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2018年早稲田大学理工数学|過去問徹底研究大問1

2019.09.06

早稲田大学理工過去問徹底研究　2018年　大問1 方針の立て方 (1) 実際にP，A，Bの位置関係を図に描いてみると解法を得られる．「３点を結ぶと三角形をなす」ことと，「３点が一直線上にない」ことが同値であることは頻出のためおさえておくこと． (2) 前問と同様にP，A，Bの位置関係を図に描いてみる

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早稲田大学理工過去問徹底研究　2018年　大問1

方針の立て方

(1)
実際にP，A，Bの位置関係を図に描いてみると解法を得られる．「３点を結ぶと三角形をなす」ことと，「３点が一直線上にない」ことが同値であることは頻出のためおさえておくこと．

(2)
前問と同様にP，A，Bの位置関係を図に描いてみると，ABを底辺と見ると都合がいいことが分かる．複素共役な２つの複素数は，複素数平面上では実軸対称となることは，複素数と図形の融合問題では頻出の考え方のためおさえておくこと．

(3)
外心の定義と外心の作図の仕方を考えれば解法を得られる．

解答例

(1)
３次方程式 $\left(x-p\right)\left(x^2+qx+r\right)=0$ の解は， $x=p,\alpha,\beta$ の３つ．
３点P，A，Bが三角形をなすには，３点P，A，Bが一直線上になければ必要十分．そのためには， $\alpha,\beta$ が虚数解であり( $\alpha,\beta$ が実数解ならば， $p$ が実数であるため，３点P，A，Bが一直線上に並んでしまう)，かつ $\alpha,\beta$ の実部が $p$ でなければ必要十分．
$x^2+qx+r=0$ を解くと， $x=\frac{-q\pm\sqrt{q^2-4r}}{2}$ であるから，求める条件は，
$\begin{cases} q^2-4r<0 \\ \frac{-q}{2}\neq p \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} q^2-4r<0 \\ q\neq-2p \end{cases}$ ……(答)

(2)

３点P，A，Bの位置関係は上図の通り．
$q^2-4r0$ ( $\because$ (1))より， $\left|p^2+pq+r\right|=p^2+pq+r$
$\therefore R=\frac{p^2+pq+r}{\left|2p+q\right|}$ ……(答)

(3)
三角形の外接円の中心は，各辺の垂直二等分線の交点である．
辺ABの垂直二等分線は，実軸である．よって，求める中心Qは $x$ ( $x$ は実数)とおける．QとP，QとAの距離が等しいことより，
$\left|p-x\right|=\sqrt{\left(x+\frac{q}{2}\right)^2\left(-\frac{\sqrt{4r-q^2}}{2}\right)^2}$
が成り立ち，これを解くと， $x=\frac{p^2-r}{2p+q}$ ……(答)
また，半径 $R$ は，
$R=\left|p-x\right|=\left|p-\frac{p^2-r}{2p+q}\right|=\left|\frac{p^2+pq+r}{2p+q}\right|=\frac{\left|p^2+pq+r\right|}{\left|2p+q\right|}$
$p^2+pq+r=\left(p+\frac{q}{2}\right)^2+\frac{4r-q^2}{4}\geqq\frac{4r-q^2}{4}>0$ ( $\because$ (1))より， $\left|p^2+pq+r\right|=p^2+pq+r$
$\thereforeR=\frac{p^2+pq+r}{\left|2p+q\right|}$ ……(答)

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2018年早稲田大学理工数学|過去問徹底研究大問5

2019.09.06

早稲田大学理工過去問徹底研究　2018年大問5 方針の立て方 (1)と(2)は実際に簡単な図を描くことで解答を得る． (3)前問(1)と(2)で見た通り頂点の選び方で共通部分が変わる．頂点の選び方は70通りあるが，回転での対称性を考慮すれば，考えるべきパターン数はもっと減るのではと考え，一先ず虱潰

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早稲田大学理工過去問徹底研究　2018年大問5

方針の立て方

(1)と(2)は実際に簡単な図を描くことで解答を得る．
(3)前問(1)と(2)で見た通り頂点の選び方で共通部分が変わる．頂点の選び方は70通りあるが，回転での対称性を考慮すれば，考えるべきパターン数はもっと減るのではと考え，一先ず虱潰しで考えてみる．すると実際，考えるべきパターン数は多くならないため，数え上げる．

解答例

(1)
立方体の各面の中心を頂点とする立体となる．
よって，正八面体……(答)

(2)
$\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{7}$ と $\mathrm{A}_\mathrm{4}\mathrm{A}_\mathrm{6}$ が立方体の中心で交わるのみ．
よって，点……(答)

(3)
４点の頂点の選び方は，全部で $_{8}\mathrm{C}_{4}=70$ 通り．
以下では，１つの面に着目(図では面 $\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}\mathrm{A}_\mathrm{3}\mathrm{A}_\mathrm{4}$ )し，その面から何個の頂点が選ばれているかで場合分けする．選ばれた頂点を●で表すことにする．
(ⅰ)４個の場合

上図のような場合，共通部分はない．
４つの●が集合する面の選び方を考えれば，回転して左図のパターンになるものは全部で６通りあることが分かる．
(ⅱ)３点の場合
(ⅱ―ⅰ)

上図のような場合，共通部分はない．
上図の $\mathrm{A}_\mathrm{2}$ のように，隣り合うすべての頂点が選ばれている点の配置を考えれば，回転して上図のパターンになるものは全部で８通りあることが分かる．
(ⅱ―ⅱ)

上図のような場合，共通部分は１点となる．
上図の $\mathrm{A}_\mathrm{2}\mathrm{A}_\mathrm{3}$ or $\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}$ のような線分の配置を考えれば，回転して上図のどちらかのパターンになるものは全部で24通りあることが分かる．
(ⅱ―ⅲ)

上図のような場合，共通部分は立体図形となる．
上図の $\mathrm{A}_\mathrm{8}$ のように，隣り合うすべての頂点が選ばれていない点の配置は８通りあり，３点が集合する面がどの配置にあるかで３通りあるため，回転して上図のパターンになるものは全部で24通りあることが分かる．
(ⅲ)２点の場合
(ⅲ―ⅰ)

上図のような場合，共通部分は線分となる．
回転して上図のパターンになるものは全部で6通りある．
(ⅲ―ⅱ)

上図のような場合，共通部分は立体図形となる．
回転して上図のパターンになるものは全部で２通りある．
以上より，
$\begin{cases} p=\frac{6+8}{70}=\frac{1}{5} \\ q_0=\frac{24}{70}=\frac{12}{35} \\ q_1=\frac{6}{70}=\frac{3}{35} \\ q_2=\frac{0}{70}=0 \\ q_3=\frac{24+2}{70}=\frac{13}{35} \end{cases}$ ……(答)

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早稲田大学理工学部数学|対策,勉強法, 過去問,入試頻出分野,合格する考え方とは？

2019.09.05

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早稲田大学理工学部の数学の対策

このブログでは、早稲田大学理工学部の数学に関する入試対策（出題傾向と勉強法）をご紹介していきます。
基礎知識0の状態から合格するためには何をどのようにしたら良いのかを参考書の使い方まで徹底解説！

[toc]

早稲田理工の配点

外国語：120/360点　時間90分
数学：120/360点
理科(2科目)：120/360点　各60点

[su_box title="早稲田大学理工学部科目別対策" radius="1"]▶英語対策　　 ▶数学対策　　 ▶化学対策　　 ▶物理対策 ▶生物対策
[/su_box]

早稲田大学理工学部の問題形式

大問は5題で、それぞれ小問に分かれています。前の小問の結果をふまえて次の小問を解くことが多く、小問同士を結びつける論理力が必要となっています。

理工学部の数学は原則すべて記述式解答で、結果だけでなくそれに至るまでの過程を書く記述力が求められます。全て解き切るのは時間的に厳しいので、部分的にでも確実に答えられる問題を探して解いていくことが大切になります。

早稲田大学理工学部頻出分野

微積は毎年のように出題され、場合の数・確率、数列は隔年で出されています。
また近年整数の出題も増えているので注意が必要です。
簡単な年は典型問題が並びますが、難しい年になるとなかなか骨のある問題が並びます

＜微積＞2017年度の大問２は簡単でしたが、2016年度の大問５は2016年度のセットのなかでは一番難しく、絶対取るべきかどうかというのは判断しにくいです。
しかし、誘導が丁寧なので難しくても（2）くらいまでは解き、半答は取りたいところです。
難しそうだからといって避けずに、解けるところまで粘ってみましょう。

＜場合の数・確率＞数列と隔年で出題されていますが、さほど難しくないですし、特徴があるわけではないので、神経質になって対策する必要はありません。ｎ絡みの確率は漸化式、Σ、反復試行など多岐に渡りますから柔軟に対応できるようにしておくと本番も落ち着いて試験に挑めると思います。

＜立体＞2016、2017と二年連続で立体図形が出題されていて、来年度以降も大問で出る可能性は十分にあります。
空間は苦手にしている人が多く、差がつきやすいため難関大では好まれます。
空間は座標で押すoｒベクトルで攻めるの2つが大まかな方針ですから適宜図形的考察を加えたり、適切な断面で平面に落とし込んだりして、誘導をうまく汲み取って解答していきましょう。

＜複素平面＞こちらも課程が変わった年から連続して出題され、対策が必要不可欠な分野でしょう。難関大では複素平面の人気が高く、ほとんどの大学で出題されています。そのため他大学を受けるにおいても複素平面の学習はプラスに働くこと間違いなしでしょう。

早稲田理工の数学のための勉強法

どのようにしたら、早稲田理工学部の数学を解くことができるレベルに達するのかを具体的におつたえしていきます。そもそもの数学力が足りない人は、こちらの数学の勉強法概論をまずは読んだ方が良いでしょう。
[nlink url="https://hiroacademia.jpn.com/blog/program/rikeisugaku-benkyo/"]

典型問題を確実に解くことのできる練習を！

易の年、難の年があるものの、大問５つのなかで見たことあるな〜という問題が２つくらいはあります。
難の年は実質簡単な問題が解けるかどうかで数学で差がつくので、巷に出回っている問題集の典型的なレベルは確実に解けるようにしておきましょう。
過去問演習する際、簡単な年なら3完２半、難しい年なら２完３半を最低ラインに据えると良いでしょう。

自分なりの作戦を！

大問が5題で120分であるので、1問あたりにかけられる時間は単純計算で24分です。
問題を解く際に計算に必要な時間は多いため、落ち着いて計算を進めましょう。
検算は必ず行い、計算ミスは確実に防ぎましょう。
簡単な問題は15分程度で終わらせて、少し難し目の問題に傾斜的に時間を掛けるなど臨機応変に対応しましょう。
問題が始まったらまず全体を俯瞰して自分なりの作戦を立ててから解き始めると、大きな失敗は免れますし、良い流れに乗れるのでオススメです！

記述力をつける

ただ解くのではなく、途中式や導出過程、細かい条件まで含めた解答を作りましょう。
基本的な問題演習をしているうちから実際の入試を意識して解答を作ることで、記述力を早いうちから身につけることができます。
特に証明問題や場合分けを要する問題では記述力が重要となります。

証明問題で論理の飛躍があったり、場合分けを書き間違うとそれだけで減点されてしまいます。
自己採点の際も、解答と照らし合わせながら細かいミスがないかどうかまで確認しましょう。
また、図示問題に限らず関数や平面・立体図形が登場する問題もあるので、自分で分かりやすい図を描くことが大事になります。

計算力をつける

大問が5題で120分であるので、1問あたりにかけられる時間は単純計算で24分です。
問題を解く際に計算に必要な時間は多いため、迅速かつ正確な計算力が必要となります。
積分計算などはかなり時間を要することが多いため、繰り返し練習することで計算力を身につけましょう。

実際の問題に慣れる

問題演習に慣れてきたら、実際に過去問に取り組みましょう。この際、本番通りの時間で解くことが大切です。数学ではどの分野が何問目に出るかが分からないので、時間を測って問題演習をし、自分が解きやすいと思った問題から解き始めることが重要です。

また、先述の通り大問1問あたりにかけられる時間は24分と限られているので、あまり1つの大問を完答することにこだわりすぎるとかえって点数が下がってしまいます。
大問前半の比較的問題を確実に解答することで、得点を伸ばしていきましょう。

ただし、時間内に解けなかった問題もその後に問題演習として解くことも大事です。時間内に解けなかった問題は必然的に苦手な問題であるため、苦手をつぶす意味でも解けなかった問題の復習をしましょう。

早稲田理工過去問解説(随時更新)

年度	難易度
2019年		大問1 大問2 大問3 大問4 大問5
2018年		大問1 大問2 大問3 大問4 大問5
2017年		大問1 大問2 大問3 大問4 大問5
2016年		大問1 大問2 大問3 大問4 大問5
2015年		大問1 大問2 大問3 大問4 大問5

圧勝している人はこう考える！

実際に問題を見て、問題を解くことができる人はどのように考えているのかを確認してください。できない人は上記の法則を利用することができていません。実際に過去問を用意して考えてみましょう。2016年度理工学部数学大問Ⅱからの出題です。

正四角錐と、それに内接する球という立体図形の問題です。

(1)立体図形のままだと分かりにくいので、断面図を描きましょう。（図１：全体図、図2：断面図）

このような断面図にすると、内接する球の半径は、二等辺三角形△PMNに内接する円の半径と同じであることがわかります(Nは線分CDの中点)。ここで、直線と円の接点において、接点と円の中心を結ぶ線分は直線に垂直になります。よって、球の半径をrとすると、△PMNの面積は

$\frac{1}{2} \times 2a \times r + \frac{1}{2} \times b \times r = \big(a+b\big) \times r$

で表されます。また、△PMNはMNを底辺とする二等辺三角形であるので、MNを底辺とした時、高さは

$\sqrt{a ^{2}+ b^{2}}$

になります。よって、△PMNの面積は

$\frac{1}{2} \times 2a \times \sqrt{a ^{2}+ b^{2}} = a \sqrt{a ^{2}+ b^{2}}$

のようになります。この二通りで表された△PMNの面積は等しいので、

$\big(a+b\big) r = a \sqrt{b^{2} - a^{2}}$

の式が成り立ちます。よって、球の半径は

$r = \frac{{a \sqrt{b^{2} - a^{2}} }}{a+b}$

で表されます。

(2)球の表面積は、半径をrとすると $4 \pi r^{2}$ で表されます。また、正四角錐PABCDの表面積は、△PAB+△PBC+△PCD+△PDA+正方形ABCDの面積で表わされるので、

$\big( \frac{1}{2} \times 2a \times b\big) \times 4 +2a\times 2a =4ab +4a^{2}$

のようになります。よって、求める式は

$\frac{4 \pi r^{2}}{4ab+4a^{2}} = \frac{4 \pi}{4a(b+a)} \times \frac{a^{2} \big(b^{2}-a^{2}\big) }{ \big(a+b\big) ^{2} } \\= \frac{\pi a^{2} \big(b^{2}-a^{2}\big) }{ \big(a+b\big) ^{3} } \\ = \frac{\pi a^{2} \big(b-a\big) }{ a\big(a+b\big) ^{2} } \\= \frac{\pi \big( \frac{b}{a}-1 \big) }{ \big(1+ \frac{b}{a} \big) ^{2} }\\= \frac{\pi \big( x-1 \big) }{ \big(1+ x \big) ^{2} }$

のようになります。

(3)(2)の式が最大値をとるとき、 $f(x)=\frac{\pi \big( x-1 \big) }{ \big(1+ x \big) ^{2} }$ とすると、

$f^{'}(x)=\frac{\pi(3-x)}{(x+1)^{3}}$

のようになります。このとき、 $f^{'}(x)=0$ のときのxの値はx=3となります。よって、このときの正四角錐PABCDの体積は

$\frac{8 \sqrt{2} }{3} a^{3}$

のようになります。

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2016年慶応義塾大学総合政策数学|過去問徹底研究大問6

2019.09.04

2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問6 方針の立て方簡単に解ける公式や規則性等は見つけられないので，地道に書き出して考える．(2)でさえ高々16通りを考えればよいのだから，綺麗に解くことに時間を割くよりは，ケアレスミスにだけ気を付けてしらみつぶししたほうがコスパが良い．解答例 (6

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2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問6

方針の立て方

簡単に解ける公式や規則性等は見つけられないので，地道に書き出して考える．(2)でさえ高々16通りを考えればよいのだから，綺麗に解くことに時間を割くよりは，ケアレスミスにだけ気を付けてしらみつぶししたほうがコスパが良い．

解答例
(65)(66)…… $\frac{1}{2}$
(67)(68)…… $\frac{1}{2}$
(69)(70)…… $\frac{1}{2}$
(71)(72)(73)(74)…… $\frac{5}{8}$
(75)(76)(77)(78)…… $\frac{3}{8}$
(79)(80)(81)(82)…… $\frac{3}{8}$
(83)(84)(85)(86)…… $\frac{1}{8}$

解説

(1)
政党Aについて：YNY，YYNとY↔Nで入れ替えた４通り． $\therefore\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ ……(答)
政党Bについて：NYY，YYNとY↔Nで入れ替えた４通り． $\therefore\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ ……(答)
政党Cについて：NYY，YNYとY↔Nで入れ替えた４通り． $\therefore\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ ……(答)

(2)
YとNの並びを $\mathrm{AB}\mathrm{C}_1\mathrm{C}_2$ の順で表す．
政党Aについて：YYYN，NYYN(Y↔Nの入れ替えは含まない)と，YYNY，YNYY，YNYN，YYNNおよびY↔Nで入れ替えた計10通り． $\therefore\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$ ……(答)
政党Bについて：YYNY，YNNY(Y↔Nの入れ替えは含まない)と，NYYY，YYNNおよびY↔Nで入れ替えた計6通り． $\therefore\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$ ……(答)
政党 $\mathrm{C}_1$ について：YNYY，YNNY(Y↔Nの入れ替えは含まない)と，NYYY，YNYNおよびY↔Nで入れ替えた計６通り． $\therefore\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$ ……(答)
政党 $\mathrm{C}_2$ について：NYYY，NYYN(Y↔Nの入れ替えは含まない)の２通り． $\therefore\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$ ……(答)

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2016年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問5

2019.09.04

2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問5 方針の立て方円形の図形と接するときは，まず中心と接点を結ぶ線を描くことを典型解法としておさえよう．そして，中心と接点を結んだ線を活かすためには，中心とさらにどこか１点を結ぶことが必要となると考えられる．OFを引くと，中心，点E，点O，円と円弧の

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2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問5

方針の立て方

円形の図形と接するときは，まず中心と接点を結ぶ線を描くことを典型解法としておさえよう．そして，中心と接点を結んだ線を活かすためには，中心とさらにどこか１点を結ぶことが必要となると考えられる．OFを引くと，中心，点E，点O，円と円弧の接点の４点を通って使い道が広いと考え，この線を引くことにする．そうすると，OF $=4$ が成り立つので，これを最終的な等式に使うと考え，必要な情報を集める．

解答例
(55)(56)…… $36$
(57)(58)(59)(60)…… $\frac{02}{13}$
(61)(62)…… $10$
(63)(64)…… $13$

解説

(1)
大円の半径の長さを $x$ 寸とおく．また，大円，中円，小円の中心を，それぞれ $\mathrm{O},\mathrm{O}^\prime,\mathrm{O}^{\prime\prime}$ とする．

各円の半径を考えることで， $\mathrm{O}\mathrm{O}^\prime=9+x,\mathrm{O}\mathrm{O}^{\prime\prime}=4+x,\mathrm{O}^\prime\mathrm{O}^{\prime\prime}=13$ と分かる．
よって，三平方の定理から，図の点線の $\mathrm{O}^{\prime\prime}$ より左側の線分の長さは12，右側の線分の長さは $4\sqrt x$ と分かる．
よって，点線全体の長さは $12+4\sqrt x$ であり，三平方の定理から $\mathrm{O}\mathrm{O}^\prime$ の長さは， $\sqrt{\left(x-9\right)^2+\left(12+4\sqrt x\right)^2}$ と分かる．これと $9+x$ が等しいため，
$9+x=\sqrt{\left(x-9\right)^2+\left(12+4\sqrt x\right)^2}$
が成り立つ．これを解くと， $x=36$ ……(答)

(2)

上図のように，線分ADと線分CBの交点をEとし，直線OEと弧ABとの交点をFとする．また，円の中心とEを結んだ線分の長さを $y$ 寸とし，円の半径の長さを $x$ 寸とする．
$\triangle$ OBCに対して余弦定理を用いると，
${\rm BC}^2={\rm OC}^2+{\rm OB}^2-2\cdot\mathrm{OC}\cdot\mathrm{OB}\cdot\cos{\angle\mathrm{AOB}}\Leftrightarrow{\rm BC}^2=1^2+4^2-2\cdot1\cdot4\cdot\frac{5}{8}=12$
$\therefore$ BC $=2\sqrt3$
角の二等分線の定理よりCE $\colon$ EB $=1\colon4$ であることから，
CE $=\frac{2\sqrt3}{5}$ ,EB $=\frac{8\sqrt3}{5}$
$\triangle$ OCEに対して余弦定理を用いると，
${\mathrm{CE}}^2={\mathrm{OC}}^2+{\mathrm{OE}}^2-2\cdot\mathrm{OC}\cdot\mathrm{OE}\cdot\cos{\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOB} }$
$\cos{\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOB}}=\sqrt{\frac{1+\cos{\angle\mathrm{AOB}}}{2}}=\frac{\sqrt{13}}{4}$ より，
${\mathrm{CE}}^2={\mathrm{OC}}^2+{\mathrm{OE}}^2-2\cdot\mathrm{OC}\cdot\mathrm{OE}\cdot\cos{\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOB}}\Longleftrightarrow\left(\frac{2\sqrt3}{5}\right)^2=1^2+{\mathrm{OE}}^2-2\cdot1\cdot\mathrm{OE}\cdot\frac{\sqrt{13}}{4}$
これを解くと，
OE $=\frac{2\sqrt{13}}{5},\frac{\sqrt{13}}{10}$
OE $>1$ より，
OE $=\frac{2\sqrt{13}}{5}$
ここで， $\angle$ CEO $=\angle$ DEO $=\angle$ AEFより，
$\sin{\angle\mathrm{AEF}}=\sin{\angle\mathrm{CEO}}$
正弦定理より，
$\frac{1}{\sin{\angle\mathrm{CEO}}}=\frac{\frac{2\sqrt3}{5}}{\sin{\angle\mathrm{COE}}}\Leftrightarrow\sin{\angle\mathrm{CEO}}=\frac{5\sqrt{1-{\mathrm{cos}}^2\angle\mathrm{COE} }}{2\sqrt3}=\frac{5\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{13}}{4}\right)^2}}{2\sqrt3}=\frac{5}{8}$
であるから，
$y=\frac{x}{\sin{\angle\mathrm{AEF}}}=\frac{8}{5}x$
線分OFの長さは４寸だから，
$\mathrm{OE}+x+y=4\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{13}}{5}+x+\frac{8}{5}x=4\Leftrightarrow x=\frac{2}{13}\left(10-\sqrt{13}\right)$ ……(答)

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2016年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問4

2019.09.04

2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問4 方針の立て方問題文で「２つの曲線が交点Pで接するとは，Pにおける接線が一致することを意味し」という部分に着目し，これに沿って考える．つまり，接点の座標をおいて，その点での２曲線の接線をそれぞれ求めて，その２つの接線が一致する条件を書き下す．面

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2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問4

方針の立て方

問題文で「２つの曲線が交点Pで接するとは，Pにおける接線が一致することを意味し」という部分に着目し，これに沿って考える．つまり，接点の座標をおいて，その点での２曲線の接線をそれぞれ求めて，その２つの接線が一致する条件を書き下す．
面積の方は典型的な問題であるため特筆事項なし．

解答例
(43)(44)(45)(46)…… $\frac{-3}{04}$
(47)(48)(49)(50)…… $\frac{13}{04}$
(51)(52)(53)(54)…… $\frac{08}{03}$

解説

〇 $C$ と $C_1$ の接点の $x$ 座標と $C$ と $C_2$ の接点の $x$ 座標((43)～(50))について
$C$ と $C_1$ の接点の $x$ 座標を $x=\alpha$ ， $C$ と $C_2$ の接点の $x$ 座標を $x=\beta$ とする．
$C$ について， $y^\prime=x+a$ である．
よって， $x=\alpha$ ( $y=\frac{1}{2}\alpha^2+a\alpha+b$ )での接線は $y=\left(\alpha+a\right)x-\frac{1}{2}\alpha^2+b$ …①であり， $x=\beta$ ( $y=\frac{1}{2}\beta^2+a\beta+b$ )での接線は $y=\left(\beta+a\right)x-\frac{1}{2}\beta^2+b$ …②である．
$C_1$ について， $y^\prime=2x$ である．
よって， $x=\alpha$ ( $y=\alpha^2$ )での接線は $y=2\alpha x-\alpha^2$ …③である．
$C_2$ について， $y^\prime=2x-4$ である．
よって， $x=\beta$ ( $y=\beta^2-4\beta+5$ )での接線は $y=\left(2\beta-4\right)x-\beta^2+5$ …④である．
①と③，②と④が一致すれば必要十分のため，係数比較をすると，
$\begin{cases} \alpha+a=2\alpha \\ -\frac{1}{2}\alpha^2+b=-\alpha^2 \end{cases}$
$\begin{cases} \beta+a=2\beta-4 \\ -\frac{1}{2}\beta^2+b=-\beta^2+5 \end{cases}$
となる．これを解くと，
$\begin{cases} \alpha=-\frac{3}{4} \\ \beta=\frac{13}{4} \\ a=-\frac{3}{4} \\ b=-\frac{9}{32} \end{cases}$
よって，
$C$ と $C_1$ の接点の $x$ 座標は， $-\frac{3}{4}$ ……(答)
$C$ と $C_2$ の接点の $x$ 座標は， $\frac{13}{4}$ ……(答)

〇面積((51)～(54))について
$C_2$ と $C_2$ の交点は，
$\begin{cases} y=x^2 \\ y=x^2-4x+5 \end{cases}$
を解くことで， $\left(\frac{5}{4},\frac{25}{16}\right)$ と分かる．
よって，求める面積は，
$\int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{5}{4}}\left\{x^2-\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{4}x-\frac{9}{32}\right)\right\}dx+\int_{\frac{5}{4}}^{\frac{13}{4}}\left\{\left(x^2-4x+5\right)-\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{4}x-\frac{9}{32}\right)\right\}dx=\int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{5}{4}}\left(\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{4}x+\frac{9}{32}\right)dx+\int_{\frac{5}{4}}^{\frac{13}{4}}\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{13}{4}x+\frac{169}{32}\right)dx=\left[\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{8}x^2+\frac{9}{32}x\right]_{-\frac{3}{4}}^{\frac{5}{4}}+\left[\frac{1}{6}x^3-\frac{13}{8}x^2+\frac{169}{32}x\right]_{\frac{5}{4}}^{\frac{13}{4}}=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$ ……(答)

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2016年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問3

2019.09.04

2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問3 方針の立て方は倍角の公式を用いればのみで表せるため，さえ求められれば良いのだと判断する．本解冒頭ののように，(は自然数)で与えられている場合に分母を払うのは典型的な処理であるためおさえておくこと．後は，加法定理で分解していけば求まる．解答

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2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問3

方針の立て方

$\tan{2\alpha}$ は倍角の公式を用いれば $\tan{\alpha}$ のみで表せるため， $\tan{\alpha}$ さえ求められれば良いのだと判断する．
本解冒頭の $\alpha=\frac{\pi}{5}\Leftrightarrow5\alpha=\pi$ のように， $\alpha=\frac{m\pi}{n}$ ( $n,m$ は自然数)で与えられている場合に分母を払うのは典型的な処理であるためおさえておくこと．
後は，加法定理で分解していけば求まる．

解答例
(35)(36)……10
(37)(38)……02
(39)(40)……05
(41)(42)……05

解説

$\alpha=\frac{\pi}{5}\Leftrightarrow5\alpha=\pi$ より， $\tan{5\alpha}=\tan{\pi}=0$
また，加法定理を用いれば，
$\tan{5\alpha}=\tan{\left(3\alpha+2\alpha\right)}=\frac{\tan{3\alpha}+\tan{2\alpha}}{1-\tan{3\alpha}\tan{2\alpha}}$
であるから，
$\tan{5\alpha}=0\Leftrightarrow\tan{3\alpha}+\tan{2\alpha}=0$
加法定理より，
$\tan{3\alpha}=\tan{\left(2\alpha+\alpha\right)}=\frac{\tan{2\alpha}+\tan{\alpha}}{1-\tan{2\alpha}\tan{\alpha}}$
$\therefore\tan{3\alpha}+\tan{2\alpha}=0\Leftrightarrow\frac{\tan{2\alpha}+\tan{\alpha}}{1-\tan{2\alpha}\tan{\alpha}}+\tan{2\alpha}=0\Leftrightarrow\tan^22\alpha\tan{\alpha}-2\tan{2\alpha}-\tan{\alpha}=0$
倍角の公式より，
$\tan{2\alpha}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2\alpha}$
$\therefore\tan^22\alpha\tan{\alpha}-2\tan{2\alpha}-\tan{\alpha}=0\Leftrightarrow\left(\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2\alpha}\right)^2\tan{\alpha}-\frac{4\tan{\alpha}}{1-\tan^2\alpha}-\tan{\alpha}=0\Leftrightarrow\tan^4\alpha-10\tan^2\alpha+5=0$
これを解くと，
$\tan^2\alpha=5\pm2\sqrt5$
であるが， $\tan{\frac{\pi}{6}}<\tan{\alpha}=\tan{\frac{\pi}{5}}<\tan{\frac{\pi}{4}}$ より， $\frac{1}{\sqrt3}<\tan{\alpha}<1$ より，
$\tan^2\alpha=5-2\sqrt5$
であり，
$\tan{\alpha}=\sqrt{5-2\sqrt5}$
$\therefore\tan{2\alpha}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2\alpha}=\frac{2\sqrt{5-2\sqrt5}}{1-\left(5-2\sqrt5\right)}=\frac{\sqrt{5-2\sqrt5}}{\sqrt5-2}=\sqrt{5-2\sqrt5}\cdot\left(\sqrt5+2\right)=\sqrt5\cdot\sqrt{\left(\sqrt5-2\right)\left(\sqrt5+2\right)}\cdot\sqrt{\sqrt5+2}=\sqrt5\cdot\sqrt{\sqrt5+2}=\sqrt{5+2\sqrt5}$
$\therefore\tan{\alpha}+\tan{2\alpha}=\sqrt{5-2\sqrt5}+\sqrt{5-2\sqrt5}\cdot\left(\sqrt5+2\right)=\left(\sqrt5+3\right)\sqrt{5-2\sqrt5}=\sqrt{\left(\sqrt5+3\right)^2\left(5-2\sqrt5\right)}=\sqrt{10+2\sqrt5}$ ……(答)
$\tan{\alpha}\tan{2\alpha}=\sqrt{5-2\sqrt5}\cdot\sqrt{5+2\sqrt5}=\sqrt{\left(5-2\sqrt5\right)\left(5+2\sqrt5\right)}=\sqrt5$ ……(答)

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2016年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問2

2019.09.04

2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問2 方針の立て方一文字固定法の典型的な問題である．題意を満たす点の座標を求める問題のため，座標を文字でおくのが定石である．後は，２乗和を実際に計算し，一文字固定法の解法を取れば良い．(2)では，本当に「”三角形の各辺”からの距離」という題意を満た

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2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問2

方針の立て方

一文字固定法の典型的な問題である．
題意を満たす点の座標を求める問題のため，座標を文字でおくのが定石である．後は，２乗和を実際に計算し，一文字固定法の解法を取れば良い．(2)では，本当に「”三角形の各辺”からの距離」という題意を満たしているか(”直線との距離”と”三角形の各辺からの距離”は必ずしもイコールになるとは限らない)を確認せねばならないことに注意．

解答例
(19)(20)(21)(22)…… $\frac{11}{05}$
(23)(24)(25)(26)…… $\frac{27}{05}$
(27)(28)(29)(30)…… $\frac{01}{04}$
(31)(32)(33)(34)…… $\frac{51}{20}$

解説

(1)
$\begin{cases} x+2y-4=0 \\ 2x-y-2=0 \\ x-y+5=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} y=-\frac{1}{2}x+2 \\ y=2x-2 \\ y=x+5 \end{cases}$
交点を考えると，
$y=-\frac{1}{2}x+2$ と $y=2x-2$ の交点は， $\left(\frac{8}{5},\frac{6}{5}\right)$
$y=2x-2$ と $y=x+5$ の交点は， $\left(7,12\right)$
$y=x+5$ と $y=-\frac{1}{2}x+2$ の交点は， $\left(-2,3\right)$
図示すると，

$xy$ 平面上の点を $\left(x,y\right)$ とおく．この点と三角形の各頂点との距離の２乗和は，
$\left\{\left(\frac{8}{5}-x\right)^2+\left(\frac{6}{5}-y\right)^2\right\}+\left\{\left(-2-x\right)^2+\left(3-y\right)^2\right\}+\left\{\left(7-x\right)^2+\left(12-y\right)^2\right\}=3x^2+3y^2-\frac{66}{5}x-\frac{162}{5}y+210=3\left(x-\frac{11}{5}\right)^2+3\left(y-\frac{27}{5}\right)^2+108$
よって，２乗和が最小となるのは， $\left(x,y\right)=\left(\frac{11}{5},\frac{27}{5}\right)$ のとき……(答)

(2)
$xy$ 平面上の点を $\left(x,y\right)$ とおく．この点と三角形の各辺との距離の２乗和は，点と直線の距離の公式より，
$\frac{\left(x+2y-4\right)^2}{5}+\frac{\left(2x-y-2\right)^2}{5}+\frac{\left(x-y+5\right)^2}{2}=\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}y^2-xy+\frac{9}{5}x-\frac{37}{5}y+\frac{33}{2}=\frac{3}{2}\left(x-\frac{1}{3}y+\frac{3}{5}\right)^2+\frac{4}{3}\left(y-\frac{51}{20}\right)^2+\frac{729}{100}$
よって，２乗和が最小となるのは，
$\begin{cases} x=\frac{1}{3}y-\frac{3}{5} \\ y=\frac{51}{20} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{51}{20} \end{cases}$
のときである．これは三角形の内部の点であるから，この点から各直線に下した垂線の足は，三角形の辺上にあり，題意から外れない．
よって， $\left(\frac{1}{4},\frac{51}{20}\right)$ ……(答)

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2016年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問1

2019.09.04

2016年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問1 方針の立て方 (1) 典型問題であり，特筆事項なし． (2) 実際に題意を満たす碁石の置き方をいくつか考えてみると，順番に並べていく内に，碁石の置き方が１パターンずつ減っていくことが分かり，解法を得る． (3) 正攻法で考えようとすると，意外と

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2016年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問1

方針の立て方

(1)
典型問題であり，特筆事項なし．

(2)
実際に題意を満たす碁石の置き方をいくつか考えてみると，順番に並べていく内に，碁石の置き方が１パターンずつ減っていくことが分かり，解法を得る．

(3)
正攻法で考えようとすると，意外と題意を満たす置き方が多いことに気付くので，余事象を数える方が，考えるパターン数が少なくて済むと考える．

解答例
(1)(2)……84
(3)(4)(5)(6)……1820
(7)(8)……06
(9)(10)(11)(12)……0024
(13)(14)……78
(15)(16)(17)(18)……1428

解説

(1)
$n\times n$ で考えると， $n^2$ 個の格子点の内，碁石を置く $n$ 個の点の選び方が ${_{n^2}\mathrm{C}}_n$ 通りあるので， $A_n={_{n^2}\mathrm{C}}_n$ ．
$\therefore A_3={_{3^2}\mathrm{C}}_3={_{9}\mathrm{C}}_3=84$ ……(答)
$\therefore A_4={_{4^2}\mathrm{C}}_4={_{16}\mathrm{C}}_4=1820$ ……(答)

(2)
$n\times n$ で考える．第１列から順番に，題意を満たすように碁石を１個ずつ置いていくと考えると，
第１列での碁石の置き方は $n$ 通り．
第２列での碁石の置き方は，第１列で選んだ行以外の行から選べばいいので， $n-1$ 通り．
第３列での碁石の置き方は，第１列と第２列で選んだ行以外の行から選べばいいので， $n-2$ 通り．
$\vdots$
第 $n$ 列での碁石の置き方は，第１列と第２列と……と第 $n-1$ 列で選んだ行以外の行から選べばいいので，１通り．
よって， $B_n=n\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(n-2\right)\cdot\cdots\cdots\cdot1=n!$
$\therefore B_3=3!=6$ ……(答)
$\therefore B_4=4!=24$ ……(答)

(3)
〇 $C_3$ について((13)(14)について)
余事象で考える．

題意を満たさないのは，上図のように３個の碁石が一直線に並んだとき．
上図のように縦一列に並ぶときと，他に横一列に並ぶパターンがある．
よって，題意を満たさない並べ方は６通り．
$\therefore C_3=A_3-6=84-6=78$ ……(答)
〇 $C_4$ について((15)～(18)について)
余事象で考える．

題意を満たさないのは，上図のように４個の碁石が一直線に並んだときと，他に３個の碁石が一直線に並んだとき．
４個の碁石が一直線に並ぶのは，縦一列に並ぶパターンと横一列に並ぶパターンがあり，合計で８通りある．
３個の碁石が一直線に並ぶ場合の数は，４つが一直線に並んだ状態(８通り)から，碁石を１つ選んで(４通り)他の格子点に移動させる(12通り)ことを考えると，
$8\cdot4\cdot12=384$ 通り．
$\therefore C_4=A_4-8-384=1820-8-384=1428$ ……(答)

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2017年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問6

2019.09.04

2017年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問6 方針の立て方 (1) どの工場にも自由度はないため，そのものを塊と見て考える．素直に定義に従って計算すれば，特に難しい解法の必要はない． (2) 工場の汲み上げ量が自由度を持つため，他の工場の汲み上げ量の総和とで分離して考えることにしよう．する

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2017年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問6

方針の立て方

(1)
どの工場にも自由度はないため， $\sum_{i=1}^{10}x_i$ そのものを塊と見て考える．素直に定義に従って計算すれば，特に難しい解法の必要はない．
(2)
工場 $i$ の汲み上げ量が自由度を持つため，他の工場の汲み上げ量の総和 $\sum_{k\neq i} x_k$ と $x_i$ で分離して考えることにしよう．すると， $p\left(\mathbit{x}\right)x_i$ は２文字の関数となるため一文字固定法の考え方で解いていこう．

解答例
(55)(56)(57)(58)(59)(60)(61)(62)…… $\frac{0625}{0004}$
(63)(64)(65)(66)(67)(68)(69)(70)…… $\frac{6250}{0121}$

解説

(1)
$\sum_{i=1}^{10}{p\left(\mathbit{x}\right)x_i}=\sum_{i=1}^{10}\left\{25x_i-x_i\sum_{i=1}^{10}x_i\right\}=25\sum_{i=1}^{10}x_i-\sum_{i=1}^{10}\left(x_i\sum_{i=1}^{10}x_i\right)=25\sum_{i=1}^{10}x_i-\left(\sum_{i=1}^{10}x_i\right)^2=-\left(\sum_{i=1}^{10}x_i-\frac{25}{2}\right)^2+\frac{625}{4}$
$\therefore\sum_{i=1}^{10}x_i=\frac{25}{2}<25$ のとき， $\sum_{i=1}^{10}{p\left(\mathbit{x}^\prime\right)x_i^\prime}=\frac{625}{4}$ ……(答)

(2)
$\sum_{k\neq i} x_k=A_i>0$ とすると，

となる．工場 $i$ の利益は，
$p\left(\mathbit{x}\right)x_i=25x_i-A_ix_i-x_i^2=-\left(x_i-\frac{25-A_i}{2}\right)^2+\frac{\left(25-A_i\right)^2}{4}$
$\therefore x_i^{\prime\prime}=\frac{25-A_i}{2}$ で， $p\left(\mathbit{x}^{\prime\prime}\right)x_i^{\prime\prime}=\frac{\left(25-A_i\right)^2}{4}$
ここで， $A_i=\sum_{k=1}^{10}x_k-x_i$ より， $x_i^{\prime\prime}=\frac{25-\sum_{k=1}^{10}x_k^{\prime\prime}+x_i^{\prime\prime}}{2}\Leftrightarrow x_i^{\prime\prime}=25-\sum_{k=1}^{10}x_k^{\prime\prime}$
両辺を $1\leqq i\leqq10$ で総和を取ると，左辺は $i$ に依存しないから，
$\sum_{i=1}^{10}x_i^{\prime\prime}=250-10\sum_{i=1}^{10}x_i^{\prime\prime}\Leftrightarrow\sum_{i=1}^{10}x_i^{\prime\prime}=\frac{250}{11}<25$
$\therefore p\left(\mathbit{x}^{\prime\prime}\right)=25-\sum_{k=1}^{10}x_k^{\prime\prime}=25-\frac{250}{11}=\frac{25}{11}$
$\therefore\sum_{i=1}^{10}{p\left(\mathbit{x}^{\prime\prime}\right)x_i^{\prime\prime}}=\frac{25}{11}\sum_{i=1}^{10}x_i^{\prime\prime}=\frac{25}{11}\cdot\frac{250}{11}=\frac{6250}{121}$ ……(答)