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2016年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問3

2019.09.04

2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問3 方針の立て方は倍角の公式を用いればのみで表せるため，さえ求められれば良いのだと判断する．本解冒頭ののように，(は自然数)で与えられている場合に分母を払うのは典型的な処理であるためおさえておくこと．後は，加法定理で分解していけば求まる．解答

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2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問3

方針の立て方

$\tan{2\alpha}$ は倍角の公式を用いれば $\tan{\alpha}$ のみで表せるため， $\tan{\alpha}$ さえ求められれば良いのだと判断する．
本解冒頭の $\alpha=\frac{\pi}{5}\Leftrightarrow5\alpha=\pi$ のように， $\alpha=\frac{m\pi}{n}$ ( $n,m$ は自然数)で与えられている場合に分母を払うのは典型的な処理であるためおさえておくこと．
後は，加法定理で分解していけば求まる．

解答例
(35)(36)……10
(37)(38)……02
(39)(40)……05
(41)(42)……05

解説

$\alpha=\frac{\pi}{5}\Leftrightarrow5\alpha=\pi$ より， $\tan{5\alpha}=\tan{\pi}=0$
また，加法定理を用いれば，
$\tan{5\alpha}=\tan{\left(3\alpha+2\alpha\right)}=\frac{\tan{3\alpha}+\tan{2\alpha}}{1-\tan{3\alpha}\tan{2\alpha}}$
であるから，
$\tan{5\alpha}=0\Leftrightarrow\tan{3\alpha}+\tan{2\alpha}=0$
加法定理より，
$\tan{3\alpha}=\tan{\left(2\alpha+\alpha\right)}=\frac{\tan{2\alpha}+\tan{\alpha}}{1-\tan{2\alpha}\tan{\alpha}}$
$\therefore\tan{3\alpha}+\tan{2\alpha}=0\Leftrightarrow\frac{\tan{2\alpha}+\tan{\alpha}}{1-\tan{2\alpha}\tan{\alpha}}+\tan{2\alpha}=0\Leftrightarrow\tan^22\alpha\tan{\alpha}-2\tan{2\alpha}-\tan{\alpha}=0$
倍角の公式より，
$\tan{2\alpha}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2\alpha}$
$\therefore\tan^22\alpha\tan{\alpha}-2\tan{2\alpha}-\tan{\alpha}=0\Leftrightarrow\left(\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2\alpha}\right)^2\tan{\alpha}-\frac{4\tan{\alpha}}{1-\tan^2\alpha}-\tan{\alpha}=0\Leftrightarrow\tan^4\alpha-10\tan^2\alpha+5=0$
これを解くと，
$\tan^2\alpha=5\pm2\sqrt5$
であるが， $\tan{\frac{\pi}{6}}<\tan{\alpha}=\tan{\frac{\pi}{5}}<\tan{\frac{\pi}{4}}$ より， $\frac{1}{\sqrt3}<\tan{\alpha}<1$ より，
$\tan^2\alpha=5-2\sqrt5$
であり，
$\tan{\alpha}=\sqrt{5-2\sqrt5}$
$\therefore\tan{2\alpha}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2\alpha}=\frac{2\sqrt{5-2\sqrt5}}{1-\left(5-2\sqrt5\right)}=\frac{\sqrt{5-2\sqrt5}}{\sqrt5-2}=\sqrt{5-2\sqrt5}\cdot\left(\sqrt5+2\right)=\sqrt5\cdot\sqrt{\left(\sqrt5-2\right)\left(\sqrt5+2\right)}\cdot\sqrt{\sqrt5+2}=\sqrt5\cdot\sqrt{\sqrt5+2}=\sqrt{5+2\sqrt5}$
$\therefore\tan{\alpha}+\tan{2\alpha}=\sqrt{5-2\sqrt5}+\sqrt{5-2\sqrt5}\cdot\left(\sqrt5+2\right)=\left(\sqrt5+3\right)\sqrt{5-2\sqrt5}=\sqrt{\left(\sqrt5+3\right)^2\left(5-2\sqrt5\right)}=\sqrt{10+2\sqrt5}$ ……(答)
$\tan{\alpha}\tan{2\alpha}=\sqrt{5-2\sqrt5}\cdot\sqrt{5+2\sqrt5}=\sqrt{\left(5-2\sqrt5\right)\left(5+2\sqrt5\right)}=\sqrt5$ ……(答)

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2016年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問2

2019.09.04

2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問2 方針の立て方一文字固定法の典型的な問題である．題意を満たす点の座標を求める問題のため，座標を文字でおくのが定石である．後は，２乗和を実際に計算し，一文字固定法の解法を取れば良い．(2)では，本当に「”三角形の各辺”からの距離」という題意を満た

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2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問2

方針の立て方

一文字固定法の典型的な問題である．
題意を満たす点の座標を求める問題のため，座標を文字でおくのが定石である．後は，２乗和を実際に計算し，一文字固定法の解法を取れば良い．(2)では，本当に「”三角形の各辺”からの距離」という題意を満たしているか(”直線との距離”と”三角形の各辺からの距離”は必ずしもイコールになるとは限らない)を確認せねばならないことに注意．

解答例
(19)(20)(21)(22)…… $\frac{11}{05}$
(23)(24)(25)(26)…… $\frac{27}{05}$
(27)(28)(29)(30)…… $\frac{01}{04}$
(31)(32)(33)(34)…… $\frac{51}{20}$

解説

(1)
$\begin{cases} x+2y-4=0 \\ 2x-y-2=0 \\ x-y+5=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} y=-\frac{1}{2}x+2 \\ y=2x-2 \\ y=x+5 \end{cases}$
交点を考えると，
$y=-\frac{1}{2}x+2$ と $y=2x-2$ の交点は， $\left(\frac{8}{5},\frac{6}{5}\right)$
$y=2x-2$ と $y=x+5$ の交点は， $\left(7,12\right)$
$y=x+5$ と $y=-\frac{1}{2}x+2$ の交点は， $\left(-2,3\right)$
図示すると，

$xy$ 平面上の点を $\left(x,y\right)$ とおく．この点と三角形の各頂点との距離の２乗和は，
$\left\{\left(\frac{8}{5}-x\right)^2+\left(\frac{6}{5}-y\right)^2\right\}+\left\{\left(-2-x\right)^2+\left(3-y\right)^2\right\}+\left\{\left(7-x\right)^2+\left(12-y\right)^2\right\}=3x^2+3y^2-\frac{66}{5}x-\frac{162}{5}y+210=3\left(x-\frac{11}{5}\right)^2+3\left(y-\frac{27}{5}\right)^2+108$
よって，２乗和が最小となるのは， $\left(x,y\right)=\left(\frac{11}{5},\frac{27}{5}\right)$ のとき……(答)

(2)
$xy$ 平面上の点を $\left(x,y\right)$ とおく．この点と三角形の各辺との距離の２乗和は，点と直線の距離の公式より，
$\frac{\left(x+2y-4\right)^2}{5}+\frac{\left(2x-y-2\right)^2}{5}+\frac{\left(x-y+5\right)^2}{2}=\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}y^2-xy+\frac{9}{5}x-\frac{37}{5}y+\frac{33}{2}=\frac{3}{2}\left(x-\frac{1}{3}y+\frac{3}{5}\right)^2+\frac{4}{3}\left(y-\frac{51}{20}\right)^2+\frac{729}{100}$
よって，２乗和が最小となるのは，
$\begin{cases} x=\frac{1}{3}y-\frac{3}{5} \\ y=\frac{51}{20} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{51}{20} \end{cases}$
のときである．これは三角形の内部の点であるから，この点から各直線に下した垂線の足は，三角形の辺上にあり，題意から外れない．
よって， $\left(\frac{1}{4},\frac{51}{20}\right)$ ……(答)

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2016年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問1

2019.09.04

2016年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問1 方針の立て方 (1) 典型問題であり，特筆事項なし． (2) 実際に題意を満たす碁石の置き方をいくつか考えてみると，順番に並べていく内に，碁石の置き方が１パターンずつ減っていくことが分かり，解法を得る． (3) 正攻法で考えようとすると，意外と

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2016年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問1

方針の立て方

(1)
典型問題であり，特筆事項なし．

(2)
実際に題意を満たす碁石の置き方をいくつか考えてみると，順番に並べていく内に，碁石の置き方が１パターンずつ減っていくことが分かり，解法を得る．

(3)
正攻法で考えようとすると，意外と題意を満たす置き方が多いことに気付くので，余事象を数える方が，考えるパターン数が少なくて済むと考える．

解答例
(1)(2)……84
(3)(4)(5)(6)……1820
(7)(8)……06
(9)(10)(11)(12)……0024
(13)(14)……78
(15)(16)(17)(18)……1428

解説

(1)
$n\times n$ で考えると， $n^2$ 個の格子点の内，碁石を置く $n$ 個の点の選び方が ${_{n^2}\mathrm{C}}_n$ 通りあるので， $A_n={_{n^2}\mathrm{C}}_n$ ．
$\therefore A_3={_{3^2}\mathrm{C}}_3={_{9}\mathrm{C}}_3=84$ ……(答)
$\therefore A_4={_{4^2}\mathrm{C}}_4={_{16}\mathrm{C}}_4=1820$ ……(答)

(2)
$n\times n$ で考える．第１列から順番に，題意を満たすように碁石を１個ずつ置いていくと考えると，
第１列での碁石の置き方は $n$ 通り．
第２列での碁石の置き方は，第１列で選んだ行以外の行から選べばいいので， $n-1$ 通り．
第３列での碁石の置き方は，第１列と第２列で選んだ行以外の行から選べばいいので， $n-2$ 通り．
$\vdots$
第 $n$ 列での碁石の置き方は，第１列と第２列と……と第 $n-1$ 列で選んだ行以外の行から選べばいいので，１通り．
よって， $B_n=n\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(n-2\right)\cdot\cdots\cdots\cdot1=n!$
$\therefore B_3=3!=6$ ……(答)
$\therefore B_4=4!=24$ ……(答)

(3)
〇 $C_3$ について((13)(14)について)
余事象で考える．

題意を満たさないのは，上図のように３個の碁石が一直線に並んだとき．
上図のように縦一列に並ぶときと，他に横一列に並ぶパターンがある．
よって，題意を満たさない並べ方は６通り．
$\therefore C_3=A_3-6=84-6=78$ ……(答)
〇 $C_4$ について((15)～(18)について)
余事象で考える．

題意を満たさないのは，上図のように４個の碁石が一直線に並んだときと，他に３個の碁石が一直線に並んだとき．
４個の碁石が一直線に並ぶのは，縦一列に並ぶパターンと横一列に並ぶパターンがあり，合計で８通りある．
３個の碁石が一直線に並ぶ場合の数は，４つが一直線に並んだ状態(８通り)から，碁石を１つ選んで(４通り)他の格子点に移動させる(12通り)ことを考えると，
$8\cdot4\cdot12=384$ 通り．
$\therefore C_4=A_4-8-384=1820-8-384=1428$ ……(答)

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2017年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問6

2019.09.04

2017年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問6 方針の立て方 (1) どの工場にも自由度はないため，そのものを塊と見て考える．素直に定義に従って計算すれば，特に難しい解法の必要はない． (2) 工場の汲み上げ量が自由度を持つため，他の工場の汲み上げ量の総和とで分離して考えることにしよう．する

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2017年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問6

方針の立て方

(1)
どの工場にも自由度はないため， $\sum_{i=1}^{10}x_i$ そのものを塊と見て考える．素直に定義に従って計算すれば，特に難しい解法の必要はない．
(2)
工場 $i$ の汲み上げ量が自由度を持つため，他の工場の汲み上げ量の総和 $\sum_{k\neq i} x_k$ と $x_i$ で分離して考えることにしよう．すると， $p\left(\mathbit{x}\right)x_i$ は２文字の関数となるため一文字固定法の考え方で解いていこう．

解答例
(55)(56)(57)(58)(59)(60)(61)(62)…… $\frac{0625}{0004}$
(63)(64)(65)(66)(67)(68)(69)(70)…… $\frac{6250}{0121}$

解説

(1)
$\sum_{i=1}^{10}{p\left(\mathbit{x}\right)x_i}=\sum_{i=1}^{10}\left\{25x_i-x_i\sum_{i=1}^{10}x_i\right\}=25\sum_{i=1}^{10}x_i-\sum_{i=1}^{10}\left(x_i\sum_{i=1}^{10}x_i\right)=25\sum_{i=1}^{10}x_i-\left(\sum_{i=1}^{10}x_i\right)^2=-\left(\sum_{i=1}^{10}x_i-\frac{25}{2}\right)^2+\frac{625}{4}$
$\therefore\sum_{i=1}^{10}x_i=\frac{25}{2}<25$ のとき， $\sum_{i=1}^{10}{p\left(\mathbit{x}^\prime\right)x_i^\prime}=\frac{625}{4}$ ……(答)

(2)
$\sum_{k\neq i} x_k=A_i>0$ とすると，

となる．工場 $i$ の利益は，
$p\left(\mathbit{x}\right)x_i=25x_i-A_ix_i-x_i^2=-\left(x_i-\frac{25-A_i}{2}\right)^2+\frac{\left(25-A_i\right)^2}{4}$
$\therefore x_i^{\prime\prime}=\frac{25-A_i}{2}$ で， $p\left(\mathbit{x}^{\prime\prime}\right)x_i^{\prime\prime}=\frac{\left(25-A_i\right)^2}{4}$
ここで， $A_i=\sum_{k=1}^{10}x_k-x_i$ より， $x_i^{\prime\prime}=\frac{25-\sum_{k=1}^{10}x_k^{\prime\prime}+x_i^{\prime\prime}}{2}\Leftrightarrow x_i^{\prime\prime}=25-\sum_{k=1}^{10}x_k^{\prime\prime}$
両辺を $1\leqq i\leqq10$ で総和を取ると，左辺は $i$ に依存しないから，
$\sum_{i=1}^{10}x_i^{\prime\prime}=250-10\sum_{i=1}^{10}x_i^{\prime\prime}\Leftrightarrow\sum_{i=1}^{10}x_i^{\prime\prime}=\frac{250}{11}<25$
$\therefore p\left(\mathbit{x}^{\prime\prime}\right)=25-\sum_{k=1}^{10}x_k^{\prime\prime}=25-\frac{250}{11}=\frac{25}{11}$
$\therefore\sum_{i=1}^{10}{p\left(\mathbit{x}^{\prime\prime}\right)x_i^{\prime\prime}}=\frac{25}{11}\sum_{i=1}^{10}x_i^{\prime\prime}=\frac{25}{11}\cdot\frac{250}{11}=\frac{6250}{121}$ ……(答)

2017年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問5

2019.09.04

方針の立て方前半はあまりに平易な問題のため特筆事項なし．後半は，実際に具体的なトーナメント表で考える．すると，選手Hの位置と，選手Hがいつ負けるのかがカギになると分かる．例によって，大まかな場合分け→細かい場合分け→さらに細かい計算というように，最初は大雑把に分けて考えていき細かいことは後回しと

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方針の立て方

前半はあまりに平易な問題のため特筆事項なし．
後半は，実際に具体的なトーナメント表で考える．すると，選手Hの位置と，選手Hがいつ負けるのかがカギになると分かる．例によって，大まかな場合分け→細かい場合分け→さらに細かい計算というように，最初は大雑把に分けて考えていき細かいことは後回しとすると，全体の見通しが良くなる．対称性を見抜けるかで処理のスピードに差が出た問題である．入試数学は基本的には時間が足りなくなるのが常なので，小さな対称性でも，気付いてどんどん利用したい．

解答例

(43)(44)(45)(46)(47)(48)…… $\frac{001}{008}$
(49)(50)(51)(52)(53)(54)…… $\frac{019}{189}$

解説

〇すべての選手が互角であったときの確率((43)～(48))について
選手Aが３連勝すれば必要十分．
$\therefore\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$ ……(答)

〇選手Hだけが他の選手より優れていたときの確率((49)～(54))について
選手Aと選手Hのトーナメント表での位置関係で場合分けする．このとき，選手Aは下図のように左端に固定して考えて一般性を失わない．

更に対称性から，②と② $'$ ，③と③ $'$ と③ $''$ と③ $'''$ を考えることは対等であるので，①，②，③のみを考える．
①の位置に選手Hがいる場合
選手Aが優勝するには１回戦で選手Hに勝ち，後の２回を勝てば必要十分．
$\therefore\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$
②か② $'$ の位置に選手Hがいる場合
２回戦で選手Hと戦うか，戦わないかで場合分けする．
２回戦で選手Hと戦って，選手Aが優勝するには，選手Aと選手Hがともに１回戦を勝ち，２回戦で選手Aが選手Hに勝ち，３回戦で選手Aが勝てば必要十分．
$\therefore\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{18}$
２回戦で選手Hと戦わず，選手Aが優勝するには，１回戦で選手Aが勝ち，選手Hが負け，後の２回を選手Aが勝てば必要十分．
$\therefore\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{24}$
$\therefore\frac{1}{18}+\frac{1}{24}=\frac{7}{72}$
③か③ $'$ か③ $''$ か③ $'''$ の位置に選手Hがいる場合
選手Hが何回戦で負けるかで場合分けする．
選手Hが１回戦で負けて，選手Aが優勝するには，１回戦で選手Aが勝ち，選手Hが負け，後の２回を選手Aが勝てば必要十分．
$\therefore\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{24}$
選手Hが２回戦で負けて，選手Aが優勝するには，選手Aと選手Hがともに１回戦を勝ち，２回戦で選手Aが勝ち，選手Hが負け，３回戦で選手Aが勝てば必要十分．
$\therefore\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{36}$
選手Hが３回戦で負けて，選手Aが優勝するには，選手Aと選手Hがともに１回戦と２回戦を勝ち，３回戦で選手Aが勝てば必要十分．
$\therefore\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{27}$
$\therefore\frac{1}{24}+\frac{1}{36}+\frac{1}{27}=\frac{23}{216}$
さらに，抽選で選手Hが①の位置にくる確率は $\frac{1}{7}$ ，②か② $'$ の位置にくる確率は $\frac{2}{7}$ ，③か③ $'$ か③ $''$ か③ $'''$ の位置にくる確率は $\frac{4}{7}$ であるから，求める確率は，
$\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{12}+\frac{2}{7}\cdot\frac{7}{72}+\frac{4}{7}\cdot\frac{23}{216}=\frac{19}{189}$ ……(答)

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2019.09.04

2016年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問4 方針の立て方 (1)(2) 線形計画法の応用問題である．２変数で，条件式が与えられている下での最大最小問題であることから気付きたい．解答例 (35)(36)…… (37)(38)(39)(40)(41)(42)…… 解説 (1) 条件式：を図

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2016年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問4

方針の立て方

(1)(2)
線形計画法の応用問題である．２変数で，条件式が与えられている下での最大最小問題であることから気付きたい．

解答例
(35)(36)…… $10$
(37)(38)(39)(40)(41)(42)…… $18-2\sqrt{17}$

解説

(1)
条件式： $\left|x\right|+\left|y\right|\leqq1$ を図示すると，

上図の斜線部となる(但し境界を含む)．
正の実数を $k$ 用いて $\left(x-1\right)^2+\left(y-4\right)^2=k$ と置けば，これは $\left(1,4\right)$ を中心とする半径 $\sqrt k$ の円である．
上図の領域と共有点をもち，かつ，半径が最小となるのは，点 $\left(0,1\right)$ を通るとき．
$\therefore k\geqq\left(0-1\right)^2+\left(1-4\right)^2=10$ ……(答)

(2)
条件式： $x^2+y^2\leqq1$ を図示すると，

上図の斜線部となる(但し境界を含む)．
正の実数を $k$ 用いて $\left(x-1\right)^2+\left(y-4\right)^2=k$ と置けば，これは $\left(1,4\right)$ を中心とする半径 $\sqrt k$ の円である．
上図の領域と共有点をもち，かつ，半径が最小となるのは，これらの２円が外接するとき．２円の中心を結んだ直線の方程式は $y=4x$ であるから，接点は， $\left(\frac{1}{\sqrt{17}},\frac{4}{\sqrt{17}}\right)$ である．
$\therefore k\geqq\left(\frac{1}{\sqrt{17}}-1\right)^2+\left(\frac{4}{\sqrt{17}}-4\right)^2=18-2\sqrt{17}$ ……(答)

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2019.09.04

2017年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問3 方針の立て方 (1) 文字が３つと多いため，典型的な一文字固定法で考えていくのが妥当． (2) 前問の結果から，のときが答えだと当たりをつけて考えていく．のときに使える多変数の公式といえば，相加相乗平均の関係式であるから，試しに使ってみると，解

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2017年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問3

方針の立て方

(1)
文字が３つと多いため，典型的な一文字固定法で考えていくのが妥当．

(2)
前問の結果から， $x=y=z$ のときが答えだと当たりをつけて考えていく． $x=y=z$ のときに使える多変数の公式といえば，相加相乗平均の関係式であるから，試しに使ってみると，解法を得る．

解答例

(21)(22)(23)(24)(25)(26)…… $\frac{001}{162}$
(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)…… $\frac{-7+05\sqrt{02}}{27}$

解説

(1)
AB $=x$ ,AD $=y$ ,AE $=z$ とおく．すると，
条件式： $x+2y+3z=1$ となる．
$0<x,0<y,0<z$ より， $0<z<\frac{1}{3}$ である．
体積は，
$xyz=\left(1-2y-3z\right)yz=z\left\{-2y^2+\left(1-3z\right)y\right\}=z\left\{-2\left(y-\frac{1-3z}{4}\right)^2+\frac{\left(1-3z\right)^2}{8}\right\}\leqq\frac{{z\left(1-3z\right)}^2}{8}$
不等号の等号成立条件は $y=\frac{1-3z}{4}$ である．
ここで， $f\left(z\right)=\frac{{z\left(1-3z\right)}^2}{8}=\frac{1}{8}\left(9z^3-6z^2+z\right)$ とおくと， $f^\prime\left(z\right)=\frac{1}{8}\left(27z^2-12z+1\right)=\frac{\left(9z-1\right)\left(3z-1\right)}{8}$
増減表を描くと，

$z$	$0$	$\cdots$	$\frac{1}{9}$	$\cdots$	$\frac{1}{3}$
$f^\prime\left(z\right)$	$+$	$+$	$0$	$-$	$0$
$f\left(z\right)$	$0$	$\nearrow$	$\frac{1}{162}$	$\searrow$	$0$

よって， $f\left(z\right)\leqq f\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{1}{162}$
ここで，
$\begin{cases} y=\frac{1-3z}{4} \\ z=\frac{1}{9} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} y=\frac{1}{6} \\ z=\frac{1}{9} \end{cases}$
となる．このとき， $x=\frac{1}{3}$ となり，これらは全て適当である．
よって，
$V=\frac{1}{162}$ ……(答)

(2)
AB $=x$ ,AD $=y$ ,AE $=z$ とおく．すると，
条件式： $x+y+z+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=1$ となる．
ここで，相加相乗平均の関係式
$x+y+z\geqq3\sqrt[3]{xyz}$ (等号成立は $x=y=z$ のとき)
であり，
$\sqrt{x^2+y^2}\geqq\sqrt{2\sqrt{x^2y^2}}=\sqrt{2xy}$ (等号成立は $x=y$ のとき)
$\sqrt{y^2+z^2}\geqq\sqrt{2\sqrt{y^2z^2}}=\sqrt{2yz}$ (等号成立は $y=z$ のとき)
$\sqrt{z^2+x^2}\geqq\sqrt{2\sqrt{z^2x^2}}=\sqrt{2zx}$ (等号成立は $z=x$ のとき)
であり，
$\sqrt{2xy}+\sqrt{2yz}+\sqrt{2zx}\geqq3\sqrt[3]{\sqrt{2xy}\cdot\sqrt{2yz}\cdot\sqrt{2zx}}=3\sqrt2\cdot\sqrt[3]{xyz}$ (等号成立は $\sqrt{2xy}=\sqrt{2yz}=\sqrt{2zx}$ のとき)
であることを用いると，
$1=x+y+z+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}\geqq3\sqrt[3]{xyz}+\sqrt{2xy}+\sqrt{2yz}+\sqrt{2zx}\geqq3\sqrt[3]{xyz}+3\sqrt2\cdot\sqrt[3]{xyz}$
が成り立つ．等号成立は $x=y=z$ のときであり，最左辺と最右辺に着目すると，
$\sqrt[3]{xyz}\leqq\frac{1}{3+3\sqrt2}$
$\therefore xyz\leqq\frac{1}{\left(3+3\sqrt2\right)^3}=\frac{-7+5\sqrt2}{27}$
となる． $xyz$ は考えている直方体の体積であることに注意されたい．
さて， $x=y=z$ のとき，条件式より， $x+x+x+\sqrt{x^2+x^2}+\sqrt{x^2+x^2}+\sqrt{x^2+x^2}=1\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt2-1}{3}$ となり， $x=y=z=\frac{\sqrt2-1}{3}$ となる．これは適当である．よって，
$V=\frac{-7+5\sqrt2}{27}$ ……(答)

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2019.09.03

2017年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問2 方針の立て方求めるものを未知数で置くという数学の基本解法に則り，まずは円Bの半径をと置こう．そして，「同じものを２通りの方法で表し，等式を作る」という方針を取る(この方針も数学では典型的な解法である)．次に円Aに関する情報が与えられているこ

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方針の立て方

求めるものを未知数で置くという数学の基本解法に則り，まずは円Bの半径を $r$ と置こう．そして，「同じものを２通りの方法で表し，等式を作る」という方針を取る(この方針も数学では典型的な解法である)．
次に円Aに関する情報が与えられていることから，一つは円Aの半径(若しくは直径)を使う表現方法(本解答では， $4r+2$ という表現が該当する)を考える．もう一つは，残りの円である円B，円C，円Dを使うことを考える(本解答では， $\sqrt5r+2r$ という表現が該当する)．
数学では基本的には与えられた情報や設定は全部使うことを意識しよう．解法に詰まった時には，また使っていない情報を活用できないかを考えると打開策が見つかるかもしれない．

解答例

(9)(10)(11)(12)(13)(14)…… $04+02\sqrt{05}$
(15)(16)(17)(18)(19)(20)…… $18+08\sqrt{05}$

解説

円Hの中心(点 $\mathrm{H}^\prime$ )から点Eの中心(点 $\mathrm{E}^\prime$ )を通る半径を引く．点 $\mathrm{E}^\prime$ から上図のように半円Hの弦に向かって垂線を引き，垂線の足を点Gとする．円Bの半径を $r$ とすると，線分 $\mathrm{G}\mathrm{H}^\prime$ の長さは $r$ となる．また，円Eの半径が $2r$ となることから，線分 $\mathrm{E}^\prime\mathrm{G}$ の長さは $2r$ である．よって，三平方の定理から線分 $\mathrm{E}^\prime\mathrm{H}$ の長さは， $\sqrt5r$ となる．よって，円Hの半径は $\sqrt5r+2r$ と書ける．

また，上図の点線に着目すると，円Hの半径は $4r+2$ と書ける．
よって，円Hの半径についての等式，
$\sqrt5r+2r=4r+2$
が成り立ち，これを解くことで，
$r=4+2\sqrt5$ ……(答)
よって，円Hの半径は，
$4r+2=4\left(4+2\sqrt5\right)+2=18+8\sqrt5$ ……(答)

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2017年慶応義塾大学総合政策|数学過去問徹底研究大問1

2019.09.03

2017年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問1 方針の立て方全体的にの対称式であるから，基本対称式であるとを作り出していくことで解法を得る．解答例 (1)(2)(3)(4)……0155 (5)(6)(7)(8)……1924 解説について．は２次方程式：の解である．判別式はであり，これ

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方針の立て方

全体的に $x,y$ の対称式であるから，基本対称式である $x+y$ と $xy$ を作り出していくことで解法を得る．

解答例

(1)(2)(3)(4)……0155
(5)(6)(7)(8)……1924

解説

$\begin{cases} xy+x+y=20 \\ xy\left(x+y\right)=91 \end{cases}\Leftrightarrow\left(x+y,xy\right)=\left(7,13\right),\left(13,7\right) \left(x+y,xy\right)=\left(7,13\right)$ について．
$x,y$ は２次方程式： $\alpha^2-7\alpha+13=0$ の解である．判別式 $D$ は $D=7^2-4\cdot13=-30$ であり，これより，この２次方程式の解は実数解となる． $\therefore\left(x+y,xy\right)=\left(13,7\right)$ ．
$x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy={13}^2-2\cdot7=155$ ……(答)
$x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)={13}^3-3\cdot7\cdot13=1924$ ……(答)

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2018年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問5

2019.09.03

2018年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問5 方針の立て方各位の数字に着目していたり，桁と桁を比べたりしていることから，自然数というよりは，数字の並べ方の問題だととらえると処理しやすい．つまり，数字を１つ新しく加えることで，桁→桁に遷移すると考えるのである．自然数が３の倍数になる必要十分

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方針の立て方

各位の数字に着目していたり， $n$ 桁と $n+1$ 桁を比べたりしていることから，自然数というよりは，数字の並べ方の問題だととらえると処理しやすい．つまり，数字を１つ新しく加えることで， $n$ 桁→ $n+1$ 桁に遷移すると考えるのである．自然数が３の倍数になる必要十分条件は，文系数学頻出のテーマのため覚えておくこと(他にも２，４，５の倍数になる条件は覚えておこう)．(46)(47)(48)まで解けたら，後は典型的な漸化式の解法である．

解答例
(45)…… $5$
(46)…… $1$
(47)…… $2$
(48)…… $2$
(49)(50)…… $-1$
(51)(52)…… $02$
(53)(54)…… $05$
(55)(56)…… $02$
(57)(58)…… $-1$
(59)(60)…… $05$
(61)(62)…… $03$

解説

〇(45)について
各位の数が1,2,3,5,7のどれかとなれば必要十分． $\therefore5^n$ ……(答)

〇(46)以降について
各々の位の数字が１または素数となっている $n+1$ 桁の自然数は，各々の位の数字が１または素数となっている $n$ 桁の自然数に，１または素数をどこかの位に割り込ませた数字と見做せる．
３の倍数となる必要十分条件が，各々の位の数字の和が３の倍数となることであることに注意すると，
$n$ 桁の自然数が３で割り切れるとき…３をどこかの位に割り込ませれば， $n+1$ 桁の自然数も３で割り切れる．
$n$ 桁の自然数が３で割ると１余る数のとき…２か５をどこかの位に割り込ませれば， $n+1$ 桁の自然数も３で割り切れる．
$n$ 桁の自然数が３で割ると２余る数のとき…１か７をどこかの位に割り込ませれば， $n+1$ 桁の自然数も３で割り切れる．
よって， $a_n+2b_n+2c_n=a_{n+1}$ ……(答)
また， $a_n+2b_n+2c_n=a_{n+1}\Leftrightarrow a_{n+1}=a_n+2\left(b_n+c_n\right)$ であること，① $\Leftrightarrow b_n+c_n=5^n-a_n$ であることから， $b_n+c_n$ を消去して，
$a_{n+1}=a_n+2\left(5^n-a_n\right)\Leftrightarrow a_{n+1}=-a_n+2\cdot5^n$ ……(答)
この漸化式を解く．両辺を $5^{n+1}$ で割って，
$\frac{a_{n+1}}{5^{n+1}}=-\frac{1}{5}\cdot\frac{a_n}{5^n}+\frac{2}{5}$
$\frac{a_n}{5^n}=A_n$ と置くと，
$A_{n+1}=-\frac{1}{5}A_n+\frac{2}{5}\Leftrightarrow A_{n+1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{5}\left(A_n-\frac{1}{3}\right) \therefore A_n-\frac{1}{3}=\left(A_1-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}=\left(\frac{a_1}{5}-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)^n$
$\therefore a_n=\left\{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)^n\right\}\cdot5^n=\frac{2\left(-1\right)^n+5^n}{3}$ ……(答)

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