慶應大学理工|過去問徹底研究　2017年　大問2

方針の立て方

(1)特筆事項なし．

(2)
(シ)～(ス)について
面と垂線の問題である．面は２つの線形独立なベクトル(このようなベクトルを基底ベクトルという)の線形結合で表現される．つまり，「面と垂直」という条件を，「２つの基底ベクトルと垂直」という条件に言い換えることができる．このことを利用しよう．なお，面と垂線の問題は難関大学では頻出の問題であるため，この問題ができなかった受験生は是非復習してほしい．(実はこの問題と類似の問題が2016年にも出題された)
(セ)～(タ)について
求めるものが $\vec{\mathrm{AH}}$ であるため，始点をAに揃えて考えるという方針で解く．問題文でまだ使われていない情報である「線分DGの中点が点Oである」を使い， $\vec{\mathrm{OD}}=-\vec{\mathrm{OG}}$ の等式を立てよう．
(チ)について
三角形のベクトル方程式を応用することで解ける．

(3)
前問で平面 $\alpha$ の垂線OPを考えたので， $\triangleABC$ を底面と見て，線分DHを高さと見るという方針を思いつく．

解答例
(1)
コ：３
サ： $r^2-9$
(2)
シ：４
ス：５
セ： $-\frac{1}{3}\left(9t+4\right)$
ソ： $\frac{1}{3}\left(12t-1\right)$
タ： $\frac{1}{3}\left(15t-1\right)$
チ： $\frac{1}{3}$
(3)
ツ： $2\sqrt{r^2-5}$

解説

(1)
〇 $\triangleABC$ の面積 (コについて)
$\triangleABC=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{\mathrm{AB}}\right|^2\left|\vec{\mathrm{AC}}\right|^2-\left(\vec{\mathrm{AB}}\cdot\vec{\mathrm{AC}}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{10\cdot4-4}=3$ ……(答)
〇 $\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}$ (サについて)
$\triangleABC$ に対して余弦定理を用いると，
$\left|\vec{\mathrm{BC}}\right|^2=\left|\vec{\mathrm{AB}}\right|^2+\left|\vec{\mathrm{AC}}\right|^2-2\vec{\mathrm{AB}}\cdot\vec{\mathrm{AC}}=18$
$\triangle\mathrm{OAB}$ に対して余弦定理を用いると，
$\left|\vec{\mathrm{BC}}\right|^2=\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2+\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|^2-2\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}=2r^2-2\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}$
$\therefore2r^2-2\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}=18\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}=r^2-9$ ……(答)

(2)
〇 $x$ と $y$ の値(シ，スについて)
前問と同様に計算すると，
$\begin{cases} \vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=r^2-5 \\ \vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}=r^2-2 \end{cases}$
が得られる．
さて，直線OPは，平面 $\alpha$ に直交していることと， $\left|\vec{\mathrm{OP}}\right|\neq0$ ， $\left|\vec{\mathrm{AB}}\right|\neq0$ ， $\left|\vec{\mathrm{AC}}\right|\neq0$ より，
$\begin{cases} \vec{\mathrm{OP}}\bot\vec{\mathrm{AB}} \\ \vec{\mathrm{OP}}\bot\vec{\mathrm{AC}} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \vec{\mathrm{AB}}\cdot\vec{\mathrm{OP}}=0 \\ \vec{\mathrm{AC}}\cdot\vec{\mathrm{OP}}=0 \end{cases}$
また，
$\vec{\mathrm{AB}}\cdot\vec{\mathrm{OP}}=\left(\vec{\mathrm{OB}}-\vec{\mathrm{OA}}\right)\cdot\vec{\mathrm{OP}}=3\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2+x\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2-\left(3+x\right)\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}+y\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}-y\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}=5x-7y+15 \\ \vec{\mathrm{AC}}\cdot\vec{\mathrm{OP}}=\left(\vec{\mathrm{OC}}-\vec{\mathrm{OA}}\right)\cdot\vec{\mathrm{OP}}=3\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2+y\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|^2-x\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}+x\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}-\left(3+y\right)\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}=-4x+2y+6$
であるから，
$\begin{cases} \vec{\mathrm{AB}}\cdot\vec{\mathrm{OP}}=0 \\ \vec{\mathrm{AC}}\cdot\vec{\mathrm{OP}}=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 5x-7y+15=0 \\ -4x+2y+6=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=4 \\ y=5 \end{cases}$ ……(答)

〇 $\vec{\mathrm{AH}}$ (セ～タについて)
$\vec{\mathrm{OD}}=-\vec{\mathrm{OG}}=-\frac{1}{3}\left(\vec{\mathrm{OA}}+\vec{\mathrm{OB}}+\vec{\mathrm{OC}}\right) \\ \therefore\vec{\mathrm{DH}}=\vec{\mathrm{AH}}-\vec{\mathrm{AD}}=\vec{\mathrm{AH}}-\vec{\mathrm{OD}}+\vec{\mathrm{OA}}=\vec{\mathrm{AH}}+\frac{1}{3}\left(4\vec{\mathrm{OA}}+\vec{\mathrm{OB}}+\vec{\mathrm{OC}}\right)\Leftrightarrow\vec{\mathrm{AH}}=\vec{\mathrm{DH}}-\frac{1}{3}\left(4\vec{\mathrm{OA}}+\vec{\mathrm{OB}}+\vec{\mathrm{OC}}\right)$
ここで，前問の結果から，
$\vec{\mathrm{OP}}=-3\vec{\mathrm{OA}}+4\vec{\mathrm{OB}}+5\vec{\mathrm{OC}}$
であるから，
$\vec{\mathrm{AH}}=t\vec{\mathrm{OP}}-\frac{1}{3}\left(4\vec{\mathrm{OA}}+\vec{\mathrm{OB}}+\vec{\mathrm{OC}}\right)\bigm=t\left(-3\vec{\mathrm{OA}}+4\vec{\mathrm{OB}}+5\vec{\mathrm{OC}}\right)-\frac{1}{3}\left(4\vec{\mathrm{OA}}+\vec{\mathrm{OB}}+\vec{\mathrm{OC}}\right)\bigm=-\frac{1}{3}\left(9t+4\right)\vec{\mathrm{OA}}+\frac{1}{3}\left(12t-1\right)\vec{\mathrm{OB}}+\frac{1}{3}\left(15t-1\right)\vec{\mathrm{OC}}$ ……(答)

〇 $t$ の値(チについて)
前問の結果を使えば，
$\vec{\mathrm{AH}}=\vec{\mathrm{OH}}-\vec{\mathrm{OA}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OH}}=\vec{\mathrm{OA}}+\vec{\mathrm{AH}}=-\frac{1}{3}\left(9t+1\right)\vec{\mathrm{OA}}+\frac{1}{3}\left(12t-1\right)\vec{\mathrm{OB}}+\frac{1}{3}\left(15t-1\right)\vec{\mathrm{OC}}$
点Hが平面 $\alpha$ 上にあるとき， $\vec{\mathrm{OA}}$ ， $\vec{\mathrm{OB}}$ ， $\vec{\mathrm{OC}}$ の係数の和が１となるので，
$\frac{1}{3}\left(9t+1\right)+\frac{1}{3}\left(12t-1\right)+\frac{1}{3}\left(15t-1\right)=1\Leftrightarrow t=\frac{1}{3}$ ……(答)

(3)
点Dから平面 $\alpha$ に下した垂線の長さは，前問の結果より， $\left|\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OP}}\right|$ と等しい．
$\left|\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OP}}\right|=\frac{1}{3}\sqrt{\vec{\mathrm{OP}}\cdot\vec{\mathrm{OP}}}=\frac{1}{3}\sqrt{\left(-3\vec{\mathrm{OA}}+4\vec{\mathrm{OB}}+5\vec{\mathrm{OC}}\right)\cdot\left(-3\vec{\mathrm{OA}}+4\vec{\mathrm{OB}}+5\vec{\mathrm{OC}}\right)}=2\sqrt{r^2-5}$
よって，求める体積は，これまでの結果をあわせると，
$\frac{1}{3}\cdot\triangle\mathrm{ABC}\cdot\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OP}}=13\cdot3\cdot2\sqrt{r^2-5}=2\sqrt{r^2-5}$ ……(答)