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2017年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問6

2019.09.04

2017年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問6 方針の立て方 (1) どの工場にも自由度はないため,そのものを塊と見て考える.素直に定義に従って計算すれば,特に難しい解法の必要はない. (2) 工場の汲み上げ量が自由度を持つため,他の工場の汲み上げ量の総和とで分離して考えることにしよう.する

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    方針の立て方

    (1)
    どの工場にも自由度はないため,\sum_{i=1}^{10}x_iそのものを塊と見て考える.素直に定義に従って計算すれば,特に難しい解法の必要はない.
    (2)
    工場iの汲み上げ量が自由度を持つため,他の工場の汲み上げ量の総和\sum_{k\neq i} x_kx_iで分離して考えることにしよう.すると,p\left(\mathbit{x}\right)x_iは2文字の関数となるため一文字固定法の考え方で解いていこう.

    解答例
    (55)(56)(57)(58)(59)(60)(61)(62)……\frac{0625}{0004}
    (63)(64)(65)(66)(67)(68)(69)(70)……\frac{6250}{0121}

    解説

    (1)
    \sum_{i=1}^{10}{p\left(\mathbit{x}\right)x_i}=\sum_{i=1}^{10}\left\{25x_i-x_i\sum_{i=1}^{10}x_i\right\}=25\sum_{i=1}^{10}x_i-\sum_{i=1}^{10}\left(x_i\sum_{i=1}^{10}x_i\right)=25\sum_{i=1}^{10}x_i-\left(\sum_{i=1}^{10}x_i\right)^2=-\left(\sum_{i=1}^{10}x_i-\frac{25}{2}\right)^2+\frac{625}{4}
    \therefore\sum_{i=1}^{10}x_i=\frac{25}{2}<25のとき,\sum_{i=1}^{10}{p\left(\mathbit{x}^\prime\right)x_i^\prime}=\frac{625}{4}……(答)

    (2)
    \sum_{k\neq i} x_k=A_i>0とすると,

    となる.工場iの利益は,
    p\left(\mathbit{x}\right)x_i=25x_i-A_ix_i-x_i^2=-\left(x_i-\frac{25-A_i}{2}\right)^2+\frac{\left(25-A_i\right)^2}{4}
    \therefore x_i^{\prime\prime}=\frac{25-A_i}{2}で,p\left(\mathbit{x}^{\prime\prime}\right)x_i^{\prime\prime}=\frac{\left(25-A_i\right)^2}{4}
    ここで,A_i=\sum_{k=1}^{10}x_k-x_iより,x_i^{\prime\prime}=\frac{25-\sum_{k=1}^{10}x_k^{\prime\prime}+x_i^{\prime\prime}}{2}\Leftrightarrow x_i^{\prime\prime}=25-\sum_{k=1}^{10}x_k^{\prime\prime}
    両辺を1\leqq i\leqq10で総和を取ると,左辺はiに依存しないから,
    \sum_{i=1}^{10}x_i^{\prime\prime}=250-10\sum_{i=1}^{10}x_i^{\prime\prime}\Leftrightarrow\sum_{i=1}^{10}x_i^{\prime\prime}=\frac{250}{11}<25
    \therefore p\left(\mathbit{x}^{\prime\prime}\right)=25-\sum_{k=1}^{10}x_k^{\prime\prime}=25-\frac{250}{11}=\frac{25}{11}
    \therefore\sum_{i=1}^{10}{p\left(\mathbit{x}^{\prime\prime}\right)x_i^{\prime\prime}}=\frac{25}{11}\sum_{i=1}^{10}x_i^{\prime\prime}=\frac{25}{11}\cdot\frac{250}{11}=\frac{6250}{121}……(答)

2017年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問5

2019.09.04

方針の立て方 前半はあまりに平易な問題のため特筆事項なし. 後半は,実際に具体的なトーナメント表で考える.すると,選手Hの位置と,選手Hがいつ負けるのかがカギになると分かる.例によって,大まかな場合分け→細かい場合分け→さらに細かい計算というように,最初は大雑把に分けて考えていき細かいことは後回しと

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  • 方針の立て方

    前半はあまりに平易な問題のため特筆事項なし.
    後半は,実際に具体的なトーナメント表で考える.すると,選手Hの位置と,選手Hがいつ負けるのかがカギになると分かる.例によって,大まかな場合分け→細かい場合分け→さらに細かい計算というように,最初は大雑把に分けて考えていき細かいことは後回しとすると,全体の見通しが良くなる.対称性を見抜けるかで処理のスピードに差が出た問題である.入試数学は基本的には時間が足りなくなるのが常なので,小さな対称性でも,気付いてどんどん利用したい.

    解答例

    (43)(44)(45)(46)(47)(48)……\frac{001}{008}
    (49)(50)(51)(52)(53)(54)……\frac{019}{189}

    解説

    〇すべての選手が互角であったときの確率((43)~(48))について
    選手Aが3連勝すれば必要十分.
    \therefore\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}……(答)

    〇選手Hだけが他の選手より優れていたときの確率((49)~(54))について
    選手Aと選手Hのトーナメント表での位置関係で場合分けする.このとき,選手Aは下図のように左端に固定して考えて一般性を失わない.

    更に対称性から,②と②',③と③'と③''と③'''を考えることは対等であるので,①,②,③のみを考える.
    ①の位置に選手Hがいる場合
    選手Aが優勝するには1回戦で選手Hに勝ち,後の2回を勝てば必要十分.
    \therefore\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{12}
    ②か②'の位置に選手Hがいる場合
    2回戦で選手Hと戦うか,戦わないかで場合分けする.
    2回戦で選手Hと戦って,選手Aが優勝するには,選手Aと選手Hがともに1回戦を勝ち,2回戦で選手Aが選手Hに勝ち,3回戦で選手Aが勝てば必要十分.
    \therefore\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{18}
    2回戦で選手Hと戦わず,選手Aが優勝するには,1回戦で選手Aが勝ち,選手Hが負け,後の2回を選手Aが勝てば必要十分.
    \therefore\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{24}
    \therefore\frac{1}{18}+\frac{1}{24}=\frac{7}{72}
    ③か③'か③''か③'''の位置に選手Hがいる場合
    選手Hが何回戦で負けるかで場合分けする.
    選手Hが1回戦で負けて,選手Aが優勝するには,1回戦で選手Aが勝ち,選手Hが負け,後の2回を選手Aが勝てば必要十分.
    \therefore\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{24}
    選手Hが2回戦で負けて,選手Aが優勝するには,選手Aと選手Hがともに1回戦を勝ち,2回戦で選手Aが勝ち,選手Hが負け,3回戦で選手Aが勝てば必要十分.
    \therefore\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{36}
    選手Hが3回戦で負けて,選手Aが優勝するには,選手Aと選手Hがともに1回戦と2回戦を勝ち,3回戦で選手Aが勝てば必要十分.
    \therefore\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{27}
    \therefore\frac{1}{24}+\frac{1}{36}+\frac{1}{27}=\frac{23}{216}
    さらに,抽選で選手Hが①の位置にくる確率は\frac{1}{7},②か②'の位置にくる確率は\frac{2}{7},③か③'か③''か③'''の位置にくる確率は\frac{4}{7}であるから,求める確率は,
    \frac{1}{7}\cdot\frac{1}{12}+\frac{2}{7}\cdot\frac{7}{72}+\frac{4}{7}\cdot\frac{23}{216}=\frac{19}{189}……(答)

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2017年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問4

2019.09.04

2016年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問4 方針の立て方 (1)(2) 線形計画法の応用問題である.2変数で,条件式が与えられている下での最大最小問題であることから気付きたい. 解答例 (35)(36)…… (37)(38)(39)(40)(41)(42)…… 解説 (1) 条件式:を図

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    方針の立て方

    (1)(2)
    線形計画法の応用問題である.2変数で,条件式が与えられている下での最大最小問題であることから気付きたい.

    解答例
    (35)(36)……10
    (37)(38)(39)(40)(41)(42)……18-2\sqrt{17}

    解説

    (1)
    条件式:\left|x\right|+\left|y\right|\leqq1を図示すると,

    上図の斜線部となる(但し境界を含む).
    正の実数をk用いて\left(x-1\right)^2+\left(y-4\right)^2=kと置けば,これは\left(1,4\right)を中心とする半径\sqrt kの円である.
    上図の領域と共有点をもち,かつ,半径が最小となるのは,点\left(0,1\right)を通るとき.
    \therefore k\geqq\left(0-1\right)^2+\left(1-4\right)^2=10……(答)

    (2)
    条件式:x^2+y^2\leqq1を図示すると,

    上図の斜線部となる(但し境界を含む).
    正の実数をk用いて\left(x-1\right)^2+\left(y-4\right)^2=kと置けば,これは\left(1,4\right)を中心とする半径\sqrt kの円である.
    上図の領域と共有点をもち,かつ,半径が最小となるのは,これらの2円が外接するとき.2円の中心を結んだ直線の方程式はy=4xであるから,接点は,\left(\frac{1}{\sqrt{17}},\frac{4}{\sqrt{17}}\right)である.
    \therefore k\geqq\left(\frac{1}{\sqrt{17}}-1\right)^2+\left(\frac{4}{\sqrt{17}}-4\right)^2=18-2\sqrt{17}……(答)

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2017年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問3

2019.09.04

2017年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問3 方針の立て方 (1) 文字が3つと多いため,典型的な一文字固定法で考えていくのが妥当. (2) 前問の結果から,のときが答えだと当たりをつけて考えていく.のときに使える多変数の公式といえば,相加相乗平均の関係式であるから,試しに使ってみると,解

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    方針の立て方

    (1)
    文字が3つと多いため,典型的な一文字固定法で考えていくのが妥当.

    (2)
    前問の結果から,x=y=zのときが答えだと当たりをつけて考えていく.x=y=zのときに使える多変数の公式といえば,相加相乗平均の関係式であるから,試しに使ってみると,解法を得る.

    解答例

    (21)(22)(23)(24)(25)(26)……\frac{001}{162}
    (27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)……\frac{-7+05\sqrt{02}}{27}

    解説

    (1)
    AB=x,AD=y,AE=zとおく.すると,
    条件式:x+2y+3z=1となる.
    0<x,0<y,0<zより,0<z<\frac{1}{3}である.
    体積は,
    xyz=\left(1-2y-3z\right)yz=z\left\{-2y^2+\left(1-3z\right)y\right\}=z\left\{-2\left(y-\frac{1-3z}{4}\right)^2+\frac{\left(1-3z\right)^2}{8}\right\}\leqq\frac{{z\left(1-3z\right)}^2}{8}
    不等号の等号成立条件はy=\frac{1-3z}{4}である.
    ここで,f\left(z\right)=\frac{{z\left(1-3z\right)}^2}{8}=\frac{1}{8}\left(9z^3-6z^2+z\right)とおくと,f^\prime\left(z\right)=\frac{1}{8}\left(27z^2-12z+1\right)=\frac{\left(9z-1\right)\left(3z-1\right)}{8}
    増減表を描くと,

    z 0 \cdots \frac{1}{9} \cdots \frac{1}{3}
    f^\prime\left(z\right) + + 0 - 0
    f\left(z\right) 0 \nearrow \frac{1}{162} \searrow 0

    よって,f\left(z\right)\leqq f\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{1}{162}
    ここで,
    \begin{cases} y=\frac{1-3z}{4} \\ z=\frac{1}{9} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} y=\frac{1}{6} \\ z=\frac{1}{9} \end{cases}
    となる.このとき,x=\frac{1}{3}となり,これらは全て適当である.
    よって,
    V=\frac{1}{162}……(答)

    (2)
    AB=x,AD=y,AE=zとおく.すると,
    条件式:x+y+z+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=1となる.
    ここで,相加相乗平均の関係式
    x+y+z\geqq3\sqrt[3]{xyz} (等号成立はx=y=zのとき)
    であり,
    \sqrt{x^2+y^2}\geqq\sqrt{2\sqrt{x^2y^2}}=\sqrt{2xy} (等号成立はx=yのとき)
    \sqrt{y^2+z^2}\geqq\sqrt{2\sqrt{y^2z^2}}=\sqrt{2yz} (等号成立はy=zのとき)
    \sqrt{z^2+x^2}\geqq\sqrt{2\sqrt{z^2x^2}}=\sqrt{2zx} (等号成立はz=xのとき)
    であり,
    \sqrt{2xy}+\sqrt{2yz}+\sqrt{2zx}\geqq3\sqrt[3]{\sqrt{2xy}\cdot\sqrt{2yz}\cdot\sqrt{2zx}}=3\sqrt2\cdot\sqrt[3]{xyz} (等号成立は\sqrt{2xy}=\sqrt{2yz}=\sqrt{2zx}のとき)
    であることを用いると,
    1=x+y+z+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}\geqq3\sqrt[3]{xyz}+\sqrt{2xy}+\sqrt{2yz}+\sqrt{2zx}\geqq3\sqrt[3]{xyz}+3\sqrt2\cdot\sqrt[3]{xyz}
    が成り立つ.等号成立はx=y=zのときであり,最左辺と最右辺に着目すると,
    \sqrt[3]{xyz}\leqq\frac{1}{3+3\sqrt2}
    \therefore xyz\leqq\frac{1}{\left(3+3\sqrt2\right)^3}=\frac{-7+5\sqrt2}{27}
    となる.xyzは考えている直方体の体積であることに注意されたい.
    さて,x=y=zのとき,条件式より,x+x+x+\sqrt{x^2+x^2}+\sqrt{x^2+x^2}+\sqrt{x^2+x^2}=1\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt2-1}{3}となり,x=y=z=\frac{\sqrt2-1}{3}となる.これは適当である.よって,
    V=\frac{-7+5\sqrt2}{27}……(答)

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2017年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問2

2019.09.03

2017年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問2 方針の立て方 求めるものを未知数で置くという数学の基本解法に則り,まずは円Bの半径をと置こう.そして,「同じものを2通りの方法で表し,等式を作る」という方針を取る(この方針も数学では典型的な解法である). 次に円Aに関する情報が与えられているこ

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    方針の立て方

    求めるものを未知数で置くという数学の基本解法に則り,まずは円Bの半径をrと置こう.そして,「同じものを2通りの方法で表し,等式を作る」という方針を取る(この方針も数学では典型的な解法である).
    次に円Aに関する情報が与えられていることから,一つは円Aの半径(若しくは直径)を使う表現方法(本解答では,4r+2という表現が該当する)を考える.もう一つは,残りの円である円B,円C,円Dを使うことを考える(本解答では,\sqrt5r+2rという表現が該当する).
    数学では基本的には与えられた情報や設定は全部使うことを意識しよう.解法に詰まった時には,また使っていない情報を活用できないかを考えると打開策が見つかるかもしれない.

    解答例

    (9)(10)(11)(12)(13)(14)……04+02\sqrt{05}
    (15)(16)(17)(18)(19)(20)……18+08\sqrt{05}

    解説


    円Hの中心(点\mathrm{H}^\prime)から点Eの中心(点\mathrm{E}^\prime)を通る半径を引く.点\mathrm{E}^\primeから上図のように半円Hの弦に向かって垂線を引き,垂線の足を点Gとする.円Bの半径をrとすると,線分\mathrm{G}\mathrm{H}^\primeの長さはrとなる.また,円Eの半径が2rとなることから,線分\mathrm{E}^\prime\mathrm{G}の長さは2rである.よって,三平方の定理から線分\mathrm{E}^\prime\mathrm{H}の長さは,\sqrt5rとなる.よって,円Hの半径は\sqrt5r+2rと書ける.

    また,上図の点線に着目すると,円Hの半径は4r+2と書ける.
    よって,円Hの半径についての等式,
    \sqrt5r+2r=4r+2
    が成り立ち,これを解くことで,
    r=4+2\sqrt5……(答)
    よって,円Hの半径は,
    4r+2=4\left(4+2\sqrt5\right)+2=18+8\sqrt5……(答)

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2017年慶応義塾大学総合政策|数学過去問徹底研究 大問1

2019.09.03

2017年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問1 方針の立て方 全体的にの対称式であるから,基本対称式であるとを作り出していくことで解法を得る. 解答例 (1)(2)(3)(4)……0155 (5)(6)(7)(8)……1924 解説 について. は2次方程式:の解である.判別式はであり,これ

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    方針の立て方

    全体的にx,yの対称式であるから,基本対称式であるx+yxyを作り出していくことで解法を得る.

    解答例

    (1)(2)(3)(4)……0155
    (5)(6)(7)(8)……1924

    解説

    \begin{cases} xy+x+y=20 \\ xy\left(x+y\right)=91 \end{cases}\Leftrightarrow\left(x+y,xy\right)=\left(7,13\right),\left(13,7\right) \left(x+y,xy\right)=\left(7,13\right)について.
    x,yは2次方程式:\alpha^2-7\alpha+13=0の解である.判別式DD=7^2-4\cdot13=-30であり,これより,この2次方程式の解は実数解となる.\therefore\left(x+y,xy\right)=\left(13,7\right)
    x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy={13}^2-2\cdot7=155……(答)
    x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)={13}^3-3\cdot7\cdot13=1924……(答)

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