$
が適当．
$\thereforeQ\left(\frac{1}{6},\frac{\sqrt{70}}{12},\frac{\sqrt{70}}{12}\right)$ ……(答)

(3)

上図のように点 $\mathrm{R}$ ， $\mathrm{T}$ ， $\mathrm{U}$ を取る．
$\mathrm{OP}$ と $\mathrm{OQ}$ は $S$ の半径に当たるから， $\left|\vec{\mathrm{OP}}\right|=\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|=1$ である．
$\therefore\vec{\mathrm{OP}}\cdot\vec{\mathrm{OQ}}=\left|\vec{\mathrm{OP}}\right|\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|\cos{\angle\mathrm{POQ}}=\cos{\angle\mathrm{POQ}}$
また，前問の結果より $\vec{\mathrm{OP}}=\left(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right),\vec{\mathrm{OQ}}=\left(\frac{1}{6},\frac{\sqrt{70}}{12},\frac{\sqrt{70}}{12}\right)$ であるから，
$\vec{\mathrm{OP}}\cdot\vec{\mathrm{OQ}}=\left(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)\cdot\left(\frac{1}{6},\frac{\sqrt{70}}{12},\frac{\sqrt{70}}{12}\right)=-\frac{1+2\sqrt{70}}{18}$
これらより，
$\cos{\angle\mathrm{POQ}}=-\frac{1+2\sqrt{70}}{18}$
$\angle\mathrm{POR}=\frac{1}{2}\angle\mathrm{POQ}$ より，
$\cos{\angle\mathrm{POR}}=\cos{\frac{1}{2}\angle\mathrm{POQ}}=\sqrt{\frac{1+\cos{\angle\mathrm{POQ}}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{1+2\sqrt{70}}{18}}{2}}=\frac{\sqrt{17-2\sqrt{70}}}{6}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt7}{6}$
$\therefore\tan{\angle\mathrm{POR}}=\sqrt{\frac{1}{\cos^2{\angle\mathrm{POR}}}-1}=\sqrt{\frac{1}{\left(\frac{\sqrt{10}-\sqrt7}{6}\right)^2}-1}=\sqrt{35}+4\sqrt2$
よって，
$\mathrm{RP}=\mathrm{OP}\tan{\angle\mathrm{POR}}=\sqrt{35}+4\sqrt2$
ところで，線分 $\mathrm{OT}$ (図中の点線)の長さは(1)の途中で求めた原点と $l$ 上の点との距離と等しく $4\sqrt2$ である．また， $\mathrm{PU}=\mathrm{OT}=4\sqrt2$ である．
よって， $C$ の底面の半径( $\mathrm{RU}$ )は，
$\mathrm{RU}=\mathrm{RP}+\mathrm{PU}=\sqrt{35}+4\sqrt2+4\sqrt2=\sqrt{35}+8\sqrt2$
となる．更に線分 $\mathrm{OA}$ の長さは6であるから，三平方の定理より，
$\mathrm{AT}=\sqrt{{\mathrm{OA}}^2-{\mathrm{OT}}^2}=\sqrt{6^2-\left(4\sqrt2\right)^2}=2$
である．また， $\mathrm{TU}=\mathrm{OP}=1$ であるから， $C$ の高さ( $\mathrm{AU}$ )は，
$\mathrm{AU}=\mathrm{AT}+\mathrm{TU}=2+1=3$
よって，求める体積は，
$\frac{1}{3}\cdot\pi\left(\sqrt{35}+8\sqrt2\right)^2\cdot3=\left(163+16\sqrt{70}\right)\pi$ ……(答)

2018年慶應大学経済学部|過去問徹底研究大問4

2019.10.07

方針の立て方 (1) 対数の底が揃っていないため，底を揃える．後は普通の対数方程式の計算である． (2) 計算するだけ． (3) とを実際に書き下す．2の累乗まで分解できるため，この2の累乗を消去すればよいと考える．との表式から，二式を足し引きすると，単純な2の累乗にできると判断する．解答例 (1

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方針の立て方

(1)
対数の底が揃っていないため，底を揃える．後は普通の対数方程式の計算である．

(2)
計算するだけ．

(3)
$f\left(\alpha+\beta\right)$ と $g\left(\alpha+\beta\right)$ を実際に書き下す．2の累乗まで分解できるため，この2の累乗を消去すればよいと考える． $f\left(x\right)$ と $g\left(x\right)$ の表式から，二式を足し引きすると，単純な2の累乗にできると判断する．

解答例

(1)
真数条件より， $\begin{cases} f\left(x\right)-2>0 \\ f\left(x-1\right)-\frac{3}{2}>0 \\ f\left(x\right)+g\left(x\right)-2>0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} f\left(x\right)>2 \\ f\left(x-1\right)>\frac{3}{2} \\ f\left(x\right)+g\left(x\right)>2 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 2^x+2^{-x}>2 \\ 2^{x-1}+2^{-\left(x-1\right)}>\frac{3}{2} \\ 2\cdot2^x>2 \end{cases}$
ここで，相加相乗平均の関係式より，
$2^x+2^{-x}\geqq2\sqrt{2^x\cdot2^{-x}}=2,2^{x-1}+2^{-\left(x-1\right)}\geqq2\sqrt{2^{x-1}\cdot2^{-\left(x-1\right)}}=2$
(等号成立は，それぞれ $2^x=2^{-x}\Leftrightarrow x=0,2^{x-1}=2^{-\left(x-1\right)}\Leftrightarrow x=1$ )であるから，真数条件は，
$\begin{cases} x\neq0 \\ 2\cdot2^x>2 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x\neq0 \\ x>0 \end{cases}\Leftrightarrow x>0$
となる．
${\mathrm{log}}_\frac{1}{2}{\left\{f\left(x\right)-2\right\}}=\frac{{\mathrm{log}}_2{\left\{f\left(x\right)-2\right\}}}{{\mathrm{log}}_2{\frac{1}{2}}}=-{\mathrm{log}}_2{\left\{f\left(x\right)-2\right\}}$
$2\log_4{\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}}=2\cdot\frac{\log_2{\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}}}{\log_2{4}}=\log_2{\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}}$
であるから，
${\mathrm{log}}_\frac{1}{2}{\left\{f\left(x\right)-2\right\}}+\log_2{\left\{f\left(x-1\right)-\frac{3}{2}\right\}}+2\log_4{\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}}=1\Leftrightarrow-{\mathrm{log}}_2{\left\{f\left(x\right)-2\right\}}+\log_2{\left\{f\left(x-1\right)-\frac{3}{2}\right\}}+\log_2{\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}}=1\Leftrightarrow\log_2{\frac{\left\{f\left(x-1\right)-\frac{3}{2}\right\}\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}}{\left\{f\left(x\right)-2\right\}}}=1\Leftrightarrow\frac{\left\{f\left(x-1\right)-\frac{3}{2}\right\}\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}}{\left\{f\left(x\right)-2\right\}}=2\Leftrightarrow\left\{f\left(x-1\right)-\frac{3}{2}\right\}\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}=2\left\{f\left(x\right)-2\right\}\Leftrightarrow\left\{2^{x-1}+2^{-\left(x-1\right)}-\frac{3}{2}\right\}\left(2\cdot2^x-2\right)=2\left(2^x+2^{-x}-2\right)\Leftrightarrow\left(2^x\right)^3-6\left(2^x\right)^2+11\cdot2^x-6=0\Leftrightarrow\left(2^x-1\right)\left(2^x-2\right)\left(2^x-3\right)=0\Leftrightarrow2^x=1,2,3\Leftrightarrow x=0,1,{\mathrm{log}}_2{3}$
真数条件より $x=0$ は不可．
よって， $x=1,{\mathrm{log}}_2{3}$ ……(答)

(2)
$f\left(1\right)f\left(-1\right)+g\left(1\right)g\left(-1\right)=\left(2^1+2^{-1}\right)\left(2^{-1}+2^1\right)+\left(2^1-2^{-1}\right)\left(2^{-1}-2^1\right)=4$ ……(答)

(3)
$f\left(\alpha+\beta\right)=2^{\alpha+\beta}+2^{-\left(\alpha+\beta\right)}=2^\alpha\cdot2^\beta+2^{-\alpha}\cdot2^{-\beta} g\left(\alpha+\beta\right)=2^{\alpha+\beta}-2^{-\left(\alpha+\beta\right)}=2^\alpha\cdot2^\beta-2^{-\alpha}\cdot2^{-\beta}$
ここで，
$f\left(\alpha\right)=2^\alpha+2^{-\alpha},f\left(\beta\right)=2^\beta+2^{-\beta}$
$g\left(\alpha\right)=2^\alpha-2^{-\alpha},g\left(\beta\right)=2^\beta-2^{-\beta}$
より，
$2^{\pm\alpha}=\frac{1}{2}\left\{f\left(\alpha\right)\pm g\left(\alpha\right)\right\}$
$2^{\pm\beta}=\frac{1}{2}\left\{f\left(\beta\right)\pm g\left(\beta\right)\right\}$
であるから，
$f\left(\alpha+\beta\right)=\frac{1}{2}\left\{f\left(\alpha\right)+g\left(\alpha\right)\right\}\cdot\frac{1}{2}\left\{f\left(\beta\right)+g\left(\beta\right)\right\}+\frac{1}{2}\left\{f\left(\alpha\right)-g\left(\alpha\right)\right\}\cdot\frac{1}{2}\left\{f\left(\beta\right)-g\left(\beta\right)\right\}=\frac{1}{2}\left\{f\left(\alpha\right)f\left(\beta\right)+g\left(\alpha\right)g\left(\beta\right)\right\}$ ……(答)
$g\left(\alpha+\beta\right)=\frac{1}{2}\left\{f\left(\alpha\right)+g\left(\alpha\right)\right\}\cdot\frac{1}{2}\left\{f\left(\beta\right)+g\left(\beta\right)\right\}-\frac{1}{2}\left\{f\left(\alpha\right)-g\left(\alpha\right)\right\}\cdot\frac{1}{2}\left\{f\left(\beta\right)-g\left(\beta\right)\right\}=\frac{1}{2}\left\{f\left(\alpha\right)g\left(\beta\right)+g\left(\alpha\right)f\left(\beta\right)\right\}$ ……(答)

2018年慶應大学経済学部|過去問徹底研究大問3

2019.10.07

方針の立て方 (1) 数列の総和からを求めるには，普通を用いるが，を計算するとが入ってしまうため，上手くいかないことに気付く．逆に，この失敗を活かすと，を計算するとが出てくると判断できる．そこで，に関する考察を行う．また，これを一般化すれば，を使えばを出せると分かる．の漸化式はここから求めれば良い

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方針の立て方

(1)
数列の総和 $S_n$ から $a_1$ を求めるには，普通 $a_1=S_1$ を用いるが， $S_1$ を計算すると $a_2$ が入ってしまうため，上手くいかないことに気付く．逆に，この失敗を活かすと， $S_0$ を計算すると $a_1$ が出てくると判断できる．そこで， $S_0$ に関する考察を行う．
また，これを一般化すれば， $S_n$ を使えば $a_{n+1}$ を出せると分かる． $\left\{a_n\right\}$ の漸化式はここから求めれば良い．ただし， $S_n$ は用いることができないから， $S_n-S_{n-1}=a_n$ となることを用いて $S_n$ を消去する．
後は普通の計算問題である．

(2)
前半((40))については，解答欄の形式から $a_{k-1}$ を用いてはならないことから $a_{k-1}$ を消去することをまず考える．更に解答欄の形式から $a_k$ のみを使うことから $a_{k-1}\rightarrow a_k$ の変換をすれば良いと判断する．この変換には漸化式を使えば良い．
後半((41)～(43))は，前半で導いた関係式を $T_n$ を用いた式に変換する必要があるから， $\sum_{k=1}^{n}{\left(k+1\right)a_k}$ や $\sum_{k=1}^{n+1}{ka_{k-1}}$ ，或いはこれに近い形を作り出す必要があると考える．そうすると，前半で導いた関係式の両辺の総和を取れば良いと判断できる．

(3)
③の式を $T_n$ について解けば，解答欄の左辺を得られる．解答欄の形式から $S_n,a_n$ は使えないから，これらを消すために②と一般項： $a_n=nr^{n-1}$ を用いる．

解答例

(31)1
(32)1
(33)1
(34)1
(35)1
(36)1
(37)1
(38)1
(39)0
(40)2
(41)2
(42)1
(43)0
(44)2
(45)1
(46)2
(47)2
(48)2
(49)1
(50)1
(51)3

解説

(1)
$S_0=0=\frac{1-r^{0+1}}{\left(1-r\right)^2}-\frac{a_{0+1}}{1-r}=\frac{1-a_1}{1-r}\Leftrightarrow a_1=1$ ……(答)
また， $n\geqq1$ に対して，
$a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{1-r^{n+1}}{\left(1-r\right)^2}-\frac{a_{n+1}}{1-r}-\left(\frac{1-r^n}{\left(1-r\right)^2}-\frac{a_n}{1-r}\right)\Leftrightarrow a_{n+1}=ra_n+r^n$ ……(答)
$a_{n+1}=ra_n+r^n$ の両辺を $r^n$ で割れば，
$\frac{a_{n+1}}{r^n}=\frac{a_n}{r^{n-1}}+1\Leftrightarrow b_{n+1}=b_n+1$
であるから，数列 $\left\{b_n\right\}$ は初項 $b_1=\frac{a_1}{r^{1-1}}=1$ ，公差 $1$ の等差数列になる．……(答)
よって，
$b_n=1+\left(n-1\right)\cdot1=n\Leftrightarrow\frac{a_n}{r^{n-1}}=n\Leftrightarrow a_n=nr^{n-1}$ ……(答)
これを①に代入すれば，
$S_n=\frac{1-r^{n+1}}{\left(1-r\right)^2}-\frac{\left(n+1\right)r^n}{1-r}=\frac{1-\left(n+1\right)r^n+nr^{n+1}}{\left(1-r\right)^2}$ ……(答)

(2)
前問で求めた漸化式： $a_{n+1}=ra_n+r^n$ より， $a_{k-1}=\frac{a_k-r^{k-1}}{r}$ であるから，
$\left(k+1\right)a_k-rka_{k-1}=\left(k+1\right)a_k-rk\cdot\frac{a_k-r^{k-1}}{r}=a_k+kr^{k-1}$
更に前問で求めた一般項： $a_n=nr^{n-1}$ より， $kr^{k-1}=a_k$ であるから，
$\left(k+1\right)a_k-rka_{k-1}=a_k+a_k=2a_k$ ……(答)
最左辺と最右辺の $1$ から $n$ までの総和を取ると，
$\sum_{k=1}^{n}\left(\left(k+1\right)a_k-rka_{k-1}\right)=\sum_{k=1}^{n}{2a_k}\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n}{\left(k+1\right)a_k}-r\sum_{k=1}^{n}{ka_{k-1}}=2\sum_{k=1}^{n}a_k$
ここで，
$\sum_{k=1}^{n}{\left(k+1\right)a_k}=T_n$
$\sum_{k=1}^{n}{ka_{k-1}}=\sum_{k=1}^{n+1}{ka_{k-1}}-\left(n+1\right)a_n=T_n-\left(n+1\right)a_n$
$\sum_{k=1}^{n}a_k=S_n$
より，
$T_n-r\left\{T_n-\left(n+1\right)a_n\right\}=2S_n\Leftrightarrow\left(1-r\right)T_n=2S_n-r\left(n+1\right)a_n$ ……(答)

(3)
(1)で求めた一般項： $a_n=nr^{n-1}$ と②を③に代入して，
$\left(1-r\right)T_n=2\cdot\frac{1-\left(n+1\right)r^n+nr^{n+1}}{\left(1-r\right)^2}-r\left(n+1\right)nr^{n-1}\Leftrightarrow T_n=\frac{1}{\left(1-r\right)^3}\left\{2-\left(n+1\right)\left(n+2\right)r^n+2n\left(n+2\right)r^{n+1}-n\left(n+1\right)r^{\ n+2}\right\}$ ……(答)

2018年慶應大学経済学部|過去問徹底研究大問2

2019.10.07

方針の立て方問題設定がやや奇天烈だか，題意を満たす関数を考えれば良く，それ以外は極めて平易な確率の問題である． (1)～(3)の前半((12)～(26))までは，特筆事項なし． (3)の後半((27)～(30))は，題意を満たす関数の特定がやや難しい．全ての関数の組み合わせに関して「を満たすすべて

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方針の立て方

問題設定がやや奇天烈だか，題意を満たす関数を考えれば良く，それ以外は極めて平易な確率の問題である．
(1)～(3)の前半((12)～(26))までは，特筆事項なし．
(3)の後半((27)～(30))は，題意を満たす関数の特定がやや難しい．全ての関数の組み合わせに関して「 $0\leqq x\leqq2$ を満たすすべての実数 $x$ に対して $f_2\left(x\right)>g_2\left(x\right)$ となるか」を調べるのはパターン数も多くとても面倒である．そこで，「必要条件で可能性を絞って，虱潰しする」という方法を取ろう．この考え方はよく使う手段であるから，おさえておこう．具体的には，「 $0\leqq x\leqq2$ を満たすすべての実数 $x$ に対して $f_2\left(x\right)>g_2\left(x\right)$ となる」の必要条件「 $f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)$ かつ $f_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)$ となる」を用いて，題意を満たす関数の組み合わせを絞っていく．「 $f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)$ かつ $f_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)$ となる」というのは，(3)の前半((22)～(26))で考えているから，すぐに $\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right),\left(-6x+15,-3x^2+12\right)$ と分かる．後は, $\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right)$ と， $\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(-6x+15,-3x^2+12\right)$ の2つを虱潰しに調べればよい．

解答例

(12)(13) $\frac{3}{4}$
(14)(15)(16) $\frac{7}{12}$
(17)(18)(19)(20)(21) $\frac{19}{120}$
(22)(23)(24)(25)(26) $\frac{19}{128}$
(27)(28)(29)(30) $\frac{3}{256}$

解説

(1)
〇 $f\left(1\right)>8$ となる確率((12)と(13)について)
$\left.\left(-6x+15\right)\right|_{x=1}=9,\left.\left(-3x^2+12\right)\right|_{x=1}=9,\left.\left(6x^2-10x+11\right)\right|_{x=1}=7,\left.6x\right|_{x=1}=6$
であるから， $f\left(1\right)>8$ を満たすには， $f\left(x\right)=-6x+15$ または， $f\left(x\right)=-3x^2+12$ であれば必要十分．
よって， $f\left(1\right)>8$ となる確率は，
$\frac{7+5}{16}=\frac{3}{4}$ ……(答)
〇条件つき確率((14)～(16)について)
$\int_{0}^{2}\left(-6x+15\right)dx=\left[-3x^2+15x\right]_0^2=18,\int_{0}^{2}\left(-3x^2+12\right)dx=\left[-x^3+12x\right]_0^2=16$
であるから， $f\left(1\right)>8$ かつ $\int_{0}^{2}f\left(x\right)dx>17$ となるのは， $f\left(x\right)=-6x+15$ のとき．
$f\left(1\right)>8$ かつ $\int_{0}^{2}f\left(x\right)dx>17$ となる確率は， $\frac{7}{16}$ ．
よって，求める条件つき確率は，
$\frac{\frac{7}{16}}{\frac{3}{4}}=\frac{7}{12}$ ……(答)

(2)
$\left.\left(-6x+15\right)\right|_{x=0}=15,\left.\left(-3x^2+12\right)\right|_{x=0}=12,\left.\left(6x^2-10x+11\right)\right|_{x=0}=11,\left.6x\right|_{x=0}=0$
$\left.\left(-6x+15\right)\right|_{x=2}=3,\left.\left(-3x^2+12\right)\right|_{x=2}=0,\left.\left(6x^2-10x+11\right)\right|_{x=2}=15,\left.6x\right|_{x=2}=12$
であるから， $f_1\left(0\right)>g_1\left(0\right)$ かつ $f_1\left(2\right)>g_1\left(2\right)$ となるような， $f_1\left(x\right),g_1\left(x\right)$ の組み合わせは， $\left(f_1\left(x\right),g_1\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right),\left(-6x+15,-3x^2+12\right)$ の2通り．
よって，求める確率は，
$\frac{3}{16}\cdot\frac{1}{15}+\frac{7}{16}\cdot\frac{5}{15}=\frac{19}{120}$ ……(答)

(3)
〇 $f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)$ かつ $f_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)$ となる確率((22)～(26)について)
前問と同様に， $f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)$ かつ $f_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)$ となるのは $\left(f_1\left(x\right),g_1\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right),\left(-6x+15,-3x^2+12\right)$ の2通り．
よって，求める確率は，
$\frac{3}{16}\cdot\frac{1}{16}+\frac{7}{16}\cdot\frac{5}{16}=\frac{19}{128}$ ……(答)
〇 $0\leqq x\leqq2$ を満たすすべての実数 $x$ に対して $f_2\left(x\right)>g_2\left(x\right)$ となる確率((27)～(30)について)
$0\leqq x\leqq2$ を満たすすべての実数 $x$ に対して $f_2\left(x\right)>g_2\left(x\right)$ となる関数の組 $\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)$ を考える．
まず， $x=0,2$ で満たす必要がある(つまり， $f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)$ かつ $f_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)$ となる必要がある)ため，考えられる組は， $\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right),\left(-6x+15,-3x^2+12\right)$ の高々2通り．
ここで，
$6x^2-10x+11-6x=6x^2-16x+11=6\left(x-\frac{4}{3}\right)^2+\frac{1}{3}$
であり，全ての実数 $x$ に対して $6\left(x-\frac{4}{3}\right)^2+\frac{1}{3}>0$ であるから， $\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right)$ は題意を満たす．
一方で
$-6x+15-\left(-3x^2+12\right)=3x^2-6x+3=3\left(x-1\right)^2$ であり， $3\left(x-1\right)^2$ は $x=1$ で $0$ となってしまうから， $\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(-6x+15,-3x^2+12\right)$ は題意を満たさない．
よって，求める確率は， $\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right)$ となる確率と等しく，
$\frac{3}{16}\cdot\frac{1}{16}=\frac{3}{256}$ ……(答)

2018年慶應大学経済学部|過去問徹底研究大問1

2019.10.07

方針の立て方 (1)(2)は典型問題であるため特筆事項なし． (3)は三角形が二等辺三角形になることを利用する． (4)は角度に関する情報が与えられているため，ベクトルの内積を用いて求めるか，或いはその方法の原理となっている余弦定理から攻めると判断する．前問の議論と合わせると，三角形の全ての辺の長

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方針の立て方

(1)(2)は典型問題であるため特筆事項なし．
(3)は三角形 $\mathrm{PQR}$ が二等辺三角形になることを利用する．
(4)は角度に関する情報が与えられているため，ベクトルの内積を用いて求めるか，或いはその方法の原理となっている余弦定理から攻めると判断する．

前問の議論と合わせると，三角形 $\mathrm{PQR}$ の全ての辺の長さの情報が分かっているので，本解答ではベクトルによる解法ではなく，余弦定理による解法を用いた．

解答例

(1)5
(2)5
(3)4
(4)5
(5)4
(6)1
(7)9
(8)(9)16
(10)8
(11)3

解説

$x^2+y^2-8x-2ay+a^2=0\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2+\left(y-a\right)^2=16$
よって， $\mathrm{P}\left(4,a\right)$ であり，半径は4である．
(1)
$\mathrm{P}\left(4,a\right)$ が $l\colon y=x+1$ 上の点であるならば，
$a=4+1=5$ ……(答)

(2)
$\mathrm{P}\left(4,a\right)$ と $l\colon y=x+1$ の距離は，点と直線の距離の公式より，
$\frac{\left|4-a+1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{\left|5-a\right|}{\sqrt2}$
これが半径4より小さければ必要十分であるため，
$\frac{\left|5-a\right|}{\sqrt2}<4\Leftrightarrow\left|5-a\right|<4\sqrt2\Leftrightarrow-4\sqrt2<5-a<4\sqrt2\Leftrightarrow5-4\sqrt2<a<5+4\sqrt2$ ……(答)

(3)
$\begin{cases} y=x+1 \\ \left(x-4\right)^2+\left(y-a\right)^2=16 \end{cases}\Leftrightarrow\left(x,y\right)=\left(\frac{3+a\pm\sqrt{-a^2+10a+7}}{2},\frac{5+a\pm\sqrt{-a^2+10a+7}}{2}\right)$ (複号同順)
よって，
$\mathrm{Q}\left(\frac{3+a+\sqrt{-a^2+10a+7}}{2},\frac{5+a+\sqrt{-a^2+10a+7}}{2}\right),\mathrm{R}\left(\frac{3+a-\sqrt{-a^2+10a+7}}{2},\frac{5+a-\sqrt{-a^2+10a+7}}{2}\right)$ と表せる( $\sqrt{-a^2+10a+7}$ の係数の $\pm$ のどちらを点 $\mathrm{Q}$ ，点 $\mathrm{R}$ とするかは本来決められないが，上記のように $+$ の方を点 $\mathrm{Q}$ ， $-$ の方を点 $\mathrm{R}$ とおいて一般性を失わない)．
これより，
$\vec{\mathrm{QR}}=\left(\sqrt{-a^2+10a+7},\sqrt{-a^2+10a+7}\right)$
$\therefore\left|\vec{\mathrm{QR}}\right|=\sqrt{\left(\sqrt{-a^2+10a+7}\right)^2+\left(\sqrt{-a^2+10a+7}\right)^2}=\sqrt{2\left(-a^2+10a+7\right)}$
点 $\mathrm{P}$ と辺 $\mathrm{QR}$ との距離は $\frac{\left|5-a\right|}{\sqrt2}$ であるから，三角形 $\mathrm{PQR}$ の面積は
$\frac{1}{2}\cdot\frac{\left|5-a\right|}{\sqrt2}\cdot\sqrt{2\left(-a^2+10a+7\right)}=\frac{\left|5-a\right|\sqrt{-a^2+10a+7}}{2}$
これが8となるのは，
$\frac{\left|5-a\right|\sqrt{-a^2+10a+7}}{2}=8\Leftrightarrow a^4-20a^3+118a^2-180a+81=0\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a-9\right)^2=0\Leftrightarrow a=1,9$ ……(答)

(4)
$\mathrm{PQ}$ と $\mathrm{PR}$ は円 $C$ の半径にあたるから，長さは4である．
よって，余弦定理より，
${\mathrm{QR}}^2={\mathrm{PQ}}^2+{\mathrm{PR}}^2-2\cdot \mathrm{PQ}\cdot \mathrm{PR}\cdot\cos{\angle\mathrm{QPR}}\Leftrightarrow\left(\sqrt{2\left(-a^2+10a+7\right)}\right)^2=4^2+4^2-2\cdot4\cdot4\cdot\mathrm{cos} {{150}^\circ}\Leftrightarrow\left(a-5\right)^2=16-8\sqrt3$ ……(答)

方針の立て方

解答例

方針の立て方

解答例

方針の立て方

解答例

方針の立て方

解答例

解説

方針の立て方

解答例

解説

方針の立て方

解答例

解説